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第一章质点运动学

1-1质点作曲线运动，在时刻t质点的位矢为r,速度为v，速率为至(t+△力时间内

的位移为△下，路程为△$,位矢大小的变化量为△r(或称△Irl),平均速度为日，平均速率

为a.

(1)根据上述情况，则必有()

(A)IArl=As=Ar

(B)|ArIW△s#△r,当△t-*0时有IdzI=ds#dr

(C)|△rIW△rW△s,当△t-^0时有IdrI=drWds

(D)|△r|#As#△r,当△t-*0时有IdrI=dr=ds

(2)根据上述情况，则必有()

(A)|日I=3,I3I=3(B)IE)I*日，I田IW因

(C)IaI=a,I13I3(D)IaIa,Ii3|=3

题1一1图

分析与解(1)质点在6至1+△力时间内沿曲线从一点运动到尸'点，各量关系如图所

示，其中路程As=PP',位移大小IArI,而Arnlrl-lrl表示质点位矢大小

的变化量，三个量的物理含义不同，在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可

能).但当A£―0时，点〃无限趋近尸点，则有IdrI=ds,但却不等于dr.故选(B).

(2)由于IArIWAs,故区|，即|因I

但由于IdrI=ds,故|x|，即I回1=2.由此可见，应选(C).

1-2一运动质点在某瞬时位于位矢r(x,y)的端点处，对其速度的大小有四种意见，即

⑴0；(2)0；⑶g;(4)|x|

下述判断正确的是()

(A)只有(1)(2)正确(B)只有⑵正确

(0只有(2)(3)正确(D)只有(3)(4)正确

分析与解国表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率，在极坐标系中叫径向速率.通

常用符号％表示，这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；目表示速度矢量；在自然坐标系中速

度大小可用公式S计算，在直角坐标系中则可由公式IXI求解.故选(D).

1-3质点作曲线运动,r表示位置矢量，，表示速度，a表示加速度，s表示路程，团表示切

向加速度.对下列表达式，即

(1)dv/dt=a；(2)dr/dt=r；(3)ds/dt=r；(4)dv/dtI=at.

下述判断正确的是()

(A)只有(1)、(4)是对的(B)只有(2)、(4)是对的

(0只有⑵是对的(D)只有⑶是对的

分析与解0表示切向加速度团，它表示速度大小随时间的变化率，是加速度矢量沿速度

方向的一个分量，起改变速度大小的作用；目在极坐标系中表示径向速率匕.(如题1-2所述)；

可在自然坐标系中表示质点的速率匕而®表示加速度的大小而不是切向加速度团.因此只有

(3)式表达是正确的.故选(D).

1-4一个质点在做圆周运动时，则有()

(A)切向加速度一定改变，法向加速度也改变

(B)切向加速度可能不变，法向加速度一定改变

(0切向加速度可能不变，法向加速度不变

(D)切向加速度一定改变，法向加速度不变

分析与解加速度的切向分量阳起改变速度大小的作用，而法向分量a起改变速度方向的作

用.质点作圆周运动时，由于速度方向不断改变，相应法向加速度的方向也在不断改变，因而法向

加速度是一定改变的.至于团是否改变，则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时,

a,恒为零；质点作匀变速率圆周运动时，a1为一不为零的恒量，当处改变时，质点则作一般的变

速率圆周运动.由此可见，应选(B).

*1-5如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边

运动.设该人以匀速率㈤收绳，绳不伸长且湖水静止，小船的速率为匕则小船作()

(A)匀加速运动，区|

(B)匀减速运动，NI

(C)变加速运动，3

(D)变减速运动，1-1

(E)匀速直线运动，Q

题1-5图

分析与解本题关键是先求得小船速度表达式，进而判断运动性质.为此建立如图所示坐标

系，设定滑轮距水面高度为力时刻定滑轮距小船的绳长为，则小船的运动方程为NI,

其中绳长/随时间t而变化.小船速度IxI，式中口表示绳长/随时间的变化率,

其大小即为%，代入整理后为|X|，方向沿X轴负向.由速度表达式，可判断小船

作变加速运动.故选(C).

