广东省罗定第二中学2025届高三数学上学期期末教学质量检测试题文含解析

PAGE16-广东省罗定其次中学2025届高三数学上学期期末教学质量检测试题文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若为虚数单位，且，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果.【详解】因为，即，因为为虚数单位，所以，故选C.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.2.设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T等于()A.{0} B.{0,2}C.{-2,0} D.{-2,0,2}【答案】A【解析】集合运算问题需先对集合进行化简,明确集合中所含详细元素,因S={0,-2},T={0,2},所以S∩T={0}.故选A.3.已知函数，若，则实数a等于（）A. B. C.2 D.9【答案】C【解析】【分析】由内层起先计算，解方程即可求解.【详解】，∴，∴，解得.故选:C.【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于简单题.4.“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】数列既是等差数列又是等比数列，则可知是常数列，所以充分性成立；若是常数列，则不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列既是等差数列又是等比数列”是“数列是常数列”的充分不必要条件，故选A．5.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据定义域及特别点可推断.【详解】解：∵的图象与轴交于，且点的纵坐标为正，∴，故，定义域为其函数图象间断的横坐标为正，∴，故.故选：【点睛】本题考查函数图象的识别，考查数形结合思想，属于基础题.6.在一次马拉松竞赛中，35名运动员的成果（单位：分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成果由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成果小于139分钟运动员人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由系统抽样的定义，所抽取的样本编号成等差数列，由此可知小于139分的能抽取的人数．【详解】共有35人，抽取7人，每5人中抽取一个，小于139分的有10人，应制取2人．故选：B．【点睛】本题考查系统抽样，驾驭系统抽样的定义是解题基础．一般系统抽样制取出的样本的编号是成等差数列的．7.若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分子分母同除，化简即可得出答案.【详解】分子分母同除得：∴故选：A【点睛】本题主要考查了弦化切来求三角函数值，属于基础题.8.若实数满意，则的最大值和最小值分别为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式组作出可行域，令，数形结合求出的最大值和最小值．【详解】解：由作可行域如图，令，则，由图可知，当过时，截距最大，最大值为；当过时，截距最小，最小值为．的最大值和最小值分别为2，．故选：．【点睛】本题考查线性规划问题，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．属于中档题．9.在四边形（）A. B. C. D.【答案】C【解析】留意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，.或者留意到分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于简单题.10.如图，四棱锥的底面为正方形，，则下列结论中不正确的是（）A. B.C.平面平面 D.【答案】D【解析】【分析】由底面正方形及，确定线线间的垂直关系，推断各个结论的正确性．【详解】，在平面的射影与垂直，则，A正确；在平面的射影与垂直，则，B正确；利用上述垂直可得平面，从而有平面平面，C正确；若，则垂直在平面内射影，这是不行能的，D错误．故选：D．【点睛】本题考查空间的线线的垂直与面面垂直的推断，驾驭三垂线定理及其逆定理是解题基础．11.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为()A.2 B.2 C.4 D.4【答案】A【解析】【详解】解：依据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（-2，0），即a=2；点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，由双曲线的性质，可得b=1；则，则焦距为2c=2；故选A．12.已知的内角所对的边分别是，且，若边上的中线，则的外接圆面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦定理求出，由平方后可求得即，再由已知求得，结合正弦定理可求得外接圆半径，从而得外接圆面积.【详解】∵，∴，．又是中点，∴，∴，即，解得，∴，，∴，，∴．故选：A．【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理，考查向量的线性运算．解题关键是是利用向量线性运算把表示为，平方后易求得．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线y=x(3lnx+1)在点处的切线方程为________【答案】【解析】【详解】函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即.14.已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】.【解析】分析：由对称轴得，再依据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.15.若数列满意，，则_____________．【答案】【解析】【分析】本题通过递推式干脆将代入在依次类推则可得出．【详解】因为，所以，所以，通过视察上式得．