5.2平面向量的数量积答案

5.2平面向量的数量积(见学生用书P114)课标要求精细考点素养达成1.理解平面向量数量积的含义并会计算2.理解向量a在向量b上的投影向量的概念3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律,并会应用数量积的基本运算1.通过向量数量积的相关概念的学习,培养数学抽象、数学运算的核心素养投影向量及应用2.通过向量数量积的运算,培养数学运算、逻辑推理的核心素养向量模与夹角的有关计算1.(概念辨析)(多选)下列说法不正确的有().A.投影是一种变换,投影向量是向量B.若a·b<0,则a和b的夹角为钝角C.若a∥b,b∥c,则a∥cD.若a·b=b·c,则a=c答案BCD解析对于A,由投影和投影向量的定义可知A正确;对于B,当两个非零向量a和b的夹角为π时,a·b=|a||b|<0,故B错误;对于C,若b=0,则不能得出a∥c,故C错误;对于D,当b⊥(ac)时,a·b=b·c,但可能a≠c,故D错误.2.(对接教材)已知|a|=1,|b|=2,a·b=2,则向量a,b的夹角为().A.π6 B.π4 C.3π4答案B解析设a与b的夹角为θ,因为|a|=1,|b|=2,且a·b=2,所以a·b=|a||b|cosθ=2,即1×2×cosθ=2,解得cosθ=22,又θ∈[0,π],所以θ=π3.(对接教材)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为π3,则|a+b|=()A.3 B.5 C.7 D.3答案C解析因为|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为π3所以|a+b|=(a+b)2=a4.(易错自纠)在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,则BA·AC的值为.

答案3解析在△ABC中,BC=BA+AC,平方得BC2=BA2+2BA·AC+AC2,即10=9+2BA·AC+4,所以BA·AC5.(模拟演练)(2024·广东七校联考)等边△ABC边长为2,BD=13BC,则AD·BC=(A.1 B.1 C.23 D.答案D解析如图所示,由△ABC是边长为2的等边三角形,且BD=13BC,可得AD=AB+所以AD·BC=(AB+BD)·BC=AB·BC+BD·BC=2·2·cos120°+23·2=2平面向量的数量积典例1(1)(2023·全国乙卷文)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则EC·ED=().A.5 B.3C.25 D.5(2)(2024·江苏如东期初学情检测)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a2b|=3,则|ab|=().A.2 B.3 C.2 D.5(3)(2023·江苏如皋中学月考)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|=2,且(ab)⊥b,则向量b在向量a方向上的投影向量的模为.

(4)设两个向量a,b满足|a|=1,|b|=2.若(2ab)·(a+b)=3,则a,b的夹角θ=;若a,b的夹角为60°,向量2tab与2a+tb的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.

答案(1)B(2)A(3)12(4)120°(解析(1)(法一)以AB,AD为基底向量,可知|AB|=|AD|=2,AB·AD则EC=EB+BC=12AB+AD,ED=EA+AD=12所以EC·ED=12AB+AD·-12AB+AD=1(法二)由题意可得ED=EC=5,CD=2,在△CDE中,由余弦定理可得cos∠DEC=DE2+CE2所以EC·ED=|EC||ED|cos∠DEC=5×5×35=3(2)由题意可得|a2b|2=a24a·b+4b2=14a·b+12=9,解得a·b=1,所以|ab|=(a-b)2=a(3)因为(ab)⊥b,所以(ab)·b=a·bb2=0,所以a·b=b2,又|a|=2|b|=2,设a,b的夹角为θ,所以向量b在向量a方向上的投影向量的模为|b||cosθ|=|a·b||(4)由(2ab)·(a+b)=3,得2a2+a·bb2=3,又a2=1,b2=4,所以a·b=1,所以cosθ=a·b|a||b|=12若a,b的夹角为60°,则a·b=1×2×cos60°=1,则(2tab)·(2a+tb)=4ta2+2t2a·b2a·btb2=2t22.因为向量2tab与2a+tb的夹角为钝角,所以2t22<0,解得1<t<1.设2tab=λ(2a+tb),λ<0,则2t所以当向量2tab与2a+tb的夹角为钝角时,t的取值范围为(1,1).向量数量积的求法1.求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.2.求向量a,b的夹角θ的思路:(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ=a·b|a||(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cosθ的值.3.解决向量投影问题应注意以下三点:(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同方向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,其方向由向量a和b夹角θ的余弦值决定;(2)向量a在b方向上的投影向量为a·b(3)向量a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同,即向量b在a上的投影向量可表示为a·b训练1(1)已知a,b,c均为单位向量,且a+2b=3c,则a·c=().A.13 B.13 C.1 (2)(2023·江苏连云港高中月考)若|a+b|=233|a|,且a⊥b,则向量a+b与a的夹角为(A.π6 B.π3C.2π3 D.(3)已知向量a,b满足|a|=5,|ab|=6,|a+b|=4,则向量b在向量a方向上的投影向量的模为.

