新人教A版必修一 函数模型的应用教案

函数模型的应用

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

函数模型的应用B了解指数函数、对数函数以及幕函少考

数的增长特征，知道直线上升、指数

增长、对数增长等不同函数类型增

长的含义及在社会生活中的广泛应

用.

知识提要

函数模型的应用

・函数模型的概念函数模型就是用函数知识对日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、

产量最大、收益最好、用料最省等实际问题进行归纳加工，建立相应的目标函数，确定变量

的取值范围，运用函数的方法进行求解，最后用其解决实际问题.

・几种函数模型的增长速度比较在区间(0,+8)上，尽管函数丁=a«a>l),y=loga%(a>1)

和丁=》气。>())都是增函数，但它们的增长速度不同，随着x的增大，指数函数丁=

ax(a>1)的增长速度会越来越快，会超过并远远大于幕函数y=xa(a>0)的增长速度，而

y=logaX(a>1)的增长则会越来越慢，因此总会存在一个与，当x>x()时，就有logM<

xa<ax.

精选例题

函数模型的应用

1。某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y(km)与刹车时的速度x(km/h)的关系可以用y=

a/来描述.已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为bkm.若这

种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3bkm,则这辆车的行驶速度为km/h.

【答案】60V3

【分析】根据题意得匕=3600a,若滑行距离为功km,则3b=a/,

即3x3600a=ax2,解得x=60V5.

2。某人2014年1月I日到银行存入一年期本金a元，若年利率为x,按复利计算，到2017年1

月1日可取回本利和为.

【答案】a(l+x)3元

(分析]0(1+%)2。17-2014=a(1+W3(元).

3.某店在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装卸费为10000元，每天

需要房租水电等费用100元，收营销方法，经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P与

店面营业天数x的关系是P(x)=[30°X-I104”<300,则总利润最大时店面营业天数

是.

【答案】200

【分析】设总利润为L(x),

、f--x2+200x—10000,0<x<300,

则L(x)=<2、

100%+35000,x>300,

则L(x)=200)2+10000,0<x<300,

I—100%+35000,x》300,

当04x<300时,L(X)max=10000,

当x>300时/(x)max=5000,

所以总利润最大时店面营业天数是200.

4.某地高山上温度从山脚起每升高100m降低06C.已知山顶的温度是146C,山脚的温度是

26℃,则此山的高为m.

【答案】1900

5.某种金属材料的耐高温实验中，温度y随时间t的变化情况如图所示，给出下面四种说法:

①前5分钟温度增加的速度越来越快；

②前5分钟温度增加的速度越来越慢；

③5分钟以后的温度保持匀速增加；

④5分钟以后温度保持不变.

说法正确的是.

【答案】②④

【分析】前5分钟温度增加的速度应越来越慢，因为此段内曲线越来越“缓，”故②正确；5分

钟后，对应曲线是水平的，说明温度不变了，故④正确.

6.如图，大海中的两艘船，甲船在4处，乙船在4处正东50km的B处，现在甲船从4处以

20km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B处以10km/h的速度向正西方向航行，则经

过h后，两船相距最近.

【答案】1

【分析】设经过th后，甲船到达点M处，乙船到达点N处，

此时4M=20t,AN=50-NB=50-lOt,

这时两船相距y=MN=>/AM2+AN2=V(20t)2+(50-10t)2=,500(t-1产+2000,

所以当t=l时,y取最小值，此时两船相距最近.

7。某地区居民生活用电按高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区的电价表如下:

高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表

高峰月高峰电低谷月低谷电

用电量/价/(元/用电量/价/(元/

(kWh)(kWh))(kWh)(kWh))

50及以50及以

下的部分0.568下的部分0.288

超过50超过50

但不超但不超

0.318

过200的0.598过200的

部分

超过超过200

2000.6680.388

的部分的部分

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200kW-h,低谷时间段用电量为100kW-h,则按这

种计费方式，该家庭本月应付的电费为()元.(用数字作答)

【答案】148.4

8.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加一单位，成本就增加1万元，

又知总收入R是单位产量Q的函数：R(Q)=4Q—六Q2,那么总利润L(Q)的最大值

是万元，这时产品的产量为.(总利润=总收入-成本)

【答案】250：300

【分析】L(Q)=4Q一表Q2_(2oo+Q)=_300)2+250,

则当Q=300时，总利润L(Q)取最大值250万元.

