平面向量高考试题(含详细答案)

平面向量高考试题精选（一）

选择题（共14小题）

1.（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD-则（）

A.AD=--1AB+-1ACB-AD^1AB--|AC

C-AD^|AB+|ACD-AD=^AB--^AC

2.（2015•福建）已知标正，I疝I」，IAC|=f若P点是△ABC所在平面内一点,

且江好驾，则而•正的最大值等于（）

|AB||AC|

A.13B.15C.19D.21

3.（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，I同=6,|标i|=4,若点M、N满足丽=3记,

DN=2NC>则标-M=（）

A.20B.15C.9D.6

_—♦—♦*'■.—♦—♦

4.（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，K萧足/2。AC=2寸b，

则下列结论正确的是（）

—♦—♦—♦—♦—♦—♦.

A.|b=lB.a±bC.a・MlD.（4讲b）±BC

5.（2015•陕西）对任意向量W、b-下列关系式中不恒成立的是（）

A.|a-U<ldlHB.G-讣西-市1

C.D.(a+b)•(4-"p=-匕

6.（2015•重庆）若非零向量W，下茜足值=2乎g，且±（3「25），则W与4的

夹角为（）

A.—B.—C.卫D.n

424

7.（2015•重庆）已知非零向量a，b满足/XIab且a，（2a+b）则a与b的夹角

为（）

A.-B.-.C.空D.^―

3236

8.（2014•湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（-1,0）,B（0,丁5），C（3,0）,

♦•，，♦・

动点D满足|CD=1，则I0A+0B+0口的取值范围是（）

A.[4,6]B.1719-1-V1^1]C.[273,2诉D.[b-1,b+1]

9.（2014•桃城区校级模拟）设向量百谷曲足仁|=|山=1，a，b=-^<

a-c,b-c>=60%则启的最大值等于（）

A.2B.5/3C.72D.1

10.（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2,/BAD=120。，点E、F分别在边BC、DC

上，BE=ABC.DF=kDC>若标•屈1='CE«CF=-则入+尸（）

3

A.1B.2C.至D.二

23612

11.（2014•安徽）设』，己为非零向量，市=2百，两组向量五，三，E，三■和元，

可，口均由2个嬴2个例列而就若京•元+石・豆+耳・可+京•城所有可能取值

中的最小值为4|32,则£与E的夹角为（）

A.空B.—C.-D.0

336

12.(2014•四川)平面向量^=(1,2),fc=(4,2),(m€R),且3与W的夹角等

于c与b的夹角，则m=()

A.-2B.-1C.1D.2

13.(2014•新课标I)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，则函启

A.ADB.IADC.BCD.1BC

14.（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平

面内任意一点，则赢+而+优+'55等于（）

A.0MB.2QMC.3QMD.4QM

二.选择题（共8小题）

15.（2013•浙江）设不、=*为单位向量，非零向量5*£*+丫不，x、y€R.若不、「*的

夹角为30。，则单的最大值等于

Ib|

16.（2013•北京）已知点A（1,-1）,B（3,0）,C（2,1）.若平面区域D由所有满足

AP=XAB+klAC（1^2,0<n<D的点P组成，则D的面积为.

17.（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP1BD,垂足为P,且AP=3,则

AP-AC=.

18.（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则正•瓦的值

为.

19.（2011•天津）已知直角梯形ABCD中，AD/7BC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰

DC上的动点，则|血+3丽|的最小值为.

20.（2010♦浙江）已知平面向量五，-p五#E）满足I/1=1，且五与

E-五的夹角为120。，则|五|的取值范围是.

21.（2010•天津）如图，在△ABC中，AD1AB,前而，IAD|=1.则

AC'AD=

C

RD

22.(2009•天津)若等边△ABC的边长为2«,平面内一点M满足加=」而+2以，则

63

MA-MB=.

三.选择题(共2小题)

23.(2012・上海)定义向量而=(a,b)的"相伴函数"为f(x)=asinx+bcosx,函数f(x)

=asinx+bcosx的"相伴向量"为而=(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相

伴函数"构成的集合为S.

