新人教A版必修一 集合的含义与表示 教案

集合的含义与表示

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

集合的含义与表示B了解集合的含义、元素与集合的“属少考

于“关系，能用自然、图形、集合语言

描述不同的具体问题。

集合的概念A了解集合的含义。少考

集合中元素的性质A了解集合中元素的性质。少考

元素和集合的关系A了解元素与集合的属于关系。少考

集合的表示法B能用自然语言、图形语言、集合语少考

言（列举法或描述法）描述不同的具

体问题.

常见的数集及其记法B了解常见数集及其记法，并能正确少考

使用相应集合的符号.

集合的分类A了解集合的分类。少考

空集的概念B在具体情境中，理解空间的含义.少考

知识提要

集合的含义与表示

集合的含义与表示主要包括对集合概念（尤其是对空集）的辨析、判断元素与集合的关系以及

常见数集的记法.

集合的概念

一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成

的集合（set）（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（element）.集合通常用英

语大写字母A,B,C,…来表示，它们的元素通常用英语小写字母a,b,c,…来表示.

集合中元素的性质

集合中元素的性质包括：

•集合中元素的确定性给定集合中的元素必须是确定的，也就是任何一个对象或者在给定集合

中，或者不在给定集合中，二者必居其一.

•集合中元素的互异性给定集合中的元素是互不相同的，也就是说集合中的元素是不可能重

复出现的.

・集合中元素的无序性集合中的元素不考虑顺序，只要构成两个集合的对象是一样的，就称

这两个集合是相同的.

元素和集合的关系

给定一个集合4任何一个对象a是不是这个集合的元素就确定了.若a是集合4的元素就说a属

于(belongto)集合A,记作a64；若a不是集合4中的元素，就说a不属于(notbelongto)集

合4,记作a04.

集合的表示法

集合的表示法包括：

•列举法把集合的元素一一列举出来，并用“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

・描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内

先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写

出这个集合中元素所具有的共同特征.如：所有奇数的集合表示为岳=&eZ|x=2k+

l,kez}.

常见的数集及其记法

常见的数集及其记法有：

•全体非负整数组成的集合称为自然数集，记作N；

•全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；

・全体整数组成的集合称为整数集，记作Z;

•全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q;

・全体实数组成的集合称为实数集，记作R.

集合的分类

含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们通常用card(A)

来表示有限集合4中元素的个数.

空集的概念

•空集不含任何元素的集合叫做空集(emptyset),记为0.

精选例题

集合的含义与表示

1.已知集合M中的元素是(2,-2),2,-2,则集合M中的元素个数是.

【答案】3

【分析】集合M中的元素为(2,-2),2,-2,其中(2,-2)是一个实数对，所以共3个.

2.当a满足时，集合4={x|3x-a<0,xeN+}表示集合{1}.

【答案】3<a46

【分析】由3x-a<0得x<],

故4表示集合{1}时，必须且只需1<三42,解得3<a46.

3.有下歹!J4个结论：①ae{a}；②0e{0}；③a€0；④a00.其中不正确结论的序号

是.

【答案】③

【分析】根据元素与集合的关系，知①正确；②中集合中的元素是空集，故②正确；由于空

集是不含有任何元素的集合，故③不正确，④正确.

4.设集合4={%-2,2/+5%,12},若一3GA,贝卜的值是.

【答案】-|

5o已知关于％的不等式(a久一5)(比2一①<0的解集为M,若3eM且50M时，则实数a的取

值范围是.

【答案】l《a<|或9<a425

【分析】由已知条件知牒I袈5?)<》°0.

6.已知集合M={0,1},集合4={%|%=/+2X2,XIEM,i=1,2}.用列举法表示集合A.

【解】4={0,123}.

7o若xGR,则{3,阳/一2%}中元素%应满足什么条件？

【解】因为，集合的元素具有互异性，

所以久。3且％W/—2%且3W/-2%,

所以％所应满足的条件是％W3且%W0且％丰-1.

8.数集人满足条件：10A,若Q6A,则——6A.

l-a

(1)若264则4中至少含有哪些元素？

【解】由2€4,得名e4所以一164

由一1GA,得「一eA,所以;GA;

由;€A,7GA,所以2GA.