9。某油罐中存油1600L,现从中匀速抽出油，20min抽尽，则油罐中剩余量y(L)与抽出时间

x(min)之间的函数关系式为.

【答案】y=1600-80x(0<x<20)

10.如图所示，等腰梯形4BCD的上底OC=8,下底48=20,AD=BC=10,设动点P由B点沿

梯形各边经C,。到4点，设点P运动的路程为x,则AAPB的面积5随P点的位置变动而变化的

函数关系式为（）.

(0<x<10),

【答案】5=<80(10<x<18),

(224-8x(18<x<28)

【分析】当点P在BC上运动，即0410时,

S=-x20x-x=8x；

25

当点P在CD上运动，即10<x418时，

S=ix20x8=80；

2

当点P在。4上运动，即18cx(28时，

S=1x20x(28-%)x|=224-8x.

Ho如图所示，有一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降

1m后，水面宽为m.

12nr

【答案】2同

12。某商人购货，进价已按原价a扣去25%,他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售

后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关

系是.

【答案】y=：x(xeN+)

【分析】依题意，设新价为b,则有b(l-20%)-a(l-25%)=b(l-20%)-25%

化简，得b=：a,

4

所以y=b-20%-x=ja-20%-x,即y=^x(xeN+).

13.某种药物在病人血液中的含有量以每小时25%的比例衰减.现在医生为某个病人注射了

2500mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含有量为mg.

【答案】2500(1-25%尸

14.2015年12月7日，北京首次启动空气重污染红色预警.其应急措施包括：全市范围内将实

施机动车单双号限行(即单日只有单号车可以上路行驶，双日只有双号车可以上路行驶)，其中

北京的公务用车在单双号行驶的基础上，再停驶车辆总数的30%.现某单位的公务车，职工的

私家车数量如下表：

公务车私家车

单号(辆)10135

双号(辆)20120

根据应急措施,12月8日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有辆.

【答案】154

15。在一块平地上用一根长为12m的绳子圈出一块矩形的区域，则能圈出的区域的最大面积

是m2.

【答案】9

16o甲，乙两人同一天分别携带1万元到银行储蓄甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%,乙

存一年期定期储蓄，年利率为2.25%,并且在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.若存满五

年后两人同时从银行取出存款，则甲，乙所得本息之和的差为元.(精确到1元)

【答案】263

17.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度"(m/s)和燃料质量M(kg),火箭(除燃料外)

的质量m(kg)之间的关系是u=2000111(1+'),当燃料质量是火箭(除燃料外)质量的()

倍时，火箭的最大速度可达12km/s.

【答案】e6-l

【分析】依题意有20001n(l+?=12000,所以In(1+3)=6,

所以l+^=e6,故里=*—1.

mm

18。用长度为24m的材料围成一矩形场地，并且还用该材料在中间加两道隔墙，要使矩形面

积最大，则隔墙的长度为.

【答案】3m

【分析】设隔墙长为xm,则矩形面积y=x•第=x(12-2x)=—2(x—3)2+18,所以

当x=3时，y最大.

19.一个弹簧不挂物体时长12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比

例.如果挂上3kg物体后弹簧总长是13.5cm,则弹簧总长y(on)与所挂物体质量x(kg)之间的

函数关系式为.

【答案】y=+12

【分析】设所求函数解析式为y=kx+12,把刀=3,丫=13.5代入，得13.5=3k+12,k=[.

所以所求的函数解析式为y=+12.

20o某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额:①如果不超过200元，则不予

优惠；②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠;③如果超过500元，其500元

按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，

假设他一次购买上述同样的商品，则应付款元.