【点睛】本题考察递推式的应用，若在选择填空题中遇到则可以通过一次类推或找规律求解．16.已知抛物线上有三点，，，直线，，的斜率分别为，，，则的重心坐标为_________.【答案】【解析】【分析】设出点的坐标，由斜率公式以及抛物线方程得出，，，，，的值，再由重心坐标公式得出答案.【详解】设，，则，得同理，故有，且，，，，则的重心为.故答案：【点睛】本题主要考查了斜率公式的应用以及求三角形的重心坐标，属于中等题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.已知等差数列满意，.（1）求的通项公式；（2）设等比数列满意.若，求的值.【答案】（1）；（2）63【解析】【分析】（1）求出公差和首项，可得通项公式；（2）由得公比，再得，结合通项公式求得.【详解】（1）由题意等差数列的公差，，，∴；（2）由（1），∴，，∴，.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，驾驭基本量法是解题基础.18.如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I）证明平面；（II）求四面体的体积.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的推断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点究竟面的距离为棱的一半，由此可顺当求得结果．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积.【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，经常是通过线线平行来实现，而线线平行经常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也实行割补法、体积转换法求解．19.某地区2024年清明节前后3天每天下雨的概率为60%，通过模拟试验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率：用随机数（，且）表示是否下雨：当时表示该地区下雨，当时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下332714740945593468491272073445992772951431169332435027898719（1）求出的值，并依据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；（2）从2011年起先到2024年该地区清明节当天降雨量（单位：）如下表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.时间2011年2012年2013年2024年2024年2024年2024年2024年2024年年份123456789降雨量292826272523242221经探讨表明：从2011年起先至2024年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量与年份成线性回来，求回来直线，并计算假如该地区2024年（）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）参考公式：.参考数据：，，，.【答案】（1），概率为；（2）回来直线方程为：，2024年清明节有降雨的话，降雨量约为．【解析】【分析】（1）依据每天下雨概率可求得，在所给20组数确定表示3天中恰有2天下雨组数，然后计算概率；（2）计算，依据所给数据求出回来直线方程中的系数，得回来直线方程，令可得2024年的预估值．【详解】（1）由得，即表示下雨，表示不下雨，所给20组数中有714，740，945，593，491，272，073，951，169，027共10组表示3天中恰有两天下雨，∴所求概率为.（2）由所给数据得，，，，∴回来直线方程为：，时，，∴2024年清明节有降雨的话，降雨量约为．【点睛】本题考查抽样方法中的随机数表法，考查回来直线方程及应用，只要依据所给数据计算即可．本题还考查学生的数据处理实力．20.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若，求证：当时，【答案】（1）增区间是，减区间是；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，由确定减区间；（2）时，成立，在时，变形为，取对数得，分别参数：，由（1）可求得的最小值，从而证得结论成立．【详解】（1）定义域是，，当时，，递减，时，，递增，∴增区间是，减区间是；（2）时，时，明显成立，当时，，由（1）上递减，在上递增，∴，也是上的最小值，∴，而时，，∴时，恒成立，∴.综上时，【点睛】本题考查用导数探讨函数的单调性，用导数证明函数不等式.求函数的单调区间，就是求出导函数后，由确定增区间，由确定减区间；第（2）小题不等式的证明，首先对这种自不待言的情形说明，然后在时，把不等式变形，通过取对数化为证明，而可用第（1）结论求出最小值，这样就特别简单地完成证明.也符合出题者的意图.21.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上随意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1)；（2）证明见解析，【解析】【分析】（1）由题意，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：化简得：.再依据取等号的条件，可得T的坐标.【详解】（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【点睛】本题考查了椭圆的方程的求解，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了最值问题的求解方法，属于中档题.22.已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．（1）求的轨迹的参数方程；（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并推断的轨迹是否过坐标原点．【答案】（1）,(为参数,)（2）过坐标原点【解析】【详解】（1）由题意有，，因此，的轨迹的参数方程为（为参数，）．（2）点到坐标原点的距离为，当时，，故的轨迹过坐标