21-5

所以a中至少含有元素2,支-1.

(2)4能否为单元素集合(只含有一个元素的集合)？若能，求出集合4若不能，说明理由.

【解】设4为单元素集合，则a=士，即a?-a+l=0,该方程无实数解.

所以A不能是单元素集合.’“

2

90已知集合4={%GR|ax—3%+2=0,aWR}.

(1)若“是空集，求a的取值范围；

【解】若/=0,方程a/一3%+2=0无解，

则aW0且4=(-3)2-4-a-2<0,

解得a>

o

(2)若4中至多只有一个元素，求a的取值范围.

【解】若4中至多只有一个元素，

则方程a/-3%+2=0满足，

aW0且4=(-3)2—4-a-2<0,或a=0,

解得Q>，或a=0.

10.用适当方法表示下列集合:

⑴方程底方+1y-2|=0的解集;

【解】由算术平方根及绝对值的意义，可知「乙二。

解得卜=一支

ly=2.

因此该方程的解集为{(-Q)}.

(2)由二次函数y=3/+1图象上所有点组成的集合.

【解】首先此集合应是点集，是二次函数y=3%2+1图象上的所有点,

故用描述法可表示为{(居y)Iy=3x2+l,xeR).

集合的概念

nn+1

loAn={x\2<x<2,x=3m,mGN},若|4九I表示集合“九中元素的个数，则I&I

=，I&I+14I+1“3I"I---H^101=-

【答案】11；682

【分析】当几=5时,2、<3m<26,

所以甘<血<3即11(血(21,

911n

所以I41=11-由于2n不能整除3,—=682

所以当21<<2]1时，符合条件的小的值共有682个，

所以I41+141+141+-+Mio1=682.

2.集合相等：只有构成两个集合的元素是的，才说这两个集合是相等的.

【答案】一样

3。在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形；③方程/+2=0的实数解”中，能够

表示成集合的是.

【答案】②③

4o当a、b满足时，集合4=(x\ax+2=b}=R；

当a、b满足时，集合4={无|a无+2=b}=0.

【答案】a=0,b=2,a=0,b02

【分析】无的方程ax+2=b可化为ax=b-2,

由4={%|a%+2=b}=R知a=0,b=2;

由4={%|ax+2=b}=0知,a=0,b丰2.

5o设[%]表示不超过％的最大整数，集合4={yIy=[%]+[2x]+[3x]+[4x],0<%<10}

中的元素个数为个.

【答案】61

【分析】设％=[%]+E[0,1).

当a60，)时，/(x)=10[%]；

当a6达)时，f(x[=io[x]+1;

当aG时/(%)=10W+2；

3，|)时，/W=10[x]+4；

当a6

当a6时，f(x)=10[x]+5;

当aG*1)时，/(x)=10[x]+6.

所以在0<x<10时,㈤=0,1,2,3,…,9,由上知〃无)可以取6x1060,若田=10,则/(无)

只取1个值，故集合4中共有61个不同元素.

6o若集合4={x|%2+(a-l)x+b=0}中仅有一个元素a,求a、b的值.

-I)2-4b=0,

【解】由题意,解得《:

+(a—l)a+b=0,b=9

7o2008年奥运会中国代表团中，参加过上届奥运会的运动员组成一个集合;

【解】正确.因为满足集合中元素的确定性与互异性.

8。由5,6,7组成的集合与由7,6,5组成的集合是同一个集合.

【解】正确.集合中的元素相同.

9.已知集合•/1={%|mx2—2%+3=0,m6R}.

(1)若4是空集，求小的取值范围；

【解】:4是空集，

方程--2比+3=。无实数根，

m0,且4=(—2)2—3x4m=4—12m<0,解得m>

即m的取值范围为Im>|J.

(2)若4中只有一个元素，求利的值；

【解】•；4中只有一个元素，

方程一2尤+3=0只有一个实数根.

若m=0,方程为-2u+3=0,解得x=|,此时4={|};

若m丰0,则4=0,即4—12m=0,解得m

m=0或m

(3)若A中至多普一个元素，求加的取值范围.

【解】4中至多有一个元素包含4中只有一个元素和4是空集两种情况，

由(1)(2)可知m的取值范围为{m|m=0或m》|j.

