初中数学辅助线秘籍

第一章中点模型的构造

当已知条件中出现一个中点时，你首先想到的辅助线的解题方法是什么？如果已知两个中点呢？

介绍以下方法：

1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形；

2）三角形中位线定理：

3）已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线；

4）已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。

例1在aABC中，AB=5,AC=3,BC边上的中线AD=2,求BC的长.

例2已知在aABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,

AF=EF,求证：AC=BE.

变式：

如图，在AABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EF〃AD交CA的延长线于点F,

交AB于点G,若AD为AABC的角平分线，求证：BG=CF.

BEDC

例3在Rt^ABC中，NBAC=90°,点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED

1FD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角

形，或者是钝角三角形？

例4已知在AABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM_LEF于点M.

求证：FM=EM.

例5已知：Z\ABD和4ACE都是直角三角形，且/ABD=/ACE=90°.如图，连接DE,设M为

DE的中点，连接MB、MC.

求证：MB=MC.

DB

例6问题一：如图（1）,在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF

并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,求证：ZBME=ZCNE.

问题二：如图（2）,在四边形ABCD中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、

AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断AOMN的形状，请直接写出结论.

问题三：如图（3）,在aABC中，AOAB,D点在AC上，AB=CD,E、F分别是BC、AD

的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若/EFC=60°,连接GD,判断4AGD的

形状并证明.

例7问题一：如图（1）,AABC中，点D是AB的中点，AE1BC,BF_LAC,垂足分别为点

E、F,AE、BF交于点M,连接DE、DF.若DE=kDF,则k的值为.

问题二：如图（2）,Z^ABC中，CB=CA,点D是AB的中点，点M在aABC的内部，且

ZMAC=ZMBC.过点M分别作ME_LBC,MF1AC,垂足分别为点E、F,连接DE、DF.

求证：DE=DF.

问题三：如图（3）,若将上面的问题（二）中的条件“CB=CA”变为“CBWCA"，其他

条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.

(1)(2)(3)

例8(2012•广州)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5,BC=1(),F为AD的中点，CE_LAB于

E,设/ABC=a(60°<a<90°).

(1)当a=60。时，求CE的长；

(2)当60。<(1<90。时，是否存在正整数k,使得NEFD=kNAEF?若存在，求出k的值；若不

存在，请说明理由.

第二章角平分线模型的构造

已知，P是NMON平分线上一点，角平分线的四大基本模型：

(1)若PA_LOM于点A,可过点P作PB_LON于B,则PB=PA;

(2)若点A是射线0M上任意一点，可在ON上截,取OB=OA,连接PB,则构造了Z\OPB名ZkOPA；

(3)若AP_LOP于点P,可延长AP交ON于点B,则构造了ZiAOB是等腰三角形，且P是AB中点;

(4)若过点P作PQ〃ON交0M于点Q,则构造了△POQ是等腰三角形。

例1(1)如图，在△ABC中，/C=90°,NCAB的平分线AD交BC于点D,BC=8,BD=5,那

么点D到AB的距离是()

A.3B.4C.5D.6

(2)已知N1=N2,Z3=Z4,求证：AP平分NBAC

例2(1)在△ABC中，AD是NA的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，请比较PB+PC

与AB+AC的大小并说明理由.

(2)如图，人口是小ABC中/BAC的平分线，P是AD上的任意一•点，且AB>AC,请比较PB-PC

与AB-AC的大小并说明理由.

例3已知NBAD=/CAD,AB>AC,CD_LAD于点D,H是BC的中点.求证：DH

例4如图1,BD、CE分别是AABC的外角平分线，过点A作AF_LBD,AG_LCE,垂足分别为F、

G,连接FG,延长AF、AG,与直线BC相交于M、N.

(1)试说明：FG=^(AB+BC+AC)

(2)如图2,若BD、CE分别是AABC的内角平分线，则线段FG与AABC三边又有怎样的数

量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；

(3)如图3,若BD为AABC的内角平分线，CE为aABC的外角平分线，则线段FG与4ABC

三边的数量关系是

例5如图，在△ABC中，AB=3AC,NBAC的平分线交BC于点D,过点B作BE_LAD,垂足为

E,求证：AD=DE.

例6在oABCD中，NBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.