【答案】546.6

21.某水库水位已超过警戒水位(设超过的水量为P),由于上游仍在降暴雨，每小时将流入

水库相同的水量Q，为了保护大坝的安全，要求水库迅速下降到警戒水位以下，需打开若干孔泄

洪闸(每孔泄洪闸泄洪量都相同).要使水位下降到警戒水位，经测算，打开两孔泄洪闸，需40

小时;打开4孔泄洪闸，需16小时.现要求在8小时内使水位下降到警戒水位以下，问:至少需打开

几孔泄洪闸？

【解】设应打开71孔泄洪闸，每孔泄洪闸每小时的泄洪量为R,则有

(PQ(P160

~~+40,,=80,—=-----

RRR3'

(P+40Q=40x2R,pQn7

P+16Q=16X4H,=<—4-16---=64,="———

(P+8QV8xnR.RRR3'

pQpQ

—+8,—<8?i.—+8•—<8n.

IRRIRR

所以8n>2+8.铝季从而n>/=7.3.

22。为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ||BC,RQ1

BC,另外尸的内部有一文物保护区.AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=

20m.

(1)求直线EF的方程.

【解】建立坐标系如图所示,

由题意，

直线EF的方程为捺+为=1.

(2)应如何设计才能使草坪的占地面积最大?

【解】在线段EF上任取一点Q,

分别向BC,CD作垂线.

设Q(x,20-gx),

则矩形PQRC的面积为：S=(100-x)-[80-(2：0-|x)](其中04x(30);

化简，得S=-|工2+m化+6000(其中04其(30)；

20

所以当x=-----TTT=5时，

2个)

此时y=20一|x5=拳

即取点Q(5,时，

S有最大值，最大值为6016|nA

23。某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场.己知投资生产这两种

产品的有关数据如下表：

年固定成本(万美元)每件产品成本(万美元)每件产品售价(万美元)每年最多可生产件数

甲产品20a10200

乙产品40818120

其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且34a48.另外,年销售x件乙产品时需上

交0.05/万美元的特别关税.

(1)写出该企业分别投资生产甲、乙两种产品的年利润为,乃与生产相应产品的件数

x(xeN)之间的函数关系式；

【解】由题知力=10%-(20+ax)=(10-a)x-20,0<x<200且xGN；

222

y2=18x—(40+8%)—0.05x=-0.05x+10%-40=-0.05(x—100)+460,0<x<

120且xGN.

(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润.

【解】因为34a48,所以10—a>0,

所以为=(10-a)x-20为增函数.

又0<%<200,xeN,

所以当x=200时，yi取得最大值，

即投资生产甲产品的最大年利润为(10-a)x200-20=1980-200a(万美元).

2

y2=-0.05(x-100)+460,0<x<120,xeN,

所以当x=100时，取得最大值，

即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元.

24.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支

柱的长.

以拱顶为原点，水平线为X轴，建立如图所示的坐标系.

由题意知,IAB|=20,|OM|=4,A,B坐标分别为(一10,-4)、(10,-4),

设抛物线方程为/=-2py,将A点坐标代入，得100=-2px(—4),解得p=12.5,于是抛

物线方程为/=-25y.由题意知E点坐标为(2,-4),口点横坐标也为2,将2代入得y=-0.16,

从而IEE'|=(-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

25o以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表：

身高/cm60708090100110120130140150160170

体重/kg6.137.199.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05

(1)根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数y=ox+b,y=a-\nx+b,

y=a,尹中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y关于身高x的函数关系，试

写出这个函数的解析式，并求出a,b的值；

【解】将已知数据输入计算机，画出图.

体

d^r~.!kg

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1IP-「114-阚H身高/cm

1一

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—

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T-—

+tTT

二

4L-

1，r-I-

根据图1,选择函数、=a*进行拟合.如果保留两位小数可得a=2,b=1.02.所以，该

地区未成年男性体重关于身高的函数关系式可以选为y=2-1.02\

将已知数据代入所得函数关系式，或作出所得函数的图象图，

体

'I';kg

rrn

IIIII—IJ

7o-TLr

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-+-Tt41

二

I--l+L-一

±Li一J

一-

可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系.