10»已知关于％的方程aM+bx+c=0(a0),当a、b、c满足什么条件时,解集分别为空

集、含一个元素的集合、含两个元素的集合？

【解】当02—4ac<0时，方程的解集为空集；

当广―4ac=0时，方程的解集含一个元素；

当户—4ac>0时，方程的解集含两个元素.

集合中元素的性质

1»已知集合4={a+2,2。2+a},若364则a的值是.

【答案】-|

2。由下列对象组成的集体属于集合的是(填序号).

①不超过n的正整数；

②本班中成绩好的同学；

③高一数学课本中所有的简单题；

④平方后等于自身的数.

【答案】①④

3.已知集合M含有三个元素1,2,小,则％的值为

【答案】x丰±1,且光丰+V2

【分析】根据元素的互异性知/71,且/42,

所以xH±l,且xH±四.

4o已知工€{12/},则实数％的值为.

【答案】0或2

【分析】当％=1时，1与％2相同，与集合元素的互异性矛盾;

当％=2时,x2=4,符合题意；

当％=久2时,％=1(舍去)或第=0,

经检验，x=0时符合题意，

所以％的值为0或2.

2

5.已知集合M={a-3,2a-lfa-4},且一3GM,则实数。的取值所组成的集合是

【答案】{0,1}

【分析】若。一3=-3,贝!ja=0符合题意；

若2a—1=-3,则a=-1,此时2a-1=M-1=—3,M不是三元集,舍去;

若小—4=—3,则a=±1,舍去a=-1.

60设A为实数集，且满足条件：若aW4则——W/(aHl).

i-cL

求证：

(1)若2WA,贝！M中必还有另外两个元素；

【解】若aW4,则一一€力.

l-a

又2eA,所以三=-1

因为一1e4,所以一下=；e4

因为；6A,所以一I=2GA.

21-5

所以4中另外两个元素为-1,右

(2)集合4不可能是单元素集.

【解】若4为单元素集，则a=小,

即小—。+1=o,方程无解.

所以a#4，4不可能为单元素集.

7o已知集合4={x|ax?+2%+1=0,aeR,xeR},

(1)若4=。，求a的取值范围；

【答案】a〉l.

【解】因为4=0，所以方程a/+2%+1=0无实根.

当a40时，4<0,解得a>1；

当Q=0时，％=-称不符合题意.

所以Q>1.

(2)若/中只有一个元素，求a的值；

【答案】。=0或。=1时，4中只有一个元素.

【解】/中只有一个元素等价于方程a/+2%+1=0只有一解或有两相同实根.

若QW0,则4=0,解得a=1,此时％=—1.

若a=0,则％=—|.

所以。=0或a=1时，Z中只有一个元素.

(3)若Z中至多有一个元素，求a的取值范围.

【答案】当或a=0时，/中至多有一个元素.

【解】4中至多有一个元素等价于方程a-+2工+1=。至多有一解或有两相同实根.所

以

4"0,或a：。

laW0.

解得

a>1或a=0.

所以当a>1或a=0时，4中至多有一个元素.

8。设xeR,集合4中含有三个元素，分别为3,x,x2-2x.

(1)求元素x满足的条件；

X43,(X3,tx丰3,

【解】由集合元素的特性，需满足卜2—2久43,即卜2—2%一3/0,解得，3且X4—1,

'%2-2无力招&2_3生中0,QH3且x40,

所以xH—1,且生丰0,且x牛3.

(2)若一2€A,求实数》.

【解】若一2=%，则一2尤=8,符合集合的定义；若一2=无2-2无，即比2一2%+2=0,

因为4=4—8<0,故方程无解，所以x=—2.

9o已知集合A={为6R|a为2+2%+i=o,aeR}.若A中元素至多只有一个，求实数a的取值

范围.

【解】(i)a=0时，原方程为2x+1=0=x=-5符合题意；

(ii)a丰0时，方程a/+2x+1=。为一元二次方程，依题意4=4-4a<0=>a>l.

综上，实数a的取值范围是a>1或a=0.

1。.已知关于％的不等式等<0的解集为M.

(1)当a=4时，求集合M；

【解】当a=4时，不等式化成写<0,

解得％<且％W0.

4

故M={x|久<|,且x丰oj.

