学案二次函数与一元二次方程、不等式-教案课件-人教版高中数学必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式

【学习目标】

(1)从函数观点看一元二次方程.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根

的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.

(2)从函数观点看一元二次不等式.

①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能

借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.

②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

【学习重难点】

二次函数与一元二次方程和不等式的关系。

【学习过程】

一、自主学习

知识点：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

J>0J=0J<0

d/k

y=ax2+bx+

4oAz/

c(a>0)的图象

有两个不相等有两个相等的

ax1+bx+c=

的实数根无1，X2实数根Xl=X2=~没有实数根

0(4>0)的根b

(X1<T2)2a

a)c+bx+c>Q[x\x<x\,或b

{4#一五}R

(a>0)的解集X>X2}

ax1++c<0

{X\X\<X<X2}00

(6Z>0)的解集

状元随笔一元二次不等式的解法:

(1)图象法：一般地，当a〉0时，解形如加+匕x+c>0(>0)或o^+Zzx+cvO(a<0)的

一元二次不等式，一般可分为三步：

①确定对应方程加+公+。=0的解；②画出对应函数的图象简图；③由

图象得出不等式的解集.

对于«<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它

化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解.

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x-

p)(X—q)>0,则x>q或x<p；若(x—p)(x—q)<0,则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，

小于取中间”.

教材解难：

教材P50思考

能.可以从2个角度来看

①函数的角度：一元二次不等式a^+bx+oQ表示二次函数y=ax1+bx+c的函数值大于

0,图象在x轴的上方；一元二次不等式加+法+c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分

的自变量的取值范围.

②方程的角度：一元二次不等式a^+bx+oO的解集的端点值是一元二次方程加+区+

c=0的根.

基础自测：

1.下列不等式中是一元二次不等式的是()

A.<22J?+2>0

B.93

C.—m<0

D.炉一2%+1〉0

解析：选项A中，/=()时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；

只有选项C符合.

答案：C

2.不等式x(x+1)00的解集为()

A.[—1,+oo)

B.[-1,0)

C.(-00,-1]

D.[-1,0]

解析：解不等式得一修g0,故选D.

答案：D

函数产产N?

3.的定义域为()

A.[-7,1]

B.(-7,1)

C.(—oo,—7]U[1»+oo)

D.(—oo,-7)U(1,+oo)

解析：由7—6x—%2〉。，得f+Gx—7<0,即(x+7)(x—1)<0,所以一7<r<l,故选B.

答案：B

4.不等式l+2x+fg0的解集为.

解析：不等式i+2x+f4)化为G+1)2<0,解得x=-1.

答案：{—1}

二、素养提升

题型一：解不含参数的一元二次不等式(教材P52例1、2、3)

例1：(1)求不等式f—5元+6〉0的解集.

(2)求不等式外6x+l>0的解集.

(3)求不等式一f+Zx—?〉。的解集.

解析：(1)对于方程f—5x+6=0,因为/>0,所以它有两个实数根.解得汨=2,及=3.

画出二次函数y=^~5x+6的图象(图1),结合图象得不等式f—5x+6〉0的解集为

{x\x<2,或x>3}.

(2)对于方程91-6*+1=0,因为/=0,所以它有两个相等的实数根，解得汨=尬=/

画出二次函数y=9f—6%+1的图象(图2),结合图象得不等式9f-6%+1〉0的解集为

（3）不等式可化为f—2x+3<0.

因为/=-8<0,所以方程f—2r+3=0无实数根.

画出二次函数y=/—2x+3的图象（图3）.

结合图象得不等式x2—2x+3<0的解集为。.

因此，原不等式的解集为0.

因为方程X2—5x+6=0的根是函数y=x2—5x+6的零点，所以先求出x2—5x+6=0的

根，再根据函数图象得到X2-5X+6>0的解集.

教材反思

我们以求解可化成加+bx+c>0（a>0）形式的不等式为例，用框图表示其求解过程.

△V0

22

方程aj.2+In'+c方程aj+Ztr+c方程+bx+c

=0有两个不相=0有两个相等=0没有实数根

等的实数根.解得的实数根.解得

一口，上、2（〜门V）

■

V

原不等式的解集原不等式的解集为原不等式的解集

为《Z|上V2-1.或为R

ZI才丰一

7>-1-2}

跟踪训练1：解下列不等式:

(1)x2—78+12〉0；

(2)-x1-2x+3>0；

(3)x2—2x+1<0；

(4)-2f+3x-2<0.

解析：（1）因为』=1>0,所以方程幺一7%+12=0有两个不等实根a=3,及=4.再根

据函数y=f—7x+12的图象开口向上，可得不等式f-7》+12>0的解集是{MxV3或尤>4}.