(2)若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生

身高175cm,体重78kg,他的体重是否正常？

【解】将％=175代入y=2-1.02。得y=2•1.02175,计算得y=63.98,由于居M

63.98

1.22>1.2,所以这个男生体重偏胖.

26.某民营企业生产A,B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其

关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润与投资的

单位都是万元).

(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式.

【解】设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元，

由题意设/(x)=kxx,g(x)=k2y[x

由题图知f(1)=*g(4)=I，所以的=今所以睡=

从而/'(x)=(久(x》0),g(x)=.4Ox》0).

(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A,B两种产品的生产，问：怎样分配这10万

元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(利润精确到1万元)

【解】设A产品投入x万元，则B产品投入(10-盼万元，该企业的利润为y万元，

则y-/(x)+g(io-x)=；+^V10-x(0<x<10),

令V10—x=t,则y=31=-；G-1)+(0<t<V10),

当t=?时，y取得最大值，ymax«4,此时x=10—3.75,10-x=6.25.

所以当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时:企业获得最大利润，最大利润约为4

万元.

27.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时,

某种鱼有一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度裂(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾

/立方米)的函数，当％不超过4(尾/立方米)时，〃的值为2(千克/年)；当44入(20时,

u是％的一次函数；当工达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，〃的值为0(千克/年).

(1)当0V%420时，求函数u(%)的表达式；

【解】由题意知，当0V%44时，v(x)=2;

当44x420时，设p(x)=Q%+b,显然〃(%)=。工+8在［4,20］上是减函数，

由己知图占°,解得

(2(0<%<4,x6N+),

故函数"(％)=<1।5乙//”「2、

(--X4--{4<%<20,xGN+).

(2)当养殖密度工为多」时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)/(%)="〃(%)可以达到

最大，并求出最大值.

f2x(0<%<4,%GN+),

【解】依题意并由⑴可得/'(x)=1*+|(4<x420,xeN+).

当0<X<4时，，/(%)为增函数，故Anax(X)=f(4)=4x2=8；

当4V%420时/<)=_%2+1%=一黄%2_20%)=一2-10)2+等,finaxM=

oZooo

f(10)=12.5,

所以，当x=10时，f(x)的最大值为12.5,

因此当养殖密度为10尾/立方米时，

鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.

28o把长为10cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正方形，求这两个正方形面积之和的最小

值.

【解】设铁丝一段长xcm,0<x<10,则另一段铁丝长(10—x)cm,两正方形面积之

和为ycm2,

依题意，y=i2+^2=l(x-5)2+y

当x=5时，取最小值称

O

答：两个正方形面积之和的最小值为个cm2

8

29o某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t£N*)(天)的函数关系用如图的两条线

段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(teN*)(天)之间的关系如下表：

时间t/天5152030

销售量Q/件35252010

(1)根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系；

【解】由己知得：P=院，<1窘?N?)

(2)根据表中提供的数据，确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；

【解】对应的一个函数关系式为：Q=-t+40(0<t<30,t€N)

(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几

天?(日销售金额=每件的销售价格x日销售量)

2

［解】=(-t+20t+800,(0<t<25,teN*)

解y=It2-140t+4000.(25<t<30,teN")

经计算知，当t=25时，日销售金额最大，且最大值为1125.

30o诺贝尔发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化

学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放资金的总金额

是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加.假设基

金平均年利率为r=6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19800万美元.设

f(x)表示第K(X£N+)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为.(1),2000年记为“2),…，依

次类推)

(1)用f(l)表示“2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；

【解】由题意知：/(2)=/(1)(1+6.24%)-1/(1)-6.24%=/(I)x(1+3.12%),

f(3)=f(2)x(1+6.24%)-1/(2)X6.24%=f(2)x(1+3.12%)=/(l)X(1+3.12%)2,

所以f(x)=19800(14-3.12%)XT(X6N+).

(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是

否为真，并说明理由.(参考数据：1.0312921.32)

【解】2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)=19800(1+3.12%)9=26136,故2009

年度诺贝尔奖各项资金为;4/(10)・6.24%7136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美

62

元，是假新闻.