(2)当3CM且5cM时，求实数a的取值范围.

【解】由3CM,得若<0,

即3a-5<0,

所以a<|.

当5£M时，a<1.

所以当5%M时，a》1.

所以aE[i,g.

元素和集合的关系

1。已知集合4={xIa%3+/一X=0},若集合4是单元素集，则实数a的取值范围

为.

【答案】{a|a<—[}

【分析】因为ax?+%2—%=0,所以％(a/+%—1)=0,所以％=0或a/+%—1=0,

因为集合/是单元素集，所以关于％的方程a/+%—1=0没有实数根，所以4=l+4a<0,解

得a<—即实数a的取值范围为{a|a<—1}.

2a已知集合4={(x,y)|x+y=1},若(a,4)eA,则。=.

【答案】-3

3„已知a41时，集合4={%la《为《2-研中有且只有三个整数，则实数a的取值范围

是•

【答案】{aI—1<a<0}

【分析】由a《l,贝吃—a21,所以1必在集合4中.若区间端点均为整数，则a=0,集

合4中有0,1,2三个整数，所以a=0符合题意；若区间端点不为整数，则区间长度应满足2<2-

2a<4,解得—l<a<0,此时，集合A中有0,1,2三个整数，所以一1<a<0符合题意.综上a

的取值范围是{a|-1<a<0}.

4.元素与集合的关系

关系概念记法读法

如果________的元素，

元素与属于就说。属于集合4aeAa属于集合4

集合的

关系

如果________的元素，

不属于

就说。不属于集合力aiAa不属于集合4

【答案】Q是集合4a不是集合A

5o集合4={x|*eZ,xeN},则它的元素是.

【答案】L2,4,5,7

6.已知集合S=…，》3）,集合TU{（%,y）|%WS,y£S,%Wy},且满足：VaP

ctjGS（i,j=1,2,3,…，弭iwj）,@吗）GT与（町右）GT恰有一个成立.对于T定义询（见力）=

{1b）^3rji

1

0%'a）GT%Q）=的）+4T（。力a2）H----FdT（aitai_1）+cci+1）+—F

dT^ai，cxn）（i=1,2,3,…，zi）.

若n=4,（如a2）,（a3,a2）,（a2,a4）GT,求4（%）的值及》（。4）的最大值・

【解】因为（。1，。2）,（。3,。2）,（。2.。4）£T,

所以。1）=0，47（。2，。3）=0,4丁（。2，。4）=1,

故/式的）=L

因为（3。4）ET,

所以日7（614，。2）=。,

所以1T（。4）=。1）+。2）+。丁（。41。3）＜1+0+1=2.

所以当Q，。4），（。4,。3），（。4,由）W7时，

心（。4）取得最大值2.

7o设集合Z={%|%=a+y[2b,a,bEN*},解方程%2+%—8—5V2=0,x6A.

【解】％=a+y[2b,a,bGN*,则

2

（a++（a+—8—5V^=0,

由a,bEN*,则

（a2+人2+a—8=0,....①

12ab4-b—5=0.....②

由CD，b=2&+]eN*,故a=2,b=1.

a，b值代置D，满足方程._

故满足要求的原方程的解为2+V2.

8.已知数集M满足条件：若a6M,则户6M（a4±l,a大0）.

1—CL

（1）设26M,试把由此确定的M的其他元素全部求出来，并指出这时M中共有多少个元素;

【解】若26M,则分=—36M,则

1—21—（—3）2

1+（二）11+-

则一=则T=2eM,

i-V）3'

以后循环，于是M={2,—3,—],才共4个元素.

（2）自己设计一个数属于M,再把由此确定的M的其他元素全部求出来；

【解】取a=36M,仿上得M={3,—2,一另}.

（3）比较（1）与（2）的结论，你有什么发现？试写出你的发现,并大胆尝试如何给出证明.

【解】比较（1）与（2）的结论，猜想集合M中只含4个元素，且两两互为负倒数，猜想证明

如下：

由aWM,则^—eM（a40,aH±1）.

1J+a

由*eM,则有Ti=一工€”,

1-CL1---1-aCL

a-1

则1一+0^=则一11=

1-（F）a+lr-—

以后重复以上过程，故”中只含有4个元素，即M={a，m，-^霍力

9.已知集合S是元素为正整数的非空集合，同时满足”若xes,则孩es”.