讨论有人会将绳子速率均按双y两个方向分解，则小船速度三|，这样做对吗？

1-6已知质点沿x轴作直线运动，其运动方程为I-1，式中x的单位为的单

位为s.求：

(1)质点在运动开始后4.0s内的位移的大小；

(2)质点在该时间内所通过的路程；

(3)t=4s时质点的速度和加速度.

分析位移和路程是两个完全不同的概念.只有当质点作直线运动且运动方向不改变时，位

移的大小才会与路程相等.质点在t时间内的位移Ax的大小可直接由运动方程得到：

r^i，而在求路程时，就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向，此时，位移的大

小和路程就不同了.为此，需根据叵］来确定其运动方向改变的时刻与，求出o〜&和心〜t内

的位移大小△及、公用，则t时间内的路程IxI，如图所示，至于t=4.0s时质点速

度和加速度可用可和目两式计算.

解(1)质点在4.0s内位移的大小

I

⑵由S

得知质点的换向时刻为

1=0不合题意)

则

所以，质点在4.0s时间间隔内的路程为

(3)<=4.0s时

I-I

1-7一质点沿x轴方向作直线运动，其速度与时间的关系如图(a)所示.设七=0时,x=

0.试根据已知的图，画出a-C图以及x-C图.

o/(m・s-2)

20-------------------1

I

10-।

八1b3456

\/>I11'J>[

I

-10---------------------------------------1------------------1

-20-

(b)

题1-7图

分析根据加速度的定义可知，在直线运动中Lt曲线的斜率为加速度的大小（图中AB、CD

段斜率为定值，即匀变速直线运动；而线段BC的斜率为0,加速度为零，即匀速直线运动）.加速度

为恒量，在a-t图上是平行于£轴的直线，由广£图中求出各段的斜率，即可作出a-t图线.又由

速度的定义可知，广大曲线的斜率为速度的大小.因此，匀速直线运动所对应的x-力图应是一直

线，而匀变速直线运动所对应的x-t图为「的二次曲线.根据各段时间内的运动方程x=x1）,

求出不同时刻1的位置x,采用描数据点的方法，可作出图.

解将曲线分为AB、BC、CD三个过程，它们对应的加速度值分别为

（匀加速直线运动）

回（匀速直线运动）

（匀减速直线运动）

根据上述结果即可作出质点的图［图（B）］.

在匀变速直线运动中，有

由此，可计算在0〜2s和4〜6s时间间隔内各时刻的位置分别为

t/s00.511.5c44.555.56

x/m0-7.5-10-7.504048.85558.860

用描数据点的作图方法，由表中数据可作0〜2s和4〜6s时间内的x-t图.在2〜4s时间

内，质点是作N3的匀速直线运动，其才-力图是斜率4=20的一段直线[图(c)].

1-8已知质点的运动方程为11■，式中，的单位为m,/■的单位为s.求：

(1)质点的运动轨迹；

(2)%=0及£=2s时，质点的位矢；

(3)由£=0到1=2s内质点的位移Ar和径向增量△r；

*(4)2s内质点所走过的路程s.

分析质点的轨迹方程为y=f(x),可由运动方程的两个分量式x(8和火。中消去-即可

得到.对于r、Ar、Ar、As来说，物理含义不同，可根据其定义计算.其中对s的求解用到积分

方法，先在轨迹上任取一段微元ds,则I—■，最后用回积分求s.

解(1)由x(t)和火力中消去t后得质点轨迹方程为

回

这是一个抛物线方程，轨迹如图(a)所示.

(2)将t=0s和1=2s分别代入运动方程，可得相应位矢分别为

国，01

图(a)中的P、Q两点，即为t=0s和2=2s时质点所在位置.

(3)由位移表达式，得

其中位移大小

而径向增量「="=・

*(4)如图⑻所示，所求即为图中PQ段长度，先在其间任意处取AB微元ds,则

IX」，由轨道方程可得目，代入ds,则2s内路程为

题1-8图

1-9质点的运动方程为

式中的单位为m,力的单位为s.

试求：（1）初速度的大小和方向；（2）加速度的大小和方向.

分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量，再由运动合成算出速度和加速

度的大小和方向.