31。如图，将一根长为m的铁丝弯曲围成一个上面是半圆，下方是矩形的形状.

(1)将铁丝围成的面积y表示为圆的半径x的函数，并写出其定义域.

【解】由题意可得底宽为2x米，半圆弧长为n久米，再设矩形的高为t米，可得y=2xt+

：一,所以1=字.

：2X

__n2

而周长为m=2t+2%+TTX=+2%+IT%=(+(2+1)居解出y=—(2+/)/+mx^

由t>0得0<%〈鼻，所以y=-(2++血％,定义域为

(2)求面积最大时，圆而半径无大小.

【解】y=-（2+］）/+?nx

=一（2+m（x-£y+m2

8+如.

当％=三时，y取得最大值得，即有半径、=三时，面积取得最大值.

32.如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m,两侧距离地面4m

高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m,则校门的高为多少米？(精确

到0.1m,水泥建筑物厚度忽略不计)

M

【解】以AB所在直线为x轴，4B的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则有4(-4,0),

B(4,0),C(-3,4),D(3,4).

设抛物线的解析式为y=a(x+4)(%-4),

把点(3,4)代入上式，得4=—7a,所以a=—；.

所以抛物线的解析式为y=-沁+4)(x-4)=-ix2+y.

所以抛物线的顶点坐标为(0,算

所以校门的高为当“9.1(m).

33.有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形4BCD的形状，它的下底AB是。。的直

径，上底CD的端点在圆周上,写出这个梯形的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出它的定义

域.

【解】如图/B=2R,C,。在半圆上，腰长AD=8C=x,过点。作OE14B于点E,连接

BD,

AEOB

那么44DB=90°,易知RtAADE-

所以A02=AE-AB.

所以4E=兰,所以CD=2R-2AE=2R

2RR

所以周长y与腰长x之间的函数关系式为y=2R+2x+^2R——=--^-+2x+4R

(X>0,

X2

又(点>.解得0<x<&R.

所以定义域为｛xI0<x<V2/?).

34。某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成

经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计

利息).已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)之间

的关系用如图中的一条折线(实线)表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用

为每月13200元.

(1)若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；

【解】设该店的月利润为5元，有职工m名.则S=q(p-40)x100-600m-13200.

又由图可知…=、《产黑然:

(一P十OZ<p&bJJ

所以q_1(-2p+140)(p-40)x100-600m-13200(40<p<58)

Q

WT",S=j(_p+82)_40)*100-600m-13200(58<p<81),

由已知，当p=52时,S=0,BP(-2p+140)(p-40)x100-600m-13200=0,

解得m=50.即此时该店有50名职工.

(2)若该店只安排40名职工，则该店最早可在儿年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定

为多少元？

【解】若该店只安排40名职工，则月利润S=

f(-2p+140)(p-40)x100-600m-13200(40<p<58)

t(-p+82)(p-40)x100-600m-13200(58<p<81)'

当404p458时，求得p=55时，S取最大值7800元.当58<p<81时，求得p=61时,S取

最大值6900元.

综上，当p=55时,S有最大值7800元.

设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有12nx7800-268000-200000》。.

解得n》5.所以,该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.

35。某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30km(忽略内、外环线长度差

异).

(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10min,求内环线

列车的最小平均速度；

【解】设内环线列车运行的平均速度为口km/h,由题意可知|^x60410,解得

20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10min,列车的最小步均速度是20km/h.

(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25km/h,外环线列车平均速度为30km/

h.现内、外环线共有18列列车全部投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差

最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？

【解】设内环线投入x列列车运行,则外环线投入(18-％)列列车运行，内、外环线乘客最

长候车时间分别为％tmin,则G=券x60=孑，t?=就二x60=于是有

2ZbXX31^.10—XJLO—X

(7260

1x<9,%6N*

-x----1--%------1T8o

平+410<%<17,x6N

V\%x—18/

在(0,9)递减，在(10,17)递增.又t(9)>t(10),所以x=10,所以当内环线投入10列，外环线

投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.

36.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，

如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与时间t(月)之间的

函数关系式.