（1）如果集合S是单元素集,求集合S;

【解】若xes,则至es,如果集合s是单元素集，贝卜=竺.

XX

所以比2=16,所以x=±4.而集合S的元素为正整数，

所以x=4,即5={4}.

（2）集合S最多含有多少个元素？求出这个集合S.

【解】设xes,则至es.

X

因为集合S的元素为正整数，所以居-6N+，

所以x只可能取1,2,4,8,16.

若1CS,则166S；若26S,则86S.

而由（1）知，如果集合S是单元素集，则集合5={4},

故集合S最多含有5个元素，这个集合是S={1,2,4,8,16}.

lOo已知集合A={xIax2+2%+1=0,aER,%ER}.

(1)若/中只有一个元素，求a的取值范围；

【解】因为方程a-+2%+1=0只有一个解，

若a=0,则％=-|；

若aW0,则4=0,解得a=1,此时％=—1.

所以。=0或a=1时，Z中只有一个元素.

(2)若4中至少有一个元素，求a的取值范围.

【解】①4中只有一个元素时，。=0或。=1.

②A中有两个元素时，

解得a<1且aW0.

综上知4中至少有一个元素，Q的取值范围为a<1.

集合的表示法

io集合{L1,|[,…}可用描述法表示为.

【答案】{x|x=：,neN*}

2。方程比2一5x+6=0的解集可表示为_______；方程组肾+资=芸的解集可表示

--------(3%-2y=U

为—.

【答案】{2,3};{(2,3)}

3o集合{无|8<尤<12,x€N}用列举法可表示为.

【答案】{9,10,11}

4.用列举法表示不等式组{:+>2%-]的整数解的集合：.

【答案】{-1,0,1,2}

5o已知/={-2,—1,0,1},B={y\y=\x\,xEA},则8=.

【答案】{0,1,2}

6o用列举法表示下列集合:

(1)A=[xE7,\-2<%<6}；

【解】4={-2,—1,0,1,2,3,4,5}.

(2)B={y\y=-x+4,xEN,yEN)；

【解】B={4,321,0}.

(3)C={xeN|^GN).

【解】C=[0,6,8).

7o用适当的方法表示下列集合

(1)方程比(/+2%+1)=。的解集；

【解】因为方程无(/+2x+1)=0的解为。和一1,

所以解集为{0,—1}；

(2)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；

【解】{x|x=2n+1,且x<1000,rieN}；

(3)不等式x-2>6的解的集合；

【解】{%Ix>8}；

(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合.

【解】{1,2,3,4,5,6}.

8。用列举法表示下列集合A：

A={(x,y)|x+y=2,xeN,yeN)；

A=[x\xeN,^ez].

【解】A=[(x,y)|x+y=2,xeN,yeN}={(0,2),(1,1),(2,0)).

A={xIxeN,£ez}={0,1,2,15,6,9).

9o用另一种方法表示下列集合：

(1){-3,-1,1,3,5);

【解】{幻光=2k—1,/ceZ,且一14k43}.

(2)已知M={2,3},P=((x,y)\xeM,y&M},写出集合P；

【解】P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)).

【解】{尤=鬻,neN*}.

10o已知全集U={0,123,4,5,6},集合4={%6N|l<x<4},B={%eRIx2-3x+2=0},

(1)用列举法表示集合4与8;

【解】/4={xGN|l<x<4}={2,3,4},B={xGR|x2-3x+2=0]={1,2},

所以用列举法表示集合4与B为：A={2,3,4},B={1,2}.

(2)求4CB及Cu(4UB).

【解】由(1)可得：4CB={2},4UB={1,2,3,4),

又因为U={0,1,2,3,456},所以CuQ4UB)=[0,5,6).

常见的数集及其记法

io已知集合a={x|—1<%c1},则力nz—

【答案】{-1,0,1)

2。用列举法表示下列集合：

(1)4={%6N||x|<2]=;

(2)B={xeZ||x|<2]=；

(3)C-{(x,y)|x2+y2=4,xeZ,yGZ)=.