解（1）速度的分量式为

E^l

IXI

当力=0时，vQX=-10m,s',vor=15s”,则初速度大小为

I■

设匕与x轴的夹角为a，则

日

（7=123°41'

（2）加速度的分量式为

则加速度的大小为

设a与x轴的夹角为£，贝U

[H]

£=-33°41'（或326°19'）

1-10一升降机以加速度1.22m-s2上升，当上升速度为2.44m-s'时，有一螺丝自升降

机的天花板上松脱，天花板与升降机的底面相距2.74m.计算：（1）螺丝从天花板落到底面所需要

的时间；（2）螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离.

分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下，一种处理方法是取地面为参考系，分别讨

论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动，列出这两种运动在同

一坐标系中的运动方程y=%（力和%=%（。，并考虑它们相遇，即位矢相同这一条件，问题即

可解；另一种方法是取升降机（或螺丝）为参考系，这时，螺丝（或升降机）相对它作匀加速运动，但

是，此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝（或升降机）运动的路程.

解1（1）以地面为参考系，取如图所示的坐标系，升降机与螺丝的运动方程分别为

EH3

当螺丝落至底面时，有力=於，即

（2）螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为

解2（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度大小a'=g+a,螺丝落至底面时,

有

（2）由于升降机在，时间内上升的高度为

日

题1-1（）图

1-11一质点P沿半径R=3.0m的圆周作匀速率运动，运动一周所需时间为20.0s，设C

=0时，质点位于。点.按（a）图中所示的坐标系，求（1）质点P在任意时刻的位矢；（2）5s时

的速度和加速度.

分析该题属于运动学的第一类问题，即已知运动方程r=r（。求质点运动的一切信息（如

位置矢量、位移、速度、加速度）.在确定运动方程时，若取以点（0,3）为原点的。/X，y'坐标系，

并采用参数方程X'=x‘（力和y'=y'（》来表示圆周运动是比较方便的.然后，运用坐标变换

x=A0+X'和y=yQ+y',将所得参数方程转换至Oxy坐标系中，即得。xy坐标系中质点P

在任意时刻的位矢.采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度.

解（1）如图⑻所示，在

O'x'y'坐标系中，因

冈，则质点P的参数方程

为

目

IXI

坐标变换后，在0对坐标系中有

题1-11图

则质点P的位矢方程为

(2)5s时的速度和加速度分别为

fv■1-12地面上垂直竖立一高

20.0m的旗杆，已知正午时分太阳在旗杆的正上方，求在下午2：00时，杆顶在地面上的影子的

速度的大小.在何时刻杆影伸展至20.0m?

分析为求杆顶在地面上影子速度的大小，必须建立影长与时间的函数关系，即影子端点的

位矢方程.根据几何关系，影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得.由于运动的相对性，太阳

光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度.这样，影子端点的位矢方程和速度均可求得.

解设太阳光线对地转动的角速度为3,从正午时分开始计时，则杆的影长为6=7?tg3%，下

午2：00时，杆顶在地面上影子的速度大小为

当杆长等于影长时，即6=力,则

即为下午3：00时.

1-13质点沿直线运动，加速度a=4-「，式中a的单位为m•s',大的单位为s.如果当I

=3s时,x=9m,y=2m・s」，求质点的运动方程.

分析本题属于运动学第二类问题，即已知加速度求速度和运动方程，必须在给定条件下用

积分方法解决.由叵|和叵］可得三1和.如a=a(8或r=M。，则可两边直

接积分.如果a或『不是时间「的显函数，则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做

积分.

解由分析知，应有

目

得(1)

由IX|

得|X■(2)

将6=3s时，x=9m,y=2m•s'代入(1)⑵得%=Tm•s\&)=0.75m.于是可得质点

运动方程为

1-14一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动，现测得其加速

度a=A-B匕式中A、B为正恒量，求石子下落的速度和运动方程.

分析本题亦属于运动学第二类问题，与上题不同之处在于加速度是速度-的函数，因此，需

将式du=a(r)dt分离变量为|x|后再两边积分.

解选取石子下落方向为y轴正向，下落起点为坐标原点.

(1)由题意知⑴

用分离变量法把式(1)改写为

日⑵

将式(2)两边积分并考虑初始条件，有

得石子速度

由此可知当，8时,□为一常量，通常称为极限速度或收尾速度.