(1)在图1中证明CE=CF；

(2)若NABC=90。，G是EF的中点(如图2),直接写出NBDG的度数；

(3)若/ABC=120。，FG〃CE,FG=CE,分别连接DB、DG(如图3),求NBDG的度数.

图1图2图3

例7(1)如图1,在AABC中，/ABC与NACB的角平分线相交于点E过点F作DE〃BC,交

AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE的长为;

(2)如图2,在aABC中，BD、CD分别平分NABC和/ACB,DE//AB,FD//AC,如果BC=6,

求4DEF的周长.

图1图2

例8如图，4ABC的外角/ACD的平分线CP与内角NABC的平分线BP交于点P,连接AP、

CP,若/BPC=40°,求NCAP的度数.

BCD

第三章弦图的构造及应用

如以下图是弦图及其衍生图：

例12002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股弦方图》，

它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.如果大正方形的

面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为“，较长直角边为〃，那么（a+Z?）2的值

为.

例2如图，直线1上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为

例3如图，四边形ABCD是正方形，直线/i，l2,A分别通过A,B,C三点，旦1\“卜//卜，若11与，2

的距离为5,6与A的距离为7,则正方形ABCD的面积为.

例4如图1,4ABC中，AGJ_BC于点G,以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向4ABC

外作等腰RL^ABE和等腰RtaACF,过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.

(1)试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

(2)若连接EF交GA的延长线于H,由(1)中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗？

(3)图2中的AABC与4AEF的面积相等吗？(不用证明)

图1图2

例5已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A(4,0),B(0,-4),P

为y轴上B点下方一点，PB=m(m>0),以AP为边作等腰直角三角形APM,其中PM=PA,点M

落在第四象限.

(1)求直线AB的解析式；

(2)用m的代数式表示点M的坐标；

(3)若直线MB与x轴交于点Q,判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理

由.

例6已知：在直角梯形ABCD中，AD〃BC,AB1BC,AD=2,BC=3,设NBCD=a,以D为旋

转中心，将腰DC逆时针旋转90°至DE,连接AE、CE.

(1)当a=45°时，求4EAD的面积；

(2)当a=30°时，求4EAD的面积；

(3)当0°<a<90a时，猜想4EAD的面积与a大小有何关系？若有关，写出4EAD的面积S与a

的关系式；若无关，请证明结论.

例7如图(1)至图(3),C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF

和正方形CBEG,分别作DDi_LAB、EEilAB,垂足分别为Di、E1.当C的位置在直线AB的同侧

变化过程中，

(1)如图(1),当NACB=90°,AC=4,BC=3时，求DD1+EE1的值；

(2)求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DDi+EEi的值为定值;

S1图2

11,

例8如图，己知直线y=,x+l与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线>=万厂+6x+c与直

线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,0）o

⑴求该抛物线的解析式；

⑵动点P在x轴上移动，当4PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。

第四章三角形的中位线

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.

中线中位线相关问题（涉及中点的问题）

见到中线（中点），我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理（以后还要学习中线长公式），尤

其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见.

例1如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E,F分别是AD,BC的中点.

求证：EF<^（AB+CD）.

例2如图所示.在四边形ABCD中，CD>AB,AB与CD不平行，E,F分别是AC,BD的中点.

求证：EF>g（CD-AB）.

例3已知：如图，E为OABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC,连结AE分别交BC、

BD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.求证：AB=2OF.

B

rE

例4如图，已知△ABC中，E是AB的中点，CD平分NACB,AD_LCD与点D,

求证：(1)DE//BC；(2)DE=-(BC-AC).

例5A。是A4BC的中线，尸是AD的中点，3F的延长线交AC于E.求证：AE=-AC.

3

例6如图所示，在AA8c中，AB=AC,延长AB到£>,使皮>,E为AB的中点，连接CE、

CD,求证：CD=2EC.

D

例7己知：A8CD是凸四边形，且AC<8DE、F分别是A。、BC的中点，EF交AC于M；EF

交BD千N,AC和8£）交于G点.求证：4GMN>4GNM.

例8在AA8C中，ZACB=90°.AC=-BC,以8C为底作等腰直角ABC。，E是C£>的中点，求

2

证：越_1£»且4£；=破.

