2.3.1双曲线及其标准方程

2.3.1双曲线及其标准方程【教学目标】

知识与技能：了解双曲线的定义，几何图形，标准方程，熟练掌握用待定系数法求双曲线的标准方程．利用双曲线的有关知识解决与双曲线有关的简单实际应用问题。

过程与方法：类比椭圆的定义，标准方程，得到双曲线的定义，标准方程，并注意两者的比较。情感态度与价值观：体会运动变化的观点，数形结合的思想方法，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣。【重点与难点】

重点：双曲线的定义，标准方程；难点：双曲线标准方程的推导迪拜双曲线建筑生活中的双曲线双曲线型自然通风冷却塔生活中的双曲线可口可乐的下半部玉枕的形状1.椭圆的定义和等于常数2a(2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的2.引入问题：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的复习思考：平面内与两定点F1，F2的距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，上面两条合起来叫做双曲线由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a注：当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹为近F2的一支.当|MF1|-|MF2|=-2a时，点M的轨迹为近F1的一支.①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.oF2F1M

平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹叫做双曲线.的绝对值（小于︱F1F2︱）注意双曲线定义:||MF1|-|MF2||

=2a若没有这个条件，轨迹为双曲线的一支（1）2a<2c；oF2F1M

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a>0；双曲线定义思考：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？（2）若2a>2c,则轨迹是什么？说明（3）若2a=0,则轨迹是什么？(1)F1F2延长线和反向延长线(两条射线)(2)轨迹不存在(3)线段F1F2的垂直平分线F2F1MxOy求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程1.建系.以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点．设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化简此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程F2F1MxOyOMF2F1xy若建系时,焦点在y轴上呢?c2=a2＋b2问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？练习：写出以下双曲线的焦点坐标F(±5,0)F(0,±5)F(±c,0)F(0,±c)看前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上答案：练习

1.判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出及其焦点坐标.2.是否表示双曲线？

表示焦点在轴上的双曲线；表示焦点在轴上的双曲线。分析:定义

方程

焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?例1已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.∵

2a=6,

c=5∴

a=3,c=5∴

b2=52-32=16所以所求双曲线的标准方程为：根据双曲线的焦点在x轴上，设它的标准方程为：解:例题：归纳：焦点定位，a、b、c三者之二定形练习1:求适合下列条件的双曲线的标准方程。1、焦点在y轴上2、焦点为且3、经过点若去掉焦点在y轴上的条件呢?4、已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为的标准方程练习:如果方程表示双曲线， 求m的取值范围.分析:方程表示双曲线时，则m的取值范围_________________.变式:

使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.

例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即2a=680，a=340xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为

1.

如图,设点Ａ，Ｂ的坐标分别为(-5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点Ｍ，且它们的斜率之积是，求点Ｍ的轨迹方程．xyOABM解：设点Ｍ的坐标为(x,y),因为点Ａ的坐标为(-5,0),所以，直线AM的斜率同理，直线BM的斜率由已知有化简,得点M的轨迹方程为课堂练习2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A

和B，根据两圆外切的条件，|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：3

已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且求顶点A的轨迹方程。解：在△ABC中，|BC|=10，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点，的双曲线的左支又因c=5，a=3，则b=4则顶点A的轨迹方程为定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)双曲线定义及标准方程小结作业导学测评（七）4、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线