⑵再由并考虑初始条件有

得石子运动方程

1-15一质点具有恒定加速度a=67+4工式中a的单位为m・s-2.在f=0时，其速度为

零，位置矢量h=10m/.求：(1)在任意时刻的速度和位置矢量；(2)质点在。灯平面上的轨迹

方程，并画出轨迹的示意图.

分析与上两题不同处在于质点作平面曲线运动，根据叠加原理，求解时需根据加速度的两

个分量为和心分别积分，从而得到运动方程r的两个分量式x(力和y(1).由于本题中质点加速度

为恒矢量，故两次积分后所得运动方程为固定形式，即和

，两个分运动均为匀变速直线运动.读者不妨自己验证一下.

解由加速度定义式,根据初始条件必=0时%=0,积分可得

I-I

又由叵|及初始条件t=0时,々=(10m)],积分可得

I1■

由上述结果可得质点运动方程的分量式，即

x=10+3/

y=2t2

消去参数心可得运动的轨迹方程

3y=2x-20m

这是一个直线方程.直线斜率IxI,。=33。41'.轨迹如图所示.

1-16一质点在半径为R的圆周上以恒定的速率运动，质点由位置A运动到位置B,0A和0B

所对的圆心角为△0.(1)试证位置A和B之间的平均加速度为I―■；(2)

当2。分别等于90°、30。、10°和1°时，平均加速度各为多少？并对结果加以讨论.

(a)

(b)

题I-16图

分析瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同，它们分别表示为叵］和叵］.在匀

速率圆周运动中，它们的大小分别为区［,叵］，式中IAoi可由图⑻中的几何关系得

至U,而可由转过的角度△J求出.

由计算结果能清楚地看到两者之间的关系，即瞬时加速度是平均加速度在△£-0时的极限

值.

解⑴由图(b)可看到△y=外-匕，故

I■

而

EH］

所以

1■

(2)将△0=90°,30°,10°,1°分别代入上式，

得

目目

EH］,目

以上结果表明，当△，一0时，匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值，该值即为法

向加速度0.

1-17质点在。0平面内运动，其运动方程为r=2.0以+(19.0-2.0/)上式中下的单位

为m,t的单位为s.求：(1)质点的轨迹方程；(2)在%i=l.0s到七=2.0s时间内的平均速度；

(3)t,=1.0s时的速度及切向和法向加速度；(4)t=1.0s时质点所在处轨道的曲率半径P.

分析根据运动方程可直接写出其分量式X=x(l)和y=y(。，从中消去参数力即得质点

的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率，即叵］，它与时间间隔的

大小有关，当A/-0时，平均速度的极限即瞬时速度叵］.切向和法向加速度是指在自然坐标

下的分矢量团和&，前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率，即叵］，后者只反映质

点速度方向的变化，它可由总加速度a和团得到.在求得G时刻质点的速度和法向加速度的大

小后，可由公式□求。•

解(1)由参数方程

x=2.0t,y=19.0-2.0t2

消去,得质点的轨迹方程：

y=19.0-0.50/

(2)在。=1.00s到七=2,0s时间内的平均速度

(3)质点在任意时刻的速度和加速度分别为

则打=1.00s时的速度

r(t)It=ls=2.Oi-A.Oj

切向和法向加速度分别为

(4)1=1.0s质点的速度大小为

则[x]

1-18飞机以100m•s的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品

空投到前方某一地面目标处，问：(1)此时目标在飞机正下方位置的前面多远？(2)投放物品

时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3)物品投出2.0s后，它的法向加速度和切向加

速度各为多少？

题1-18图

分析物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下，由运动独立性原理知，物品在空中

沿水平方向作匀速直线运动，在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时，两方向上运动时间

是相同的.因此，分别列出其运动方程，运用时间相等的条件，即可求解.

此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t时物体的切向

加速度和法向加速度，只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角。或£.由图可知，在特定

时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角。，可由此时刻的两速度分量匕、外求出，这样，也

就可将重力加速度g的切向和法向分量求得.