(1)根据图形求累积利润S(万元)与时间r(月)之间的函数关系式;

【解】设5=成2+况+£;,易知C=0,

(4a+2b=—2,(a—1

l一五=2.U=-2.

所以S=]2-2t(teN).

(2)求截九到几月末公司累积利润可达到30万元；

【解】令]2-2t=30=t=10或t=一6(舍去)，

即截止到11月末公司累积利润达到30万元.

(3)求第8个月公司所获利润是多少万元？

【解】5(8)-5(7)=|x82-2x8-[|x72-2x7]=5.5(万元)，

即第8个月公司获利5.5万元.

37.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费);

超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千

米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，求此次出

相车行驶了多少千米.

【解】设出租车行驶的路程为x千米，付费为y元，

(9,0<x<3

由题意，得y=8+2.15x(x-3)+1,3<x<8

(8+2.15x5+2.85x(x-8)+1.x>8

令y=22.6,解得x=9,

故此次出租车行驶了9千米.

38.某房地产开发公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，如

何设计才能使公寓占地面积最大？(单位：m)

【解】要使公寓占地为一长方形，有三种设计方案，分别求出三种方案的最值，三个值中

最大的即为所求.

(1)当一端点在BC边上时，只有在B点时长方形BBiDC的面积最大.易知最大面积a=

S四边形BCDBI=5600(m2).

(2)当一端点在E4边上时，只有在4点时长方形4&DE的面积最大.易知最大面积S?=

S四边形=1°°x60=6000(m2).

(3)当一端点在48边上时，设该点为M,如图，构造长方形MNDP,并补全长方形。CDE,

延长PM交0C于Q.

设MQ=xm(O<x<20),

所以MP=PQ-MQ=(80-x)m,

又因为04=20m,OB=30m,MQ||AO,

所以竺=整即.=工解得QB=-x,

OB04'3020y2

所以MN=QC=QB+BC=Qx+70)m,

所以S3=S四边形MNDP=.MP=(70+|x)(80-x)=|(x-学+竽.

因为0<x<20,

所以当x=m是，S3取得最大值，最大值为等m2.

比较Si，S2,S3,得S3最大，此时MQ=Fm,BM=空手m,

故当长方形的一端点落在AB边上，且离B点等m时，公寓占地面积最大.

39.某服装厂生产一种服装，每件成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决

定当销售商一次性订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的单价就降低0.02

元.根据市场调查，销售商一次性的订购量不超过500件.

(1)当一次性订购量为x件时，求该服装的单价；

(60,0cx4100且xeN

【解】当订购量为x件时，单价为p=x=

62-需，100<%《5r00且彳€

(2)当销售商订购了450件服装时，该服装厂获篙的利润是多少元？

【解】设订购量为x件时，服装厂获得的利润为y,则有

'20x,0<%<100且xGN*,

V=2.

22x-^r,100<乂4500且工€1\1*

所以当x=450时，y=5850元.

40.甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1<%<10）,每小时可获得利

润是100（5久+1-：）元.

（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

【解】根据题意，

200(5%+1-1)>3000

化简可得

3

5%—14——>0.

X

又14久410,可解得

3<%<10.

（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大

利润.

【解】设利润为y元，则

=----100(5x+l-

y3

=9X1°4-3(Z-6)+

故％=6时,'max—457500元.

课后练习

1。我国《国民经济和社会发展第十一个五年规划纲要》提出，“十一五”期间单位国内生产总

值能耗降低20%.如果这五年平均每年降低的百分率为X,那么x满足的方程是.

2。如图，有一边长为a的正方形的铁皮，将其四个角各裁去一个边长为x的小正方形，然后折

成一个无盖的盒子，设盒子的体积为心则V关于X的函数的解析式为.

3.某商场在国庆促销期间规定，商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内

消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的现金返奖：

消费金额的范围/元[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…

返金的金额/元3060100130…

根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则

消费金额为320元,获得的优惠金额为：400x0.2+30=110(元).若顾客购买一件标价为

1000元的商品，则所能得到的优惠金额为元.

4。为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方

米的空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比.药物释放完毕