【答案】(1){0,1,2}；(2){-2,—1,0,1,2}；

(3){(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2)}

【分析】(1)因为|xl42,所以一24久42,

又因为X6N,所以x=0,l,2,故4={0,1,2}.

(2)因为|x|42,所以一24％42,

又因为XCZ,所以久=一2,-1,0,1,2,故8={-2,—1,0,1,2}.

(3)因为/+y2=4,xez,yeZ,

所以x=—2,y=0,x=2,y=0,x=0,y=2,x=0,y=—2,

故C={(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2)}.

3。常用数集及表示符号:

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号

【答案】N,N*或N+，Z,Q,R

4o有下列关系：

①打R；②

③|-3匠N*；@|-V3|eQ.

其中正确关系的个数为.

【答案】2

【分析】显然,CR,①正确;鱼任（2,②正确；|—3|=3eN*,|—B|=g《Q,故③④不正

确.

5.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a,beP,都有a+b、a—b、ab、"P（除

b

数6丰0）则称P是一个数域,例如有理数集Q是数域，有下列命题：

①数域必含有0,1两个数；

②整数集是数域；

③若有理数集QUM,则数集M必为数域；

④数域必为无限集.

其中正确的命题的序号是.（把你认为正确的命题的序号都填上）

【答案】①④

【分析】若aCP,"0,则a-a=0CP,?=1CP,故①正确；

1ez,2ez,但：ez,故②不正确；

设知=（214/},则一e=0-鱼0"，故③不正确；

若a。。,aEP,则a+a=2a£P,a+2a=3a6夕,…，显然P为无限集.

集合的分类

lo指出下列集合哪些是有限集，哪些是无限集.

（1）一年内四个季节组成的集合;

【解】因为一年内四个季节为春、夏、秋、冬，所以是有限集•

(2)方程/-7%+10=。的实数解组成的集合；

【解】因为方程——7久+10=0的解为％=2或x=5,故为有限集•

(3)不等式3x+5>0的解集.

【解】因为3x+5>0的解集为{xIx>-|卜有无数个实数符合条件，故解集为无限集•

空集的概念

1.下列四个集合：①{0};②{xeR|/+2=0}；③|x,y)I{：=［力；④{xllx|<0}.其

中空集的个数为.

【答案】3

2.集合M={x\x2+2x-a=0},若0呈M,则实数a的范围是.

【答案】

3o空集

(1)定义：的集合叫做空集.

(2)用符号表示为:.

(3)规定：空集是任何集合的.

【答案】(1)不含任何元素;(2)0；(3)子集

4,方程1+x-2=0的全体实数解组成的集合为.

【答案】0

5o己知集合M=(x|2m<x<m+1},且M=0,则实数m的取值范围是.

【答案】1

【分析】因为M=0,所以2m》?n+l,所以m》1.

6a已知集合4={xIx2-ax+a2-19=0},B=(x]x2—5x+6=0},C={x\x2+2x—

8=0}.

(1)若求实数a的值；

【解】因为4nB=4UB,所以4=B,

于是2,3是方程/-a为+a2-19=0的两个根，

由一元二次方程根与系数的关系知，仁：：=*解得a=5.

(2x3=。-19,

(2)若0wAn8/nc=0,求实数Q的值.

【解】由0W/CIB,71nc=0,得3E4,204-404

由3G4得32-3a+a2-19=0,解得a=5或a=-2.

当a=5时,/={2,3},与204矛盾；

当。二一2时，A={3,-5],符合题意.

综上,a=-2.

7o已知集合/={%|-2<%<5},8={x|汽>2或％V—4),C={%|2a<%<a+3},

若G4nB)nc=c,试确定实数a的取值范围.

【解】由题意得/A^={%I2<%<5].

因为(AnB)nc=C,

所以cuQ4nB).

当c=0时，有2a>a+3,解得a>3；

a+345

当C工。时，由CU04n8)可得12a<a+3,解得1<a<2.

、2<2a

所以1<a<2或a>3,

即实数a的取值范围为{aI14a42或a》3}.

8。设集合4={x层42T<4},B={x\x2—3mx+2m2—m—1<0}.

(1)当xeZ时，求A的非空真子集的个数；

【解】由已知，得

A={x|—2<x<5},

B={x|(x—m+1)(%—2m-1)<0}.