解(1)取如图所示的坐标，物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为

X=vt,y=1/2g/

飞机水平飞行速度「=100m•s',飞机离地面的高度y=100m,由上述两式可得目标在飞机

正下方前的距离

T—I

(2)视线和水平线的夹角为

r^i

(3)在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

取自然坐标，物品在抛出2s时，重力加速度的切向分量与法向分量分别为

I■

1■

1-19如图(a)所示，一小型迫击炮架设在一斜坡的底端0处，已知斜坡倾角为。，炮身与斜

坡的夹角为£,炮弹的出口速度为由，忽略空气阻力.求：(1)炮弹落地点P与点0的距离0P；(2)

欲使炮弹能垂直击中坡面.证明。和£必须满足并与的无关.

分析这是一个斜上抛运动，看似简单，但针对题目所问，如不能灵活运用叠加原理，建立一

个恰当的坐标系，将运动分解的话，求解起来并不容易.现建立如图(a)所示坐标系，则炮弹在x

和y两个方向的分运动均为匀减速直线运动，其初速度分别为vbcos£和％sinB,其加速度分别

为灸in。和geos。.在此坐标系中炮弹落地时，应有y=0,则x=0P.如欲使炮弹垂直击中坡面，

则应满足匕=0,直接列出有关运动方程和速度方程，即可求解.由于本题中加速度g为恒矢

量.故第一问也可由运动方程的矢量式计算，即目，做出炮弹落地时的矢量图［如图

(B)所示］，由图中所示几何关系也可求得回(即图中的r矢量).

(1)解1由分析知，炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为

IX|(1)

⑵

令y=0求得时间1后再代入式(1)得

解2做出炮弹的运动矢量图，如图⑹所示，并利用正弦定理，有

从中消去亡后也可得到同样结果.

(2)由分析知，如炮弹垂直击中坡面应满足y=0和%=0,则

J==■(3)

由(2)(3)两式消去1后得

由此可知.只要角。和£满足上式，炮弹就能垂直击中坡面，而与力的大小无关.

讨论如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解，求解本题将会比较困难，有兴趣读者不

妨自己体验一下.

1-20一直立的雨伞，张开后其边缘圆周的半径为A,离地面的高度为瓦(1)当伞绕伞柄以

匀角速3旋转时，求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为IX1的圆周上；(2)读

者能否由此定性构想一种草坪上或农田灌溉用的旋转式洒水器的方案？

题1-2()图

分析选定伞边缘0处的雨滴为研究对象，当伞以角速度3旋转时，雨滴将以速度-沿切线

方向飞出，并作平抛运动.建立如图(a)所示坐标系，列出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关

系，即可求证.由此可以想像如果让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出，从不同小孔中飞

出的水滴将会落在半径不同的圆周上，为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布还要给予精心的考

虑.

解(1)如图(a)所示坐标系中，雨滴落地的运动方程为

日

由式(1)(2)可得3

由图(a)所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为

(2)常用草坪喷水器采用如图(b)所示的球面喷头(%=45°)其上有大量小孔.喷头旋转

时，水滴以初速度％从各个小孔中喷出，并作斜上抛运动，通常喷头表面基本上与草坪处在同一

水平面上.则以。角喷射的水柱射程为

目

为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒，喷头上的小孔数不但很多，而且还不能均匀分布，这是

喷头设计中的一个关键问题.

1-21-足球运动员在正对球门前25.0m处以20.0m•s1的初速率罚任意球，已知球门

高为3.44m.若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度

的范围内踢出足球？(足球可视为质点)

题1-21图

分析被踢出后的足球，在空中作斜抛运动，其轨迹方程可由质点在竖直平面内的运动方程

得到.由于水平距离x已知，球门高度又限定了在y方向的范围，故只需将值代入即可求出.

解取图示坐标系0盯,由运动方程

消去t得轨迹方程

以x=25.0m,v=20.0m,s1及3.44代入后，可解得

71.11°20\269.92°

27.92°202218.89°

如何理解上述角度的范围？在初速一定的条件下，球击中球门底线或球门上缘都将对应有

两个不同的投射倾角（如图所示）.如果以。>71.11°或。<18.89°踢出足球，都将因射程不

足而不能直接射入球门；由于球门高度的限制，。角也并非能取71.11。与18.89°之间的任何

值.当倾角取值为27.92°<0<69.92°时，踢出的足球将越过门缘而离去，这时球也不能射入

球门.因此可取的角度范围只能是解中的结果.

