人教A版高中数学必修第一册1.4.2充要条件【课件】

1.4.2

充要条件课标定位素养阐释1.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义.2.理解数学定义与充要条件的关系.3.体会充要条件在表述数学内容和论证数学结论中的作用.4.提升逻辑推理与数学运算能力.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑思想方法随

堂

练

习

自主预习·新知导学一、逆命题的概念1.给出以下两个命题:(1)若一个数是负数,则它的平方是正数;(2)若一个数的平方是正数,则它是负数;你能说出命题(1)与命题(2)的条件与结论有什么关系吗?提示:命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.2.将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题.3.命题“若A∪B=B,则A⊆B”的逆命题是

.答案:若A⊆B,则A∪B=B二、充要条件1.给出以下两个“若p,则q”形式的命题:①若两个三角形全等,则这两个三角形三边对应相等.②若

,则关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实数根.(1)你能判断它们的真假吗?(2)你能写出它们的逆命题,并判断真假吗?(3)以上两个命题中,p是q的什么条件?q是p的什么条件?提示:(1)①真命题.②真命题.(2)①逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等,是真命题.②逆命题:若关于x的方程x2+x+m=0(m∈R)有实数根,则

,是真命题.(3)因为p⇒q,且q⇒p,所以p是q的充分条件也是必要条件;同理,q是p的充分条件,也是必要条件.2.

答案:充要

【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)如果原命题“若p,则q”与其逆命题都为真命题,那么p是q的充要条件.(√)(2)若p是q的充要条件,则p是唯一的.(×)(3)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.(√)

合作探究·释疑解惑探究一

充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】

在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答):(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;(2)对于实数x,y,p:x=2,且y=6,q:x+y=8;(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3;分析:判断p⇒q与q⇒p是否成立.反思感悟判断充分条件、必要条件和充要条件的方法

(1)定义法:①若p⇒q,但qp,则p是q的充分不必要条件;

②若q⇒p,但pq,则p是q的必要不充分条件;

③若p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件;

④若pq,且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.(2)命题法:(3)集合法:

【变式训练1】

“x=5”是“x2-4x-5=0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件解析:由x2-4x-5=0,得x=5或x=-1,则当x=5时,x2-4x-5=0成立,但当x2-4x-5=0时,x=5不一定成立,故选A.答案:A探究二

充要条件的证明【例2】

求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.分析:设p:a+b+c=0,q:方程ax2+bx+c=0有一个根为1.要证明p是q的充要条件,只需分别证明充分性(p⇒q)和必要性(q⇒p)即可.证明:充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.故方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0,∴a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.综上可得,方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.反思感悟有关充要条件的证明问题,要分清哪个是条件,哪个是结论,由“条件⇒结论”是证明命题的充分性,由“结论⇒条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节:一是证明充分性;二是证明必要性.【变式训练2】

求证:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两异号实根的充要条件是ac<0.证明:必要性:因为方程ax2+bx+c=0有两异号实根,即一正根和一负根,所以Δ=b2-4ac>0,x1x2=<0(x1,x2为方程的两根),所以ac<0.充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0(x1,x2为方程的两根),故方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根,且两根异号,即方程ax2+bx+c=0有两异号实根.综上可得,方程ax2+bx+c=0有两异号实根的充要条件是ac<0.探究三

探求充要条件【例3】

对于非零实数x,y有x>y,试探求

的充要条件,并加以证明.反思感悟探求充要条件的方法方法一:先由结论寻找使之成立的条件,再由条件来验证它成立,即保证必要性和充分性都成立.方法二:变换命题为其等价命题,使每一步都可逆,直接得到使结论成立的充要条件.思想方法等价转化思想在充要条件中的应用等价转化思想是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法,通过不断地转化,将不熟悉、不规范、复杂的问题转化成熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.【典例】

已知p:-2≤

≤2,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围为

.

审题视角:对题目中的条件进行化简,等价转化为不等式的解集,再将充分条件、必要条件和集合间的关系进行等价转化.解析:因为q是p的必要不充分条件,所以p是q的充分不必要条件,由-2≤

≤2,得-2≤x≤10,所以p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.答案:{m|m≥9}设M={x|-2≤x≤10}.q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},设N={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.由p是q的充分不必要条件,知M⫋N,故实数m的取值范围为{m|m≥9}.方法点睛本题中既有对题目条件的化简,又有充分条件、必要条件和集合间关系的转化,将复杂的条件转化为简单的条件,将不熟悉的充分条件、必要条件转化为熟悉的集合间的关系,注意逻辑推理和数学运算素养的提升.随

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习1.已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真命题,则p是q的(

)A.充分条件 B.必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析:原命题的逆命题为“若q,则p”,是真命题,即q⇒p,故p是q的必要条件.答案:B2.函数y=x2+2mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是(

)A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1解析:由y=x2+2mx+1,得其图象的对称轴为直线x=-m,由题意得-m=1,故m=-1.答案:C3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B,且a≠1,∴a=2或a=3,∴“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件.答案:A4.