(1)设g(x)=3sin(x+—)+4sinx,求证：g(x)GS；

2

(2)已知h(x)=cos(x+a)+2cosx,且h(x)6S,求其“相伴向量”的模;

(3)已知M(a,b)(bxO)为圆C：(x-2)2+y2=i上一点，向量祈的"相伴函数"f(x)

在x=x()处取得最大值.当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围.

2C

24.(2007•四川)设Fi、F2分别是椭圆工+丫区1的左、右焦点.

4丫

(I)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且呵•呵=-弓，求点P的作标；

(II)设过定点M(0,2)的直线1与椭圆交于不同的两点A、B,且/AOB为锐角(其中

O为坐标原点)，求直线1的斜率k的取值范围.

平面向量高考试题精选（一）

参考答案与试题解析

一.选择题（共14小题）

1.（2015•河北）设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD.贝！I（）

A.AD=-^AB+^ACB-AD=^AB--1AC

C-AD^AB+|ACD-AD=^AB--1AC

解：由已知得到如图

SiAD=AB+BD=AB+^BC=^(AC-AB)=-《标+1记

JJJJ

故选：A.

2.（2015•福建）已知屈J_正，|屈|二，|AC|=t＞若P点是△ABC所在平面内一点,

国尚崎,则丽•玩的最大值等于（

)

A.13B.15C.19D.21

解：由题意建立如图所示的坐标系,

可得A(0,0),B(10),C(0,t),

,•A：AB4AC■p(i4)

・AP—八三+-=；，••尸(1，43

IAB||AC|

»1——*

APB=(±-1,-4),PC=(-1,t-4),

t

PB*PC=-(--1)-4(t-4)=17-(l+4t),

tt

由基本不等式可得<+4t22A.4t=4,

A17-(l+4t)<17-4=13,

t

当且仅当工4t即t=1时取等号,

t2

•••丽•云的最大值为13,

3.（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，|AB=6,IADI=4,若点M、N满足而=3元,

DN=2NC，则（）

A.20B.15C.9D.6

解：：四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足丽=3元，DN=2NC.

.,.根据图形可得：AM=AB+.1BC=AE4-|AD-

AN=AE+^DC=AE+1AB-

・・NM=AN-州，

VAM<AN-讪)=AJT-AN-AH

A)•，)♦---•Q♦)

前=短弓品・4响了，

氤-Ahk^AB2'布枣•AD)

IABI=6,而=4,

•••AM--^AET=12-3=9

故选：C

-♦*.♦.—♦—♦

4.（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b?商足汾2。AC=2寸b，

则下列结论正确的是（）

A.|bl=lB.a±bC.a-b=lD.（4^b）±BC

解：因为已知三角形ABC的等边三角形，a，甘荫足屈=2&AC=2^-b,又菽=■正+前，

所以a《AB，b=BC>

所以|b|=2,a*bplx2xcosl200=-1,

4a*b=4xlx2xcosl20°=-4,铲=4,所以—兀+铲=。,即（4a+b）•b=0,即

（4a+b）-B^0'所以（4a+b）1BC;

故选D.

5.（2015・陕西）对任意向量』、b-下列关系式中不恒成立的是（）

A.Ia-W<ldiuB.'-亦|诵-湎

C.（a+b）2=la+bi2D.（a+b）•=~a-V2

解：选项A正确，；|一•芯=百|芯|cos<W，b>|,

X|cos<a，良>曰，・••口•正方西恒成立；

选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得I；-司洲力-IUI：

选项C正确，由向量数量积的运算可得（Z+E）2=|a+H2；

选项D正确，由向量数量积的运算可得G+E）•（Q-P=?-b2-

故选：B

6.（2015•重庆）若非零向量之，5满足|1警H，且（a-b）-L（33（4-2b）>则a与b的

夹角为（）

A.—B.-C.空D.n

424

解：V(a-b)-L(3R-2b),

工(a-b)•(3春2己)=0,

即3二-2胃-a*tr=0,

即a*b=3募

2针

r>_a-b一上

••COS3,

3

即<a，b>=->

4

故选：A

7.（2015•重庆）已知非零向量@,b满足1小=41J，且a，（2a+b）则a与b的夹角

为（）

A.—B.—c..22LD.12L

3236

解：由已知非零向量a，b满足IblEla1且a，（2a+b"设两个非零向量a，b的

夹角为0.