1-22一质点沿半径为7?的圆周按规律目运动，均、6都是常量.（1）求心时

刻质点的总加速度；（2）亡为何值时总加速度在数值上等于6?（3）当加速度达到6时，质点已

沿圆周运行了多少圈？

分析在自然坐标中，s表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定的运动方程s=

s（t）,对时间力求一阶、二阶导数，即是沿曲线运动的速度v和加速度的切向分量团，而加速度的

法向分量为4=丹/兄这样，总加速度为a=alel+a,,en.至于质点在大时间内通过的路程，即为

曲线坐标的改变量4s=s,-s°.因圆周长为2nR,质点所转过的圈数自然可求得.

解（1）质点作圆周运动的速率为

IxI

其加速度的切向分量和法向分量分别为

故加速度的大小为

其方向与切线之间的夹角为

（2）要使IaI=b,由Ix|可得

□

（3）从1=0开始到1=%/b时，质点经过的路程为

日

因此质点运行的圈数为

1-23一半径为0.50m的飞轮在启动时的短时间内，其角速度与时间的平方成正比.在1=

2.0s时测得轮缘一点的速度值为4.0m•sL求：（1）该轮在U=0.5s的角速度，轮缘一点

的切向加速度和总加速度；（2）该点在2.0s内所转过的角度.

分析首先应该确定角速度的函数关系依据角量与线量的关系由特定时刻的速度

值可得相应的角速度，从而求出式中的比例系数A,3=3（匕）确定后，注意到运动的角量描述与

线量描述的相应关系，由运动学中两类问题求解的方法（微分法和积分法），即可得到特定时刻的

角加速度、切向加速度和角位移.

解因=/，由题意3得比例系数

a

所以

则，=0.5s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为

Ixi

总加速度

在2.0s内该点所转过的角度

1-24一质点在半径为0.10m的圆周上运动，其角位置为三I，式中。的单位为

rad"的单位为s.（1）求在2=2.0s时质点的法向加速度和切向加速度.（2）当切向加速度

的大小恰等于总加速度大小的一半时，。值为多少？（3）t为多少时，法向加速度和切向加速度

的值相等？

分析掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系，应用运动学求解的方法即可得

到.

解（1）由于N1，则角速度|xI.在t=2s时，法向加速度和切向加速

度的数值分别为

1x1

(2)当时，有目，即

IX■

得3

此时刻的角位置为

（3）要使国，则有

IX■

t=0.55s

1-25一无风的下雨天，一列火车以匕=20.0m-s1的速度匀速前进，在车内的旅客看见

玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降.求雨滴下落的速度外.（设下降的雨滴作匀速运动）

题1-25图

分析这是一个相对运动的问题.设雨滴为研究对象，地面为静止参考系S,火车为动参考

系S'.匕为S'相对S的速度，外为雨滴相对S的速度，利用相对运动速度的关系即可解.解

以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为上,雨滴相对地面竖直下落的速度为外，旅客看到

雨滴下落的速度I为相对速度，它们之间的关系为后］（如图所示），于是可得

1-26如图（a）所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速率为由，下落雨滴的速度方向偏于竖直

方向之前，角，速率为我'，若车后有一长方形物体，问车速匕为多大时，此物体正好不会被雨水

淋湿？

分析这也是一个相对运动的问题.可视雨点为研究对象，地面为静参考系S,汽车为动参

考系S'.如图（a）所示，要使物体不被淋湿，在车上观察雨点下落的方向（即雨点相对于汽车的

运动速度十的方向）应满足三］.再由相对速度的矢量关系N），即可求出所需

车速％.

［图⑹］,有

LxJ

而要使目，则

日

1-27一人能在静水中以1.10m-s”的速度划船前进.今欲横渡一宽为LOOX103m、

水流速度为0.55m・s'的大河.（1）他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，那么应如

何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行

方向？船到达对岸的位置在什么地方？

分析船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度/决定的.由于水流速度〃的存在，「与船

在静水中划行的速度/之间有+F（如图所示）.若要使船到达正对岸，则必须使超正对

岸方向；在划速一定的条件下，若要用最短时间过河，则必须使。有极大值.