（2）不等式两边同乘一1,原不等式可化为f+Zx—BWO.因为/=16>0,所以方程V+

2%—3=0有两个不等实根用=—3,超=1.再根据函数y=/+2x—3的图象开口向上，可得不

等式一x2—2x+3K）的解集是{x|—3勺3}.

(3)因为/=0,所以方程f—2x+l=0有两个相等的实根㈤=X2=1.再根据函数

-2x+l的图象开口向上，可得不等式x2—Zx+lVO的解集为。.

(4)原不等式可化为2f—3x+2>0,因此』=9-4x2x2=-7VO,所以方程2%2—3x+

2=0无实根，又二次函数y=2f—3x+2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

题型二：三个“二次”之间的关系

例2：已知关于x的不等式公2+bx+c>0的解集为｛x|2<r<3｝,求关于x的不等式c/+Zzx

+。<0的解集.

解析：方法一：由不等式ax2+bx+c>Q的解集为｛x[2<x<3｝可知，a<0,且2和3是方程

加+云+。=0的两根，由根与系数的关系可知§=-5,'=6.由加0知c<0,与=£,故不等

式cf+〃x+avO,即/+纥+@>(),即『一获+]>0,解得或所以不等式cx1+bx+

ccoo32

a<0的解集为(一8，；)呢，+oo).

方法二：由不等式加+〃x+c>0的解集为｛x[2<x<3｝可知，<7<0,且2和3是方程加+法

+c=0的两根，所以of+bx+cuQ(x—2)(x—3)=ax1—5ax+6a=>b=—5a,c=6a,故不

等式cx^+bx+a<Q,即bar2—5ax+a<0=>6a^—^x—^<0,故原不等式的解集为(一8,

&+4

状元随笔||由给定不等式的解集形式|T|确定a<0及关于a,b,c的方程组I-

用a表示b,c一代入所求不等式一求解cx2+bx+a<0的解集

方法归纳：

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时,

要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.

(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的

根，要注意解集的形式与二次项系数的联系.

(2)若一元二次不等式的解集为R或。，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次

函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围.

跟踪训练2：已知一元二次不等式f+px+qcO的解集为卜■,求不等式q/+px

+1〉0的解集.

所以尤1=-3与X2=；是方程x1+px+q

解析：因为f+px+q<0的解集为x

=0的两个实数根,

fl1f1

厂5=—P'P=M

由根与系数的关系得J解得J1

〔铲卜步心[L.

所以不等式qf+px+l〉。即为一"+今+1〉0,

整理得x2—x—6<0,解得一2<x<3.

即不等式qx^+px+1>0的解集为｛x|—2<r<3｝.

状元随笔|国给定不等式的解集形式|一|由根与系数的关系得p,q的方言'

t确定p,q的值一求不等式qx2+px+1>0的解集

题型三：含参数的一元二次不等式的解法

例3：解关于x的不等式2f+ax+2>0.

解析：对于方程Zf+or+ZnO,其判别式/=储-16=(a+4)(a—4).

①当a>4或a<—4时，/〉0,方程2^+0+2=0的两根为汨=[(一“一卜屋一八),X2=

((-a+,\Ja2—16).

•••原不等式的解集为

11

<->-

X44

②当。=4时，zf=O,方程有两个相等实根，XI=X2=-L

•••原不等式的解集为｛4#-1).

③当a=-4时，J=0,方程有两个相等实根，尤1=及=1，

原不等式的解集为｛4#1｝.

④当一4<a<4时，/<0,方程无实根，，原不等式的解集为R.

状元随笔|二次项系数为2,A=a2—16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此

需对判别式△的符号进行讨论，确定根的个数.

方法归纳:

含参数一元二次不等式求解步骤

（1）讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；

（2）讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；

（3）当/>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；

（4）最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集.

跟踪训练3解关于光的不等式（a+屋）％+炉>0.

解析：原不等式可变形为（%-«）-（x—/）>0,则方程（x—a）（X—/）=0的两个根为

x\=a,%2=。2，

（1）当a<0时，有a</,或x>/,此时原不等式的解集为｛x|x<a或x>/｝；

（2）当0<。<1时,有口>/,即或x>a,此时原不等式的解集为｛x|x<q2或x>q｝；

（3）当a>l时，有即或x>/,此时原不等式的解集为｛x|x<a或x>/｝；

（4）当a=0时，有#0；...原不等式的解集为｛x|xWR且灯0｝；

（5）当。=1时，有中1,此时原不等式的解集为｛xkGR且存1｝；

综上可知：

当a<0或a〉l时，原不等式的解集为｛x|x<a或x>“2｝；

当0<a<l时，原不等式的解集为｛%仅</或x>。｝；

当。=0时，原不等式的解集为｛x|x£R且/0｝；

当。=1时，原不等式的解集为｛xlxGR且灯1｝.