所以a“2a+b）=°,即2r+|；||b|cos0=。，所以cos6=-J，峭0,可,所以0=2；；

故选C.

8.(2014•湖南)在平面直角坐标系中，。为原点，A(-1,0),B(0,V3)>C(3,0),

动点D满足|而=1,则|赢+无+而的取值范围是()

A.[4,6]B.[V19-l>A/1^1]C.[273,277]D.[仟1,77+1]

]解：•动点D满足|而=1,C(3,0),

；・可设D(3+cos0,sin0)(0G[O,2n)).

又A(-1,0),B(0,y/3),

-0A+0B+0D=(2+cos6,遥+sin8).

l0A+0B+0n=^(2+COSQ)2+(V3+sin0)M^cos6+2V3sin6-

V8+2V7sin(0+4))'(其中sin巾嗡巾嚼

-l<sin(e+4>)<1,

(7y-l)2=8-277<8+2V7sin(0+<|))<8+277=(阴+l)2,

•,•i赢+黄丽的取值范围是W7-1，VT+11.

故选：D.

9.（2014・桃城区校级模拟）设向量之，百,足|二|二后|=1，a，b=-^<

c,b-c>：=60O）则前的最大值等于（）

A.2B.盯C.&D.1

解：:信|=|b|=1-

•••Z,1的夹角为120°,

设0A=a,0B=b,0C=c®lJcA=a-c;CB=b-c

如图所示

则/AOB=120°；ZACB=60°

.,.ZAOB+ZACB=180°

AA,O,B,C四点共圆

•••―♦♦

•AB=b.a

*—•2-•2—»—•—•2

AB=b-2a»b+a=3

AB=V3

由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=一丝—=2

sinZACB

当OC为直径时，模最大，最大为2

故选A

10.（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2,/BAD=120。，点E、F分别在边BC、DC

上，BE=ABC-DF=kDC-若标•屈=1，CE«CF=---则入+尸（）

3

A.1B.c.也D.J-

23612

解：由题意可得若标・正=（AB+BE）•（AD+DF）=AB-AB-DF+BE-AD+BE-DF

HABF-2+4口+4入+入p<2x2xcosl20°

=4入+4口-2入口-2=1,

二4入+4日-2人“=3①.

CE«CF=-EC*(-FC)=EC-FC=(1-X)BC«(1-n)DC=(1-A)AD*(1-k)AB

=(1-A)(1-(i)x2x2xcos120°=(1-X-u+人口)(-2)=--.

3

即-入-n+Xn=-2②.

3

由①②求得入+尸2

故答案为:互

11.(2014•安徽)设之，己为非零向量，市=2;，两组向量三，石，京和元，,，

W，刁均由2个获2个百非列而成，若京・亍/可可+可可+总・重所有可能取值

中的最小值为4|牙，则W与E的夹角为()

A.22LB.--C.—D.0

336

解：由题意，设£与芯的夹角为a,

分类讨论可得

①京•元+三•五+石•号V方寸京a*a^b«b+b«510|『，不满足

②式•斤三•豆+号号K•斤2京2曰5・京5・认5m+4守cosa,不满足；

③亏斤亏年+二后亏K=4a*b=8|『cosa=4|『，满足题意，此时cosa=-1

与E的夹角为二.

3

故选：B.