例9如图，在五边形ABCDE中，ZABC=ZAED=90°,ZBAC=ZEAD,尸为C£）的中点.

求证：BF=EF.

例1()已知，如图四边形中，AD=BC,E、尸分别是AB和8的中点，AD.EF、BC

的延长线分别交于M、N两点.求证：ZAME=ZBNE.

例11如右下图，在AABC中，若NB=2NC,ADA.BC,E为BC边的中点・求证：AB=2DE.

BDEC

例12（2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试）己知：在AABC中，BC>AC,动点。绕

MBC的顶点A逆时针旋转，且A£）=BC,连结。C.过43、CC的中点E、尸作直线，直线E尸与

直线A。、8C分别相交于点M、N.

⑴如图1,当点。旋转到8c的延长线上时，点N恰好与点F重合，取AC的中点”，连结

HE、HF,根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论乙4例尸=/&\/（不需证明）.

⑵当点。旋转到图2或图3中的位置时，拉冲与N3NE有何数量关系？请分别写出猜想,

并任选一种情况证明.

第五章图形变换之轴对称

最短路径问题，需考虑轴对称。几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法如下图所示:

问题作图方法备注

A.

B

(1)在直线1上求点P,使|PA-PB|•

最大.

1

A.

(2)在直线1上求点P,使|PA-PB|

最大.1

B*

A.

B

(3)在直线1上求点P,使PA+PB*

最小.

1

A.

(4)在直线1上求点P,使PA+PB

最小.1

B*

(5)在直线1上求两点M、N(MB*

在左)，使得MN=a,并使A.

AM+MN+NB最小.

1

MN

(6)在射线h、12上分别求点M、

N,使△PMN周长最小.

2

(7)在射线11、12上分别求点乂、

N,使四边形PMNQ周长最小.

(8)在射线L上求作一点D,

在射线h上求作一点C,使得

PD+CD最小.

B•

(9)在直线1上求点P,

A•

使PA=PB.

------------------/

例1

(1)如图(a),把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处，则

AE、AB、BF之间的关系是._________________________.

AD=8,贝EF=__________.

(3)如图(c),折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,如果AB=8cm,BC=10cm,则

CF=__________cm,EC=___________cm.

」E

Bc

(4)如图(d),在矩形ABCD中，将4BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C：如果AB=6cm,

AD=8cm,贝ijAE=.cm.

例2如图，RtZ^ABC中，ZACB=90°,ZA=50°,将其折叠，使点A落在边CB上A'处，折

痕为CD,则/A'DB=()

A.40°B.30°C.20°D.10°

例3如图，正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过

点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A',折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC

边的中点，则A'N=；若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n22,

且n为整数），则A'N=（用含有n的式子表示）.

AEM

例4在四边形ABCD中，AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,NABD+/BDC=90°,求四边形ABCD

的面积.

D

C

例5(1)如图(a),正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点，P是对角线BD上一个动点,

贝I]PE+PC的最小值是.

(2)如图(b),若将(1)中的正方形改成菱形且NABC=60。，其他条件均不变，则PE+PC的最

小值是.

(a)(b)

例6(2012•广东)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠，使

点C落在C处，BC咬AD于点G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H,把4FDE

沿EF折叠，使点D落在D，处，点D"恰好与点A重合.

(1)求证：△ABGgZXCDG；

(2)求tanNABG的值；

(3)求EF的长.

例7(2012•德州)如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的

一点(不与点A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,

折痕为EF,连接BP、BH.

(1)求证：ZAPB=ZBPH；

(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若

存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

(备用图)

第六章图形变换之旋转

旋转是中考压轴题中的常见题型，什么时候需要构造旋转？怎么构造旋转图形呢？

构造旋转的条件：等线段，共顶点。

构造旋转图形的解题方法：遇中点，旋180°,构造中心对称；

遇90°,旋90°,造垂直；

遇60°,旋60°,造等边；

遇等腰，旋顶角.

例1如图，设P为等边三角形ABC内一点，且PA=5,PB=4,PC=3,求NBPC的度数.

例2如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且NEAF=45°.

求证：BE+DF=EF.

例3如图，4ABC是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且NBDC=120°.以D为顶

点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M,AC于点N,连接MN.