答案(1)C(2)A(3)1解析(1)因为a+2b=3c,所以a3c=2b,所以(a3c)2=(2b)2,所以a26a·c+9c2=4b2.因为a,b,c均为单位向量,所以16a·c+9=4,所以a·c=1.(2)因为a⊥b,所以a·b=0,又因为|a+b|=233|a|,所以|a|2+2a·b+|b|2=43|a|2,即|a|2=3所以|a+b|=|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2又0≤<a+b,a>≤π,所以a+b与a的夹角为π6(3)因为向量a,b满足|a|=5,|ab|=6,|a+b|=4,所以|ab|2=25+b22a·b=36,|a+b|2=25+b2+2a·b=16,所以a·b=5,|b|=1,所以向量b在向量a方向上的投影向量的模为|b||cos<a,b>|=|b||a·b||a||平面向量数量积的性质典例2关于非零的平面向量a,b,c,下列说法正确的是.(填序号)

①若a·c=b·c,则a=b;②(a+b)·c=a·c+b·c;③若a2=b2,则a·c=b·c;④(a·b)c=(b·c)a;⑤|a·b|≤a·b;⑥若|a+b|=|a||b|,则存在实数λ,使得a=λb.答案②⑥解析对于①,若c和a,b都垂直,显然a,b至少在模的方面没有特定关系,所以①错误;对于②,这是平面向量数量积的分配律,所以②正确;对于③,若a2=b2,则|a|=|b|,a·c=|a||c|cos<a,c>,b·c=|b||c|cos<b,c>,而cos<a,c>与cos<b,c>不一定相等,所以③错误;对于④,(a·b)c与(b·c)a分别是一个和c,a共线的向量,显然命题(a·b)c=(b·c)a不一定成立,所以④错误;对于⑤,|a·b|=|a||b||cosθ|≥a·b(θ为a与b的夹角),所以⑤错误;对于⑥,当|a+b|=|a||b|时,a2+2a·b+b2=|a|22|a||b|+|b|2,所以a·b=|a||b|,所以a,b共线,即存在实数λ,使得a=λb,所以⑥正确.(1)向量的数量积不满足消去律:设a,b,c均为非零向量且a·c=b·c,则不一定能得到a=b.(2)一般地,向量的数量积(a·b)c≠(b·c)a,这是由于a·b,b·c都是实数,(a·b)c表示与c共线的向量,(b·c)a表示与a共线的向量,而a与c不一定共线.(3)两个结论:①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a+b)·(ab)=a2b2.训练2给出以下结论:①0·0=0;②0a=0;③|a·b|=|a||b|;④a·b=0⇒a=0或b=0;⑤a⊥b⇒(a·b)c=0.其中正确的结论是.(填序号)

答案⑤解析①0·0=0,故①错误;②0a=0,故②错误;③|a·b|=|a||b||cos<a,b>|,故③错误;④a·b=0⇒a=0或b=0或a⊥b,故④错误;⑤a⊥b⇒a·b=0⇒(a·b)c=0c=0,故⑤正确.投影法的应用典例3(2023·河北石家庄月考)已知A,B是圆x2+y2=4上的两个动点,|AB|=2,点C满足CB=52CA,若M为AB的中点,则OC·OM的值为(A.3 B.23C.2 D.3答案A解析如图,因为M为AB的中点,所以OM⊥AB,由CB=52CA知,A,B,C三点共线,所以OC·OM=|OC||OM|·cos∠COM=|OM|(|OC|cos∠COM)=因为|AB|=2,所以|AM|=1,故|OM|=|OA|2-|AM|2=作为数量积的几何定义,通常适用于处理几何图形中的向量问题1.图形中出现与所求数量积相关的垂直条件,尤其是垂足确定的情况下(此时便于确定投影),例如:直角三角形,菱形对角线,三角形的外心(外心到三边的投影为三边中点)2.从模长角度出发,在求数量积的范围中,如果所求数量积中的向量有一个模长是定值,则可以考虑利用投影,从而将问题转化为寻找投影最大、最小的问题.训练3如图,在△ABC中,O是外接圆圆心,D是BC中点,AB=3,AC=2,则AD·AO=.

答案13解析AO·AD=12(AO·AB+AO·AC)=14(AB2+AC2)=14(32+2极化恒等式1.极化恒等式:a·b=14[(a+b)2(ab)2(1)公式推导:(a+b)2=a2+2a·b+b(2)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的142.平行四边形模式:如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,则AB·AD=14(|AC|2|BD|2)3.三角形模式:如图,在△ABC中,设D为BC的中点,则AB·AC=|AD|2|BD|2.(1)推导过程:AB·AC=12(AB+AC)21(2)三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式,几乎所有的问题都是用它解决.(3)记忆规律:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.典例如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则EF·FG+GH·HE=().A.32 B.32C.34解析A解析取HF的中点O(图略),则EF·FG=EF·EH=EO2OH2=1122=34,GH·HE=GH·GF=GO2OH2=1122=34,因此,极化恒等式使用步骤在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下,极化恒等式的一般步骤如下:第一步,取第三边的中点,连接向量的起点与中点;第二步,利用极化恒等式公式,将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步,利用平面几何方法或用正弦、余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积.如需进一步求数量积的最值或范围,可以用点到直线的距离或三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边或基本不等式等求得中线长的最值或范围.训练如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若AB·AD=7,则BC·DC的值是.

