概率方法在不等式证明中的应用

II）用构建一次函数证明：证明：构造一个一次函数f(x),定义在区间[0,1]上当时，所以当时，所以因为是一次函数，且所以在上，恒有即对比：对比以上两种解题方法，可以鲜明地看出运用概率论知识来证明不等式方便简单，避免了分类讨论和一些繁琐的计算化简。例2已知求证：分析原式即由条件知所以即需证即需证成立，显然利用概率模型来证极为简单。证明:设两独立事件和即则所以因为故即得。所以例3证明：若a,b,c为三角形三边的长，且则(第23届全苏数学奥林匹克试题)证明：为三角形三边的长同理设为三个独立事件，且则从而有小结：根据题意建立概率模型，设定随机变量，将不等式中的未知量用模型中的事件来替换，就可利用概率中事件之间的关系列出不等式，从而获得证明。这种思路方法也可适用解决生活当中的一些不等关系，给我们生活带来便捷。二、利用切比雪夫不等式证明与概率有关的不等式定理1（切比雪夫Chebyshev不等式）设随机变量的数学期望，方差,则对于任意正数，成立不等式：.证明：略。切比雪夫不等式估计出随机变量在区间内取值的概率不小于，由此可知：若方差越小，则概率越大，说明随机变量取值在数学期望附近的密集程度越高；若方差越大，则概率越小，说明随机变量取值在数学期望附近的密集程度越低。切比雪夫不等式说明方差刻画了随机变量的取值对其期望的离散程度。当随机变量的分布未知时，由期望与方差、利用切比雪夫不等式也能提供关于分布的信息(实用性强)，利用这个信息可以粗略估计(估计粗糙)随机变量落入关于其数学期望对称区间内(有限制)的概率。例4设的概率密度函数为试证：[1]证明：因此，由切比雪夫不等式取对随机变量有即引理1设随机变量X的数学期望EX=0，方差，则对于任意正数ε，成立不等式：证明：对任意的实数x>0,利用马尔可夫不等式，有记则时f(x)达到最小值，此时，命题得证。根据该引理，容易得到下列定理。定理2（单边切比雪夫不等式）设随机变量X的数学期望EX=μ，方差,则对于任意正数ε，成立不等式：,[2]例5将n(n>5)个人的帽子充分混合后每个人随机地从中取出一顶，求至少有5人拿到自己帽子的概率小于1/17。解：记i=1,2,…,n.设，则帽子和人配对数X可表示为由于，所以，利用单边切比雪夫不等式，有.三、利用数学期望的性质证明不等式1）利用方差的非负性由方差的定义及重要计算公式

有(1)利用上述方差的非负性，可使得一些分式不等式或积分不等式很快得到证明，避免繁琐的推导过程。例6设，且求证：证明：由题设，可设离散型随机变量X的概率分布列为X1/x2/y3/zPxyz则∴例7设为锐角，且则[3]证明：由得构造随机变量的函数分布列：则由，得小结：由上面的例子可以看出，利用方差的非负性证明分式不等式时，关键在于灵活构造随机变量的概率分布列，但必须注意满足概率非负，且其和为1的条件。例8若在上非负连续，，则证明：∵在上非负连续，又，由概率密度函数定义，是某取值在上的随机变量ξ的密度。令由（1）得(2)同理∴(3)由（2）+（3）有2）利用Jensen不等式定义1（凸函数）设为在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有则称为上的凸函数。定义2（凹函数）设为在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有则称为上的凹函数。定理3（Jensen不等式）设是一随机变量，取值于区间，(1)若是连续的凸函数，那么如果和存在，则；(2)若是连续的凹函数，那么如果和存在，则[4]例9设在上非负连续，则证明：令则密度，∴在上非负连续，存在。令为凸函数。，由，即例10设在上连续，，在上位可微凸函数，则[3]证明：令∵在上连续，在上可微凸函数∴在上可积，存在.由例11若在上连续，且,则证明：令随机变量为定义在上的均匀分布.，为凹函数，∵在上连续，且,由可积性∴和存在由Jensen不等式为凹函数，∴即小结：上面的例子说明，如果被积函数包含凸函数或者凹函数，可以适当引入随机变量，然后利用Jensen不等式所展示的数学期望的性质，轻松解决不等式的证明问题。四、构造特殊的随机变量证明不等式在证明不等式时，如果能够发现其中蕴含某些常用分布的分布列或者密度函数，那么通过引入随机变量，可将一些与求和或者积分有关的不等式化成数学期望，然后利用概率论知识巧证这些不等式。1）利用正态分布的密度函数例12利用概率论方法证明：当时，有[6]证明：设随机变量和相互独立，且都服从分布。则其联合密度函数注1：我们知道，重积分可转化为定积分，而定积分又可转化成重积分，后者是概率论中常用的一个积分技巧。如验证，也是通过将左端转为二重积分而实现的。注2：本题的另一大关键是不等式的放大。一个非负可积函数在某一正方形区域上的积分当然小于该函数在以正方形的对角线为直径的圆域上的积分。这从定积分几何意义上容易理解。不少概率问题的积分运算从几何意义上不失为计算积分的一个好途径。2）利用两点分布证明不等式例13设则对于一切,成立不等式证明：设随机变量服从两点分布：则,由得利用指数分布证明不等式例14设若则成立不等式证明：设随机变量服从参数为的指数分布，其概率密度：则由得4）利用泊松分布证明不等式例15设为某一实函数，若则成立不等式证明：设随机变量服从参数为的泊松分布，其分布律为则由得小结：在概率论中有各种各样的随机变量，如上列举的有正态分布、两点分布、指数分布、泊松分布，在实际证明不等式和求解函数最大值的时候引入随机变量，再运用这些分布函数来证明，往往会有意想不到的效果——简洁易懂，思路清晰。参考文献[1]夏利民，成福伟.切比雪夫不等式应用几例[J].承德民族师专学报，2008,28(2):3-4.[2]张玉春，曾梦涵.一类概率不等式及其应用[J].高等数学研究，2010,1(13):45-46.[3]汤茂林.一个概率不等式的应用[J].