2020-2021学年新教材高中数学立体几何初步11.3.1平行直线与异面直线学案

11.3空间中的平行关系11.3.1平行直线与异面直线必备知识·自主学习一、平行直线如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.(1)在等角定理中如果去掉方向相同,这两个角还相等吗?提示:可能相等,也可能互补,只有这两种情况.(2)等角定理有什么作用?提示:可以证明两个角相等.二、异面直线空间中既不平行也不相交的直线.与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.(1)空间中两条不相交的直线是异面直线吗?提示:不一定.空间中不相交的直线可能是异面直线,也可能是平行直线.(2)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗?提示:不一定.可能平行、相交或异面.三、空间四边形顺次连接不共面的4点所构成的图形称为空间四边形.其中4个点都是空间四边形的顶点.连接不相邻顶点间的线段称为空间四边形的对角线.(1)空间四边形与四面体是一回事吗?提示:不是一回事.空间四边形可以看成由一个四面体的四条棱构成的图形,空间四边形不是四面体.(2)梯形是空间四边形吗?提示:不是.因为梯形是一个平面图形,它的四个顶点在一个平面上,所以它不是空间四边形.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.()(3)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.()提示:(1)×.没有公共点的两条直线是平行直线或异面直线.(2)×.在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行,例如在长方体ABCD-A′B′C′D′中,AB,AD都与棱AA′垂直,但是这两条直线相交.(3)×.若a,b是异面直线,a,c是异面直线,那么b,c可以平行,可以相交,可以异面.2.已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR等于()A.30°B.30°或150°C.150°【解析】选B.因为AB∥PQ,BC∥QR,所以∠PQR与∠ABC相等或互补.因为∠ABC=30°,所以∠PQR=30°或150°.3.(教材二次开发:例题改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1A.正方形 B.菱形 C.矩形 【解析】选B.设正方体的棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为QUOTE,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.1B1C1D1中,E,F分别是线段C1D,BC的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是_______【解析】直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.答案:相交关键能力·合作学习类型一两直线的平行(逻辑推理、直观想象)【典例】1.在如图所示三棱台中,平行的直线有几对?2.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BCQUOTEAD,BEQUOTEFA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)判断C,D,F,E四点是否共面?为什么?【思路导引】1.平行直线是在一个平面内没有公共点的直线,可在三个侧面中寻找.2.(1)证明四边形BCHG的一组对边平行且相等.(2)只需证明C,H,F,E四点共面,即可推出C,D,F,E四点共面.【解析】1.由题知三棱台中平行的直线:AB∥A1B1,BC∥B1C1,AC∥A1C2.(1)由已知FG=GA,FH=HD,可得GHQUOTEQUOTEAD,所以GHBC,所以四边形BCHG为平行四边形.(2)共面.理由:由BEQUOTEAF,G为FA的中点知,BEFG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由(1)知BGCH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法.三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法.用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.(3)空间平行线的传递性.用空间平行线的传递性证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由空间平行线的传递性即可得到a∥c.1.(2020·佛山高一检测)已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有的棱长均为2,D为CC1(1)求多面体ABD-A1B1C1(2)设A1C与AD的交点为E,B1C与BD的交点为F,求证:A1B【解析】(1)多面体ABD-A1B1C1的体积等于三棱柱ABC-A1B1C1的体积减去三棱锥D-ABC的体积,即QUOTE×22×2-QUOTE×QUOTE×22×1=2QUOTE-QUOTE=QUOTE.(2)在正方形ACC1A1中,QUOTE=QUOTE=QUOTE,在正方形BCC1B1中,QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以在三角形DAB中,有EF∥AB,由于AB∥A1B1,所以A1B1∥EF.2.在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC和AD的中点,将平面DCEF沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置,G,H分别为AD′和BC′的中点,求证:四边形EFGH为平行四边形.【证明】因为在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F分别为BC,AD的中点,所以EF∥AB且EF=QUOTE(AB+CD),又C′D′∥EF,EF∥AB,所以C′D′∥AB.因为G,H分别为AD′,BC′的中点,所以GH∥AB且GH=QUOTE(AB+C′D′)=QUOTE(AB+CD),所以GHEF,所以四边形EFGH为平行四边形.类型二异面直线的定义及应用(逻辑推理、直观想象)【典例】1.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②EF与MN是异面直线;③MN∥CD.其中,正确结论的序号是()A.①②B.①③C.②③D.①②③2.已知a,b,c是三条直线,且a与b异面,b与c异面,试判断a与c的位置关系,并画图说明.【思路导引】1.将正方体表面的展开图还原成正方体,在正方体中可以直观作出判断.2.