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解析函数无穷次可导性

问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数值能够用函数在边界上值经过积分来表示,这与实变函数完全不一样.第1页形式上，以下将对这些公式正确性加以证实。第2页1.解析函数高阶导数定理3.3在定理3.1条件下,函数f(z)在区域D内有各阶导数,而且有注上式也可写成该公式在求积分是惯用到第3页第4页先证实结论关于n=1时成立。是D内另一点。证实只需证实，当h趋近于0时，下式也趋近于0

第5页现在预计上式右边积分。设以z为心，以d为半径圆盘完全在D内，而且在这个圆盘内取z+h，使得0<|h|<d，那么当时设|f(z)|在C上一个上界是M，而且设C长度是L，于是我们有所以当h趋近于0时，要证积分趋于0。第6页至此我们证实了一个解析函数导数依然是解析函数.依次类推,利用数学归纳法可证[证毕]注3.高阶导数公式作用:不在于经过积分来求导,而在于经过求导来求积分.第7页例1解第8页例2解由柯西－古萨基本定理得由柯西积分公式得第9页第10页例3解第11页依据复合闭路定理和高阶导数公式,第12页第13页例4解分几个情况第14页同理有第15页依据复周线Cauchy积分定理和高阶导数公式,第16页2解析函数无穷可微性定理3.4设函数f(z)在z平面上区域D内解析,则f(z)在D内有各阶导数,而且它们也在D内解析.证实第17页在数学分析中，我们知道一个在区间内有导数实变函数f(x)在这区间内不一定有二阶导数。但在一个区域内解析函数，即只设有一阶导数函数却含有任意阶导数。可见复变函数在一区域内有导数是很强条件，由它可逐步推出柯西-黎曼方程，柯西定理，柯西公式及解析函数有任意阶导数。第18页课堂练习答案第19页四、小结与思索高阶导数公式是复积分主要公式.它表明了解析函数导数依然是解析函数这一异常重要结论,同时表明了解析函数与实变函数本质区分.高阶导数公式第20页思索题解析函数高阶导数公式说明解析函数导数与实

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