不等式左边分画式］一|讨论a的范围|T|比较a与a2的大小|T国出不等式的解集'

题型四：一元二次不等式的实际应用［经典例题］

例4：某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设

生产该产品无（百台），其总成本为g（龙）万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收

—0.5J?+7X—10.5,0<x<7,

入r（x）满足r（尤）=<

13.5,x>7.

假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求:

（1）要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？

（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？

解析：（1）依题意得g（x）=x+3,设利润函数为/（x）,则

1—0.5f+6x—13.5,0<x<7,

f(x)=r(x)—g(x),所以f(x)=

10.5—x,x>7,

0<^<7,x>7,

要使工厂有盈利，则有了(X)>0,因为/(X)>0*或，

-0.5X2+6X-13.5>0一10.5—x>0

0<x<7,[x>7,[0<x<7,(x>7,

或<="或|则3<x<7或7<x<10.5,即3

y-12x+27<0-[10.5-x>0[3<x<9lx<10.5.

VxV10.5,所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内.

(2)当3〈后7时，fCx)=-0.5(x—6)2+4.5,故当x=6时，/(%)有最大值4.5,而

当x>7时，/(x)<10.5-7=3.5,所以当工厂生产600台产品时盈利最大.

(1)求利润函数f(x)今解不等式f(x)>0,回答实际问题.

(2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值,回答实际问题.

方法归纳：

解不等式应用题的四步骤：

(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.

(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系.

(3)求：解不等式.

(4)答：回答实际问题.

特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.

跟踪训练4：某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征

税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将

征税率降低x(样0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.

(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.

解析：(1)降低税率后的税率为(10—幻%,农产品的收购量为a(l+2x%)万担，收购

总金额为200a(l+2x%)

依题意得，y=200a(1+2九%)(10-%)%

(100+2x)(10-x)(0<x<10).

(2)原计划税收为200a」0%=20a(万元).

依题意得，(100+2x)(10—x)220ax83.2%,

化简得『+40%—84或，

-42<x<2.

又,.•OVxVIO,：.Q<x<2.

：.x的取值范围是{x|O〈启2}.

状元随笔根据题意，列出各数量之间的关系表，如下:

原计划降税后

价格（元/担）200200

税率10%(10-x)%(0<x<10)

收购量（万担）aa(l+2x%)

收购总金额（万元）200a200-a(l+2x%)

税收y（万元）200a-10%200-a(l+2x%)(10-x)%

三、学业达标

（一）选择题

1.不等式3f—2x+l>0的解集为（）

11

A.俨—r

f1]

C.0

D.R

解析：因为/=（-2）2-4x3xl=-8<0,所以抛物线yuBV—Zx+l开口向上，与x轴

无交点，故39—2%+1〉0恒成立，即不等式1?-2九+1〉0的解集为R.

答案：D

2.设机+”>0,则关于x的不等式（加一%）（〃+x）>0的解集是（）

A.{x|x<—«或x>m]

B.{x\—n<x<m}

C.{x|x<一加或

D.{x\—m<x<n}

解析：不等式（加一x）（/?+x）>0可化为（元一〃z）（x+〃）<0,方程（x—m）（x+n）=0

的两根为即=机，xi=-n.由加+〃>0,得m>一几,则不等式（x—机）（x+n）<0的解集是{x|

—n<x<m},故选B.

答案：B

3.不等式加+5尤+c>0的解集为“xS则a,c的值分别为()

A.。=6,c=1

B.a=-6,c=­l

C.。=1,c=\

D.a=-1,c=-6

解析：由题意知，方程加+5x+c=0的两根为汨=/X2=：，由根与系数的关系得尤1+

1.1511c区力3-.

%2=§+g=_/XvX2=sx2=7r解得Q=-6,c=-1.

答案：B

4.若不等式/+如+々〉0的解集为R,则实数机的取值范围是()

A.(2,+oo)

B.(—oo,2)

C.(—oo,0)U(2,+oo)

D.(0,2)

解析：由题意知原不等式对应方程的/<0,即/n2-4xlxy<0,即m2-2m<0,解得0〈加<2,

故答案为D.

答案：D

(二)填空题

5.不等式(2x—5)(x+3)<0的解集为.

解析：方程⑵-5)(x+3)=0的两根为xi=|,及=—3,函数尸⑵一5)(尤+3)的

图象与x轴的交点坐标为(-3,0)和修，0),所以不等式(2x—5)(x+3)<0的解集为

x—3<r<2

答案：令<||

2x—1

6.不等式罚<0的解集为

解析：原不等式可以化为(2x—l)(2x+l)<0,

故原不等式的解集为H—去84}.

小自11

答案：x-^<21

7.用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗？若“能”，当长=

m,宽=m时，所围成的矩形的面积最大.

解析：设矩形一边的长为刈1,则另一边的长为(50—尤)m,0<Y<50.由题意，得x(50

-x)>600,即*-50*+600<0,解得204<30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内

取值时，能围成一个面积大于60011?的矩形.用S表示矩形的面积