4.1 因式分解（备作业）-八年级数学下册同步备课系列(北师大版)（解析版）

4.1因式分解一、单选题1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是()A．﹣6a3b2＝2a2b•(﹣3ab2) B．9a2﹣4b2＝(3a+2b)(3a﹣2b)C．ma﹣mb+c＝m(a﹣b)+c D．(a+b)2＝a2+2ab+b2【答案】B【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．【解析】解：A、﹣6a3b2＝2a2b•(﹣3ab2)，不符合因式分解的定义；B、9a2﹣4b2＝(3a+2b)(3a﹣2b)，是因式分解，符合题意；C、ma﹣mb+c＝m(a﹣b)+c，不符合因式分解的定义；D、(a+b)2＝a2+2ab+b2，是整式乘法，不合题意．故选B．【点睛】此题主要考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．2．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（

）A．都是因式分解 B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解【答案】D【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【解析】解：①，从左到右的变形是整式的乘法；②，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解．故选：D．【点睛】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．3．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式判断，利用排除法求解即可得出答案．【解析】根据因式分解的定义，容易看出答案A、B最后都不是乘积的形式，故这两个答案错误，D分解后不是整式乘积，故D错误，C是因式分解，故C选项正确，故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．4．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用完全平方公式和平方差公式可对A、C两项进行判断；利用提公因式法可对B进行判断，利用提公因式法和平方差公式可对D项进行判断.【解析】因为x2-2xy+y2=(x-y)2，所以选项A分解正确；因为x2y-xy2=xy(x-y)，所以选项B分解正确；因为x2-y2=(x-y)(x+y)，所以选项C分解正确；因为x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1)，所以选项D分解不彻底.故选:D.【点睛】本题是一道关于因式分解的题目，关键是掌握因式分解的常用方法；5．多项式，则，的值为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把展开，比较系数相等即可求出，的值．【解析】解：∴-8=-(n+9)，m=9n，解得：，．故选：C．【点睛】此题考查了因式分解与整式的乘法的关系，解题的关键是熟练掌握因式分解与整式的乘法互为逆运算．6．下列式子变形是因式分解且正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据因式分解是将一个多项式分解成几个因式相乘的形式，逐一判断即可求解.【解析】A.，A选项错误；B.，B选项正确；C.，不符合因式分解要求，C选项错误；D.，不符合因式分解要求，D选项错误.故选：B.【点睛】本题主要考查了因式分解的相关内容，熟练掌握分解因式的相关要求是解决本题的关键.7．下列变形中正确的因式分解有（

）个．①

②③

④A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据因式分解的定义去判断即可．【解析】根据因式分解的定义可知：①是将一个多项式化成几个整式的积的形式，属于因式分解；②是整式的乘法，不是因式分解；③不是将一个多项式化成几个整式的积的形式，不属于因式分解；④不能进行因式分解，则④中的变形不属于因式分解；所以是因式分解的是①．故选A．【点睛】本题考查了因式分解的定义即把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，准确理解定义是解题的关键．8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，也叫因式分解，根据定义解答．【解析】解：A、不是因式分解；B、不是因式分解；C、是因式分解；D、不是因式分解；故选：C．【点睛】此题考查因式分解，掌握因式分解的定义及因式分解的方法是解题的关键．9．下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据因式分解的定义，从表现形式，恒等性两个方面去判断即可.【解析】∵是多项式，且，符合因式分解的定义，∴选项A正确；∵是因式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，∴选项B错误；∵是多项式，但不是恒等变形，不符合因式分解的定义，∴选项C错误；∵是因式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，∴选项D错误；故选A.【点睛】本题考查了因式分解，解答时，严格按照因式分解的定义去解答是解题的关键.10．若关于的多项式含有因式，则实数的值为（

）A． B．5 C． D．1【答案】C【分析】设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．【解析】解：根据题意设，∴-p=-a-2，2a=-6，解得：a=-3，p=-1．故选：C．【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.11．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应下列六个字：中，爱，我，数，学，五，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（

）A．我爱学 B．爱五中 C．我爱五中 D．五中数学【答案】C【分析】先运用提公因式法,再运用公式法进行因式分解即可．【解析】∵3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）=3（x2﹣1）（a-b）=3（x+1）（x-1）（a-b），∴结果呈现的密码信息可能是：我爱五中．故选：C．【点睛】考核知识点:因式分解.掌握提公因式法和套用平方差公式是关键．12．已知，且、、互不相等，对（

）．A．0 B．1 C．2016 D．2017【答案】B【分析】先对已知条件进行因式分解，得到，然后再将2016看成是2017-1，即看成代入即可求解.【解析】解：∵∴整理得到：，即：……①又∵互不相等∴①式中只能是∴.故答案为：B【点睛】本题考查了因式分解的基本方法，解决此题的关键是能将2016看成2017减1，然后再进行因式分解即可.二、填空题13．下列各式从左到右是因式分解的是_______．①；