答案9解析AB·AD=AO2BO2则有OB=4,所以BC·DC=CO2BO2=25一、单选题1.(课本改编题)在锐角三角形ABC中,下列关于向量夹角的说法,正确的是().A.AB与BC的夹角是锐角 B.AC与BA的夹角是锐角C.AC与BC的夹角是锐角 D.AC与BC的夹角是钝角答案C2.下列说法正确的是().A.向量a,b满足|a·b|≤a·bB.若向量a,b,c满足a·c=b·c(c≠0),则a=bC.若向量a∥b,b∥c,则a∥cD.对任意两向量a,b,ab与ba是相反向量答案D解析对于A,因为当两向量的夹角为(90°,180°]时,a·b<0,而|a·b|>0,所以|a·b|≤a·b不正确,故A错误;对于B,若a·c=b·c(c≠0),则(ab)·c=0,所以a=b或(ab)⊥c,故B错误;对于C,a∥b,b∥c,若b=0,则a与c不一定平行,故C错误;对于D,根据相反向量的定义可知,ab的相反向量是(ab)=ba,故D正确.3.(2024·广东高三摸底考试)已知平面单位向量a,b,c满足a+b+12c=0,则a·b=()A.52 B.2 C.3 D.答案D解析由a+b+12c=0可知a+b=12c,两边同时平方得2+2a·b=14,所以a·4.(2023·江苏徐州一中调研)在△ABC中,C=90°,点D在AB上,AD=3DB,|CB|=4,则CB·CD=().A.8 B.10 C.12 D.16答案C解析在△ABC中,因为AD=3DB,所以CD=CA+AD=CA+34AB=CA+34(AC+CB)=1所以CB·CD=CB·14CA+34CB=14CA·CB+二、多选题5.设平面向量|a|=1,|b|=2,b在a方向上的投影向量为c,则().A.a·c=c·b B.a·b=a·cC.|a·c|≤2 D.a·c=|a|·|c|答案BC解析c=a·b|a|2a=a·c=(a·b)a2=a·b,A选项不一定相等,A错误,B正确.|a·c|=|a·b|≤|a||b|=2,C正确.|a||c|=|(a·b)a|=|a·b|,D不一定正确.6.(2023·江苏泗洪中学月考)已知向量a,b的夹角为π6,|a|=3,|b|=1,t∈R,则()A.b在a方向上的投影向量的模为3B.a+3b在a方向上的投影向量的模为3C.|ta+b|的最小值为1D.当|ta+b|取得最小值时,a⊥(ta+b)答案AD解析因为b在a方向上的投影向量的模为|b|cosπ6=3因为a+3b在a方向上的投影向量的模为(a+3b)·a||ta+b|2=t2a2+2ta·b+b2=9t2+2t×332+1=9t2+33t+1=9t+362+14,当t=36时,|ta+b|取得最小值12,此时a·(ta+b)=ta2+a·b=9t+332=9三、填空题7.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|ab|=3,|a+b|=|2ab|,则|b|=.

答案3解析因为|a+b|=|2ab|,所以(a+b)2=(2ab)2,则a2+2a·b+b2=4a24a·b+b2,整理得a22a·b=0,又因为|ab|=3,所以(ab)2=3,所以a22a·b+b2=b2=3,所以|b|=3.8.(2024·福建第一次质量检测)已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,点P在BC边上(包括端点),则AD·AP的取值范围是.

答案[2,2]解析如图所示,以C为原点,BC为x轴正方向,过点C且垂直向上的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系.因为菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,则B(2,0),C(0,0),D(1,3),A(1,3).因为点P在BC边上(包括端点),所以P(t,0),其中t∈[2,0].所以AD=(2,0),AP=(t+1,3),所以AD·AP=2t+2.因为t∈[2,0],所以AD·AP=2t+2∈[2,2].四、解答题9.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a+2b)·(2ab)=3.(1)求|ab|;(2)若向量b与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.解析(1)依题意,(a+2b)·(2ab)=2a2a·b+4a·b2b2=3a·b6=3,得a·b=1,所以|ab|=(a-b)2=a(2)由向量b与λa+b的夹角为锐角,可得b·(λa+b)>0,即有λ+4>0,解得λ>4,而当向量b与λa+b同向时,可知λ=0.综上所述,实数λ的取值范围为(4,0)∪(0,+∞).10.如图,在△ABC中,CM=2MB,点Q为AC的中点,BQ交AM于点N.(1)证明:点N为BQ的中点;(2)若NA·NM=6,求|AM|.解析(1)设BN=kBQ,因为点Q为AC的中点,所以BQ