12.(2014•四川)平面向量U(1,2),b=(4,2),c=m^+-b(mGR),且M与W的夹角等

于占b的夹角,则m=()

A.-2B.-1C.1D.2

解：・・•向量ar(1,2),b=(4,2),

/.crrnar^b^(m+4,2m+2),

又•••3与w的夹角等于3与己的夹角，

c.a=c-b

IcHIaIIcHIb|

・c•ac*b

.•市面

.irri~4+2(2nri2)=4(m+4)+2(2/2)

VB2V5

解得m=2,

故选：D

13.（2014•新课标I）设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点，则函•同=

()

A.ADB.JADC.BCD.F

【解答】解：；D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,

EB+FO(EF+FB)+(FE+EC)=FB+EC=上(AB+AO=AD，

故选：A

14.（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，0为平行四边形ABCD所在平

面内任意一点，则赢+通+江+而等于（）

A.0MB.20MC.30MD.40M

解：为任意一点，不妨把A点看成0点，则水+而+无+而=1+旋+菽+蒜,

VM是平行四边形ABCD的对角线的交点，•••1+标+正+疝=2正=45

故选：D.

A（O）

BC

选择题（共8小题）

15.（2013♦浙江）设%；、£为单位向量，非零向量E=xg；+yZ；,x、yeR.若看；、言的

夹角为30。，则」式的最大值等于2.

Ib|一

解：...T、『为单位向量，T和T的夹角等于30。，.♦.？・F=lxlxcos3（r=返.

c]c2仁[c2c।c2g

:非零向量良G+y可茁导向不不育二V7西铲

2

•xlIxl_=IX=I12=I12,

b2222

'Vx+V3xy+yVx+V3xy+yyi+73--+（-）（0垮）+1

故当星，斗取得最大值为2,

X2|b|

故答案为2.

16.（2013•北京）已知点A（1,-1）,B（3,0）,C（2,1）.若平面区域D由所有满足

AP=XAB+HAC（1<A<2,0<n<l）的点P组成，则D的面积为3.

解：设P的坐标为（x,y）,则

AB=（2,1）,A5=（1，2）,AP=（X-1,y+1）,VAP=XAB+|IAC，

y+l=X+2lJ-11=--

l<|x-^y~l<2

oJ

V1<A<2,0印41,.•.点P坐标满足不等式组，

o<-

作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部

其中C（4,2）,D（6,3）,E（5,1）,F（3,0）

7lCFl=V（4-3）2+（2-0）

点E（5,1）到直线CF：2x-y-6=0的距离为d[2*5父二6I二之^

，平行四边形CDEF的面积为S=|CF|xd=V5x2&3,即动点P构成的平面区域D的面积为

5

3

17.（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP1BD,垂足为P,且AP=3,则AP・AC=

【解答】解：设AC与BD交于点O,则AC=2AO

VAP±BD,AP=3,

在RtAAPO中，AOcosZOAP=AP=3

**•IAQCOSZOAP=2|A0IXCOSZOAP=2|API=6，

由向量的数量积的定义可知，AP•AC=IAPIAQcosZPAO=3x6=18

18.（2012♦北京）己知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则正•连的值

为1.

【解答】解：因为口后,。为口£加=|而|«|DA|cos<DE-DA^DA2"1-

故答案为：1

D

19.(2011•天津)己知直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰

DC上的动点，则I市+3痛I的最小值为5.

解：如图，以直线DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系，

则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0)

设P(0,b)(0<b<a)

则五=(2，-b),PBF(1,a-b),

PA+3PB=⑸3a-4b)

IPA+3PB1=^25+(3a-4b)2-5-

故答案为5.

20.（2010•浙江）已知平面向量五，百（五井五，五户百）满足IE1=1，且五与

E-五的夹角为120%则「值的取值范围是（0,空与.

3

解：令用ABFCI、AO6，如下图所示：

则由BC=E-五，

又：五与E-W的夹角为120°,

，ZABC=60°

又由AC=|T|=1

由正弦定理।।B!得:

sinCsin60

库季田竽

21.（2010•天津）如图，在^ABC中，AD±AB,前力^而，I讪1=1，则正'AD=_V3_.