②；③；

④；⑤；

⑥．【答案】③④⑥【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解．【解析】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意；②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意；③是因式分解，故符合题意；④是因式分解，故符合题意；⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意；⑥是因式分解，故符合题意；故答案为：③④⑥．【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．14．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______（填序号）①a（x＋y）＝ax＋ay；②10x2－5x＝5x（2x－1）；③y2－4y＋4＝（y－2）2；④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t．【答案】②③．【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．【解析】解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意；即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③，故答案为：②③．【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．15．若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，那么a-b=__________．【答案】1【分析】先计算出（x+1）（x-2），再与x2+ax+b进行比较，从而得到a、b的值．【解析】∵多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x-2)，而(x+1)(x-2)＝x2-x-2，∴a=-1，b=-2，∴a-b=1，故答案是：1.【点睛】考查了因式分解以及多项式乘多项式，解题关键是运用（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab进行计算.16．多项式kx2－9xy－10y2可分解因式得(mx＋2y)(3x－5y)，则k=_______，m=________．【答案】

k=9

m=3【分析】直接利用多项式乘法将原式化简，进而得出关于m，k的等式求出答案即可．【解析】解：∵kx2-9xy-10y2=（mx+2y）（3x-5y），∴kx2-9xy-10y2=3mx2-5mxy+6xy-10y2=3mx2-（5mxy-6xy）-10y2，∴解得：故答案为：9，3．【点睛】此题主要考查了十字相乘法的应用，正确利用多项式乘法是解题关键．17．若,,则__________，__________.【答案】

6

1【分析】化解求值，把需要求的式子化成已知式子的形式，代入值即可.【解析】；【点睛】因式分解首先考虑的一定是提取公因式.18．在当今“互联网+”的时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果是，当取时，各个因式的值是：，，于是就可以把“182021”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取时，得到密码596769，则______，________．【答案】

【分析】根据题意可得出因式分解的结果，再展开与原式相等即可得到所求的值．【解析】∵当时，密码为596769，且的系数是1∴∴即【点睛】此题考查因式分解，找到因式分解的结果是关键，主要是在于对题意的理解，难度一般．三、解答题19．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？（1）；（2）（3）；（4）．【答案】（1）不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）是因式分解；（4）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式．【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．【解析】解：（1）a（x+y）＝ax+ay是整式的乘法，故不是因式分解；（2）10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，故是因式分解；（3）y2﹣4y+4＝（y﹣2）2把一个多项式化为几个整式的积的形式，故是因式分解；（4）t2﹣16+3t＝（t+4）（t﹣4）+3t没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，故不是因式分解．【点睛】本题考查了因式分解的意义．解决这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断；同时还要注意变形是否正确．20．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．【解析】解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2），是因式分解；（3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4），是因式分解．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．21．下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）不是因式分解，理由见解析；（2）不是因式分解，理由见解析；（3）不是因式分解，理由见解析；（4）是因式分解，理由见解析；（5）不是因式分解，理由见解析．【分析】（1）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；（2）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得；（3）根据等式左边不符合因式分解的定义即可得；（4）根据因式分解的定义即可得；（5）根据等式右边不符合因式分解的定义即可得．【解析】因式分解的定义：将一个多项式化为几个整式的积的形式，称为因式分解（1）不是因式分解，因为是和的形式；（2）不是因式分解，因为是和的形式；（3）不是因式分解，因为是单项式；（4）是因式分解，因为多项式分解成两个整式与的积的形式，符合因式分解的定义；（5）不是因式分解，因为中的不是整式．【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟记定义是解题关键．22．若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．【答案】m=﹣1【分析】先把分解的结果利用多项式乘以多项式法则得到的结果为：，利用多项式相等的条件即可求出m的值．【解析】解：∵，∴，则：．【点睛】题目主要考查因式分解的定义、多项式与多项式相乘及多项式相等的条件，读懂题意及准确掌握多项式相等的条件是解题关键．23．如果一个正整数能写成的形式（其中a，b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为7＝22＋3×12，31＝22＋3×32．（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数．（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据一个正整数能写成a2+3b2的形式，则称之为婆罗摩笈多数，将28和217都写成a2+3b2的形式即可证明；（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，所以xy＝（a2+3b2）•（c2+3d2），然后根据乘法公式化简，最后分解因式即可．【解析】证明：（1）∵28＝12+3×32＝28，217＝132+3×42＝217，∴28和217都是婆罗摩笈多数．（2）设一个婆罗摩笈多数为x＝a2+3b2，另一个婆罗摩笈多数为y＝c2+3d2，xy＝（a2+3b2）•（c2+3d2）＝a2c2+3a2d2+3b2c2+9b2d2＝（ac）2+（3bd）2+6abcd﹣6abcd+3a2d2+3b2c2＝（ac+3bd）2+3（ad﹣bc）2因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．【点睛】本题考查整式乘法运算以及分解因式，正确运用整式乘法运算律、熟练掌握提取公因式分解因式和公式法分解因式是解题的关键．24．探究应用：（1）计算：（a-2）（a2+2a+4）=______．（2x-y）（4x2+2xy+y2）=______．（2）上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a，b的字母表示为______．（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（

）A、（a-3）（a2-3a+9）

B、（2m-n）（2m2+2mn+n2）C、（4-x）（16+4x+x2）

D、（m-n）（m2+2mn+n2）（4）根据你的理解，尝试分解因式：

【答案】（1）；（2）；（3）C；（4）.【分析】（1）根据多项式与多项式相乘的法则计算，合并同类项即可求解；（2）根据上面两题即可得出公式；（3）根据归纳的公式的特点即可进行判断；（4）直接利用公式计算即可．【解析】解：（1）（a-2）（a2+2a+4）=a3+2a2+4a-2a2-4a-8=a3-8，（2x-y）（4x2+2xy+y2）=8x3+4x2y+2xy2-4x2y-2xy2-y3=8x3-y3；（2）（a-b