选择恰当的平面作为衬托,画出可能出现的情况.【解析】1.选A.把正方体的平面展开图还原到原来的正方体如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,MN⊥CD,只有①②正确.2.直线a与c的位置关系有三种,如图所示.直线a与c可能平行(如图①所示),也可能相交(如图②所示),还可能异面(如图③所示).(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.(1)证明两条直线既不平行又不相交.(2)利用结论:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.1.如图,a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,E,F分别是线段AC和BD的中点,判断EF和a,EF和b的位置关系,并证明你的结论.【解析】假设EF和a共面,设这个平面为α,则EF⊂α,a⊂α.所以A,B,E,F∈α,所以BF⊂α,AE⊂α.又因为C∈AE,D∈BF,所以C,D∈α.于是b⊂α.从而a,b共面于α,这与题设条件a,b是异面直线相矛盾.所以EF和a共面的假设不成立,所以EF和a是异面直线.同理可得EF和b也是异面直线.2.如图所示,已知α∩β=a,b⊂β,a∩b=A,且c⊂α,c∥a.求证:b,c为异面直线.【证明】假设b,c不是异面直线,则b,c一定相交或平行.若b,c相交于一点P,b⊂β,c⊂α,又α∩β=a,则P∈b⊂β,且P∈c⊂α,所以交点P一定在α,β的交线上,即P∈a,所以a∩c=P,这与已知a∥c矛盾,故b,c不可能相交.若b∥c,又已知a∥c,则a∥b,这与已知条件a∩b=A矛盾,故b,c不可能平行.综上可知b,c为异面直线.类型三等角定理的应用(逻辑推理、直观想象)【典例】在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D求证:(1)四边形EFF1E1为平行四边形.(2)∠EA1F=∠E1CF1【思路导引】(1)欲证四边形EFF1E1为平行四边形可证其一组对边平行且相等.(2)可结合(1)利用等角定理证明.【证明】(1)连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFQUOTEBD,同理E1F1QUOTEB1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1DD1,AA1BB1,所以B1BDD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BDB1D1,所以EFE1F1.所以四边形EFF1E1为平行四边形.(2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M因为MF1B1C1,B1C1BC,所以MF1BC,所以四边形BCF1M所以MB∥CF1,因为A1MEB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可证:A1F∥E1C,又∠EA1F与∠F1所以∠EA1F=∠E1CF1证明角相等的方法一是用等角定理;二是用三角形全等或相似.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1(1)求证:四边形BB1M(2)求证:∠BMC=∠B1M1【证明】(1)因为ABCD-A1B1C1D1所以AD=A1D1,且AD∥A1D1,又M,M1分别为棱AD,A1D1的中点,所以AM=A1M1且AM∥A1M所以四边形AMM1A1为平行四边形所以MM1=AA1且MM1∥AA1.又AA1=BB1且AA1∥BB1,所以MM1=BB1且MM1∥BB1,所以四边形BB1M(2)方法一:由(1)知四边形BB1M所以B1M1∥1M1M为平行四边形,所以C1M1∥∠BMC和∠B1M1C1方法二:由(1)知四边形BB1M所以B1M11M1M为平行四边形,所以C1M11C1=BC,所以△BCM≌△B1C1M课堂检测·素养达标1.如果两条异面直线称为“一对”,那么正方体的12条棱中,异面直线共有() B.24对 C.36对 【解析】选B.如图所示,正方体中与AB异面的棱有CC1,DD1,B1C1,A1D1因为各棱具有相同的位置,且正方体有12条棱,排除两棱的重复计算,所以异面直线共有QUOTE=24对.2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面 C.异面 【解析】选B.假设a与b是异面直线,而c∥a,则c显然与b不平行(否则c∥b,则有a∥b,矛盾),因此c与b可能相交或异面.3.(多选题)(教材二次开发:练习改编)下列结论中,错误的是()A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线互相垂直【解析】选AD.A中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项A错误;B中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故选项B正确;C中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,两角相等或互补,故选项C正确;D中,如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线可能为异面直线,故选项D错误.4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是【解析】在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1答案:平行1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点,求证:∠DNM=∠D1A【证明】如图,连接AC,在△ACD中,因为M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△ACD的中位线,所以MN∥AC,MN=QUOTEAC.由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C所以MN∥A1C1又因为ND∥A1D1,所以∠DNM与∠D1A1而∠DNM与∠D1A1所以∠DNM=∠D1A1课时素养评价十五平行直线与异面直线(15分钟30分)1.两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形 ()A.全等 C.仅有一个角相等 【解析】选D.由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等,所以这两个三角形相似.2.在三棱锥S-ABC中,与SA是异面直线的是 ()【解析】选C.如图所示,SB,SC,AB,AC与SA均是相交直线,BC与SA既不相交,也不平行,是异面直线.3.如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.