由xez,得4={-2,—1,0,1,2,3,4,5},即4中含有8个元素.

因此,4的非空真子集数为28-2=254.

(2)若8=0,求m的取值范围；

【解】根据题意，只有当m-1=2m+1,即m=-2时,B=0.

(3)若求m的取值范围.

【解】当B=0,即7n=—2时，8=0G4;

当根<—2时，B=(2m+l,m—1).若BG4,则必须

/2T?I+1》一2,

tm-145,

解得-1《租《6,这与mV-2矛盾，所以租的值不存在；

当机>一2时，B=(m-Um+1).若BG4则必须

r?7i—1》一2,

1.2m4-1<5,

解得一1<m<2.

综上,m的取值范围是[-1,2]U{-2}.

9o已知集合4={x|3<x<7],B={%|2<x<10},C—{x\x<a].

(1)求4UB,S)ClB

【解】因为A={xI3<x<7},所以C/l={久I久<3或x>7}

又因为B={xI2<x<10},所以4UB=(%|2<%<10},(C“A)C\B={x\2<x<

3或7《久<10}

(2)若4CC70,求a的取值范围

【解】因为C={%Ix<a}且APC*0,所以a>3.

课后练习

1.用列举法表示集合：4={%IWEZ,%CZ}=.

2,若集合4={x,xy,xy—1},其中％GZ,yGZ且yH0,若0G力，则4中元素之和是.

3o已知集合A={%WN|言EN},用列举法表示集合4为.

4.不等式组，t+J的整数解的集合为________.

11+%>2%—1,一

5.已知集合4={1,2,3,4,5},B={(x,y)\xEA,yEA,x-yEA),则B中所含元素的个数

为.

6.方程,一2x—3=0的解集与集合4相等,若集合4中的元素是a,b,则a+b=.

7o对于集合4={3,6,9},若aGA则9—a64那么a的值是.

8o己知集合4={(x,y)Iy=2x+1},B={(x,y)\y=x+3],aGA^.aeB,则a

为.

9o设2、B为两个实数集，定义集合幺+B={%|x=Xi+%2，/64与e8},若2=

{1,2,3},B={2,3},则4+B中元素的个数为.

10o由实数x,-x,|x|,>/溟，-&5'所组成的集合最多含有个元素.

llo集合中元素的特性：、、.

12.下列语句：①0与{0}表示同一集合;②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{2,3,1}；③方

程(x—1产(比+2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,—2}；④集合{划1(尤<8}是有限集.其

中正确的是(把所有正确语句的序号都填上).

13o已知数集{0,1,1g行中有三个元素，那么x的取值范围为.

14o由1-2a,3-2a,2可组成一个含有3个元素的集合，则实数a的取值范围用集合可表示

为.

15。设P,Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a+b|aeP,6eQ}.若「={0,2,5},Q=

{1,2,6},则P+Q中元素的个数是.

16.已知集合力含有三个元素1,0,x,^x2EA,则实数x=.

17.A=[a,b},B={0,1},若A=B,则a,b的值为,______.

18o用符号国"或填空:

(1)若4=2,则―/4：-2A-,

⑵若B={x|2/_%_1=0},则一：_______B；-2B.

19o集合力={xGR||%-2|<5}中的最小整数为.

200对集合4与B,若Z—B={x|比64且当集合4={xIx48,xeN*},集合B=

{x|x(x-2)(久—5)(%-6)=0}时，则4—B=.

21.若—36{m—1,3m,m2+1},则m.

22.设集合A={-1,0,1},B={0,1,2},若。={x|xe4且尤0B},则C=.

23=集合M={m\m=2n-l,neN*,m<60}的元素个数是，这些元素的和

为.

24.已知集合4=&eR|a/_3x+2=0,a€R},若4中元素至多有1个，则a的取值范围

是•

25«设集合M={(x,j0|x=(y+3)•|y—1|+(y+3),-14y43},若(a,b)eM且对M中的

其它元素(c,d),总有c>a,则。=.

26o用列举法表示集合{%eZ||x|+x=0,且x>-5}为.

27o若力={-2,2,3,4}>B={x\x^t2,tEA),用列举法表示B为.

28o列举法

把集合的元素________出来，并用花括号"{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

29.能被3整除的正整数的集合，用描述法可表示为.