【解答】解：AC-AD=|AC|•IADIcosZDAC.

V|AD|=1，

AAC'AD=|AC|,|标Icos/DAC二|ACl-cosZDAC.

vZBAC=y+ZDAC-

cosZDAC=sinNBAC,

AC-AD=|AC1-lADlcosZDAC=|AC|・cos/DAC=|ACIsinZBAC.

在^ABC中，由正弦定理得1^1：=_①J_变形得|AC|sinNBAC=|BC|sinB,

sinBsinZBAC

正•标=I菽I・I丽|cos/DAC=IAC|,cos/DAC:|ACIsinZBAC.

=|BC|sinB=|BC|.MLV3，

故答案为遮.

22.（2009•天津）若等边△ABC的边长为2«,平面内一点M满足而=工而+2日，则

63

忌语-2.

解：以C点为原点，以AC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得

C（0,0）,A（2V3.0），B（V3.3）,

CB=（V3-3）1CA=（姐，0）1

；而=纸图=（挈》

,M（挈1），

,,MA=（哼，-之）'MB=（一坐‘微）’

MA'MBF（立，-1）•（-近,至）=-2.

2222

故答案为：-2.

三.选择题（共2小题）

23.（2012•上海）定义向量旅（a,b）的"相伴函数"为f（x）=asinx+bcosx,函数f（x）

=asinx+bcosx的"相伴向量"为而=(a,b)(其中O为坐标原点).记平面内所有向量的“相

伴函数"构成的集合为S.

(1)设g(x)=3sin(x+—)+4sinx,求证：g(x)GS；

2

(2)已知h(x)=cos(x+a)+2cosx,且h(x)GS,求其"相伴向量”的模;

(3)已知M(a,b)(bM)为圆C：(x-2)?+y2=i上一点，向量赢的〃相伴函数〃f(x)

在x=x()处取得最大值.当点M在圆C上运动时，求tan2x()的取值范围.

【解答】解：(1)g(x)=3sin(x+—)+4sinx=4sinx+3cosx,

2

其‘相伴向量'5=(4,3),g(x)GS.

(2)h(x)=cos(x+a)+2cosx

=(cosxcosa-sinxsina)+2cosx

=-sinasinx+(cosa+2)cosx

，函数h(x)的'相伴向量'0M=(~sina,cosa+2).

则(一sina)2+(cosCL+2)*.5+4cosa.

(3)成的‘相伴函数'f(x)=asinx+bcosx=^a2+2sin(x+巾),

其中cos4>=—==2=,sin<|>=—==^=.

当x+巾=2kn+?L,k€Z时，f(x)取到最大值，x0=2kn+2£-4),kGZ.

22

TT"

tanx()=tan(2kn+——-<j>)=cot<b=—,

2b

2tanXQ242

tan2xo=-----------------=

Z2_b__a

1-tanxQ1-(中

bab

也为直线OM的斜率,由几何意义知:为一无,0)u(0,

a3

—,me[-近，0)U(0,

令m=—,则tan2x()=

m二3

IT

当-<0时，函数tan2xo=—J"单调递减，.•.OVtan2xowJ^；

32

IT

当时，函数tan2x0=—单调递减，，-/§Stan2x()V0.

3in--

IT

综上所述，tan2xoW[-、石，0)U(0,

2°

24.(2007・四川)设Fi、F2分别是椭圆工+丫之1的左、右焦点.

4丫

(I)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且呵•呵=-.，求点P的作标；

(II)设过定点M(0,2)的直线1与椭圆交于不同的两点A、B,且NAOB为锐角(其中

O为坐标原点)，求直线1的斜率k的取值范围.

[解：(I)易知a=2,b=l,c=V3.

(-仃，(我，设

•••Fl0)-F20)•P(x，y)<X>O,y>0).

2

则?(_y_x,~y)(«-x,_y)=*2+y2_3=_又号+y2=「

f227

xX+y=7x2=l

联立《2，解得«23Ay/3,P(11-