【解析】题干图①中,GH∥②中,G,H,N三点共面,但M∉③中,连接MG,GM∥④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以GH与MN异面.答案:②④4.已知在三棱锥A-BCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列四个结论:①MN≥QUOTE(AC+BD);②MN≤QUOTE(AC+BD);③MN=QUOTE(AC+BD);④MN<QUOTE(AC+BD).其中正确的是.

【解析】设BC中点为P,连接MP,PN.在△MPN中,MN<MP+PN,所以MN<QUOTE(AC+BD),故④正确.答案:④5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是【解析】(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥D1C(2)直线A1B与直线B1C答案:(1)平行(2)异面6.如图,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C求证:四边形B1EDF是平行四边形.【证明】设Q是DD1的中点,连接EQ,QC1,因为E是AA1的中点,所以EQA1D1.又在矩形A1B1C1D1中,A1D1B1C所以EQB1C1,所以四边形EQC1B1所以B1EC1Q.又因为Q,F是矩形DD1C所以QDC1F,所以四边形DQC1所以C1QDF,又因为B1EC1Q,所以B1EDF,所以四边形B1EDF为平行四边形.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若∠AOB=∠A1O1B1且OA∥O1A1,OA与O1AA.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B11B1不平行1B1不一定平行【解析】选D.如图①②所示,OB与O1B1不一定平行.2.以下选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是 ()【解析】选C.本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断,仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择.A,B中,PQ∥RS,D中,PQ和RS共面.3.如图所示的正方体的平面展开图,在这个正方体中:①MN∥ED;②CN与BE是异面直线;③DM⊥BN.以上四个结论中正确的序号是 ()A.①② B.②③ C.③ D.①②③【解析】选C.如图所示,把正方体的平面展开图还原到原来的正方体,显然MN与ED为异面直线,故①不成立,而CN∥BE,故②不成立,又四个选项中仅有选项C不含①②,故选C.4.已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是 ()A.若a∥b,b⊂α,则直线a平行于平面α内的无数条直线B.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,则a⊥βD.若α∩β=b,a⊂α,则a,b一定相交【解析】选A.A中,a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,所以不管a在平面内还是平面外,结论都成立,故A正确;B中,直线a与b没有交点,所以a与b可能异面,也可能平行,故B错误;C中,直线a与平面β没有公共点,所以a∥β,故C错误;D中,直线a与平面β有可能平行,故D错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.a,b,c是空间中的三条直线,下列说法中正确的是 ()A.若a∥b,b∥c,则a∥cB.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交C.若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线可能平行、相交或异面D.若a与c相交,b与c异面,则a与b异面【解析】选AC.由平行线的传递性知A正确;若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行、相交或异面,B错误;易知C正确;若a与c相交,b与c异面,则a与b可能相交、平行或异面,故D错误.6.(多选题)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中正确的是 ()A.M,N,P,Q四点共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四边形MNPQ为梯形.【解析】选ABC.由中位线定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.对于A,有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A说法正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B说法正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C说法正确;由三角形的中位线定理,知MQQUOTEBD,NPQUOTEBD,所以MQNP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D说法不正确.【补偿训练】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C11是相交直线1是异面直线1是异面直线【解析】1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故A,B错误,直线BN与MB1是异面直线,直线AM与DD1是异面直线,故C,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D(1)∠DBC的两边与∠的两边分别平行且方向相同;

(2)∠DBC的两边与∠的两边分别平行且方向相反.

【解析】(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC并且方向相同所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别平行且方向相同(2)B1D1∥BD,D1A1∥BC并且方向相反所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别平行且方向相反答案:(1)D1B1C1(2)B1D1【补偿训练】已知角α和角β的两边分别平行且一组边的方向相同,另一组边的方向相反,若α=45°,则β=.

【解析】由等角定理可知β=135°.答案:135°8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M∈AB1,N∈BC1①AA1⊥MN;②A1C1③MN与A1C1其中正确结论的序号是.

【解析】考虑极端:M为A,N为B,排除②;M为B1,N为C1,排除③.故填①.答案:①四、解答题(每小题10分,共20分)1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点.求证:∠NMP=∠BA【证明】如图,连接CB1,CD1,因为CDA1B1,所以四边形A1B1CD是平行四边形,所以A1D∥B1C因为M,N分别是CC1,B1C1所以MN∥B1C,所以MN∥A1A1D1所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1.因为M,P分别是CC1,C1D1的中点,所以MP∥CD1,所以MP∥A1B,所以∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反,所以∠NMP=∠BA1D.10.如图,ABCD-A′B′C′D′为长方体,底面是边长为a的正方形,高为2a,M,N分别是CD和AD的中点.(1