30o若集合/={%GZ|—2<%<2],B={y\y=x2+2000,%G/},则用列举法表示集合

B=.

31o用列举法表示集合A=[y\y=应凹+％eR且％w胃,kGz]=.

csinxIcosxl2)--------------

32o式子言+白+号+高的所有可能取值组成的集合为

lai\b\\a2\\y/-b\------------

33o已知集合时={%61\1I8—xeN},则M中元素的个数是.

34o用符号e与《填空：

(1).0N*；V3Z；0N；(-1)°N*；V3+2Q；

(2).3{2,3};3{(2,3)};(2,3){(2,3)}；(3,2){(2,3)}.

(3).若a?=3,贝！jaR,若a?=—1,贝！|aR.

35.对于自然数集N,若a6N,bGN,则a+bN,abN.

36o已知集合4={a6Z|忌6N},则用列举法表示4=.

37.已知P={%|2<x<eN,keR},若集合P中恰有3个元素，则实数k的取值范围

是.

38.已知集合4={x\y=x2+3],B=(y\y=x2+3},C={(x,y)\y=x2+3},它们三个集

合相等吗？试说明理由.

39.选择适当的方法表示下列集合：

(1)由方程则/—9=0的所有实数根组成的集合；

(2)由小于8的所有素数组成的集合；

(3)一次函数y=x+3与y=-7.x+6的图象的交点组成的集合；

(4)不等式4x-3<5的解集.

40o已知集合4={0,1,2},集合8={(x,y)|xCe+yC4},其中(x,y)是有序数对,

求集合B中元素的个数.

41.集合P=(x\y=x2+2行与集合Q={y\y=x2+2行与集合M={(x,y)\y=x2+2行表

示的是同一个集合吗？

42.设y=x2+ax+b,A={x\y=x}={a},M={(a,b)},求M.

43.指出下列集合中的元素，并指出是有限集还是无限集.

①方程/=1的解;②平行四边形的全体；③平面内与一定点。的距离等于定长r(r>0)的点

的全体；④方程V2x-1+|3y+3|=0的解集.

44„集合M满足条件：若a£M,则产£M(a4±1且a40)，已知3eM,试把由此确定的

集合M的所有元素求出来.

450判断下列说法是否正确？并说明理由.

(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；

(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；

(3)1,0.5,|彳组成的集合含有四个元素；

(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合.

46o已知数集A={alfa2,•••an)(o4%Va2V…V册,九》3)具有性质P：对任意的

<i<;<n),a；+at,%-七两数中至少有一个属于A.

(1)分别判断数集{0,1,3}与{0,2,4,6}是否具有性质P,并说明理由；

(2)证明：的=0,且a2+。3+…+ctn——ctn；

(3)证明：n=5时，成等差数列.

47o设集合/中有且仅有三个元素1,x,肝一x,求工所满足的条件.

48o已知集合4={1,%,/一%},8={1,2,%},若集合/与集合B相等,求％的值.

2

49.已知集合/={1,3,行，B={ltx},设全集为U,若BU(Cu3)=4求QB.

50o已知数集4={的,劭，…，利}(1<ar<a2<•••<an,n>2)具有性质P:对任意的

i,j(l&ri),七为与攵两数中至少有一个属于4

⑴分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P,并说明理由；

(2)证明：%=1，且占鲁:”1=a二

(3)证明:当n=5时，卬。2，&3，。4，。5成等比数列.

51o已知集合4含有a—2,2a2+5a,12三个元素，且一364求a的值.

52o设由可表示为两整数的平方差的整数组成的集合为

(1)求证：所有奇数都属于M；

(2)为使偶数2teM,t应满足什么条件？

(3)求证：属于M的两个整数之积属于M.

53.设S为数集，并且满足：(1)1SS；(2)若aeS,则」-eS.求证：若mCS,则1一三WS.

1-am

54.数集M满足条件：若a£M,则尹£M(a1,且aH0),已知3GM,试把由此确定的M中

1-Q

的元素求出来.

55.已知集合4={x|(a2-l)x2+(a+l)x+1=0,xER}中仅有一个元素，求a的值.

56»设4={2,3,a2+2a-3},B={Ia+3|,2},已知5e4且52B,求a的值.