(1)证明：MN=BM+CN;(2)求aAMN的周长.

BC

D

例4如图，在AABC中,M是BC的中点,E、F分别在AC、AB上，且ME_LMF,试说明EF<BF+CE.

例5己知：在AABC中，BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题：

(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3,且NACB=60。，则CD=；

(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6,且NACB=9()。，则CD=；

(3)如图3,当NACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的NACB

的度数.

例6已知/MAN,AC平分NMAN.

(1)在图1中，若/MAN=120。，ZABC=ZADC=90°,求证：AB+AD=AC；

(2)在图2中，若/MAN=120。，ZABC+ZADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，

请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)在图3中：①/MAN=60°,ZABC+ZADC=180°,则AB+AD=AC；

②若NMAN=a(00<a<180°),ZABC+ZADC=180°,则AB+AD=AC(用含a的三角函数

表示)，并给出证明.

例7如图1,在口ABCD中，AEJ_BC于E,E恰为BC的中点，AD=AE.

(1)如图2,点P在线段BE上，作EF_LDP于点F,连接AF.求证：DF-EF=0AF；

(2)请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点(P不与点E重合)时，作EF_LDP于点F,

连接AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论

图1图3

例8请阅读下列材料：

已知：如图1在RtAABC中，NBAC=90。,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点，若NDAE=45

度.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.

小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90。，得到△ABE，，连接ED,使问题得到解决.请

你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，（1）

中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

图1图2

例9请阅读下列材料:

问题：如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一条直线上，P是线段DF的中点，

连接PG,PC.若NABC=NBEF=60°,探究PG与PC的位置关系及——的值.

PC

提示：延长GP交DC于点H,构造全等三角形.试探究并解决下列问题：

PG

(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及一的值；

PC

(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD

的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发

生变化？写出你的猜想并加以证明；

(3)若图1中NABC=NBEF=2a(0°<a<90°),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角

度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出P一G史的值(用含a的式子表示).

PC

第七章图形变换之平移

平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离。

平移的基本性质：经过平移，对应点所连线段平行且相等（或在同一直线上），对应线段平行且相等

（或在同一直线上）。

常见的构造平移的方式：构造平行线——平移线段

构造平行四边形或等边三角形——平移图形

例1如图，在AABC中，AB>AC,D、E分别为AB、AC上两点且BD=CE.求证：DE<BC.

例2（1）如图（a）,在正方形ABCD中，AB、BC、CD三边上分别有点E、G、F,且

EF1DG.求证：EF=DG.

（2）如图（b）,在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且

EG±FH.求证：EG=FH.

例3在AABC中，点P为BC的中点.

A

(1)如图(a),求证：AP<—(AB+AC);

2

(2)延长AB到D,使得BD=AC,延长AC到点E,使得CE=AB,连接DE.

①如图(b),连接BE,若NBAC=60。，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系。写出

你的结论，并加以证明。

②请在图(c)中证明：BC<-DE.

2

例4在Rtz^ABC中，NC=90°,D、E分别为CB、CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.

(1)如图a,若BD=AC,AE=CD,求NAPE的度数：

(2)如图b,若AC=6BD,CD=6AE,求/APE的度数.

C

E

E

(a)(b)

例5已知：如图(a),4ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC,BC的中点，

连接DE、DF、EF,将4BDF向右平移，使点B与点C重合；将4ADE向下平移，使点A与点C重

合，如图(b).

(1)设△ADE、Z\BDF、4EFC的面积分别为Si、S2、S3,则S1+S2福3——矿(用“＜、=、＞"

填空)

(2)已知：如图(c),ZAOB=ZCOD=ZEOF=60°,AD=CF=BE=2,设△ABO、△CDO、△

EFO的面积分别为Si、S2、S3；问：上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

F

D

(a)(b)(c)

第八章梯形中的辅助线问题

解决梯形问题的基本思路：

转化

梯形问题八-2A三角形或平行四边形问题

分割、拼接

梯形的很多问题都是需要添加简单辅助线，总结如下：

类型图形作法本质

将梯形转化为一个矩形和

与高有关作双高

两个直角三角形

n\平移一腰

将梯形转化为一个平行四

边形和一个三角形

r\平移一腰

与腰有关

将梯形转化为两个平行四

平移两腰