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2.5泊松方程和拉普拉斯方程

静电场的基本方程:线性、均匀、各向同性电介质积分无旋：有散微分本构关系：8/17/20241第二章2.5泊松方程和拉普拉斯方程：

泊松方程：∵静电场为无旋场，故可引入一标量电位来描述之。而将即（2-5-1）的泊松方程8/17/20242第二章2.5

拉普拉斯方程：若静电场中无电荷分布时，即则泊松方程为：（2-5-2）的拉普拉斯方程

拉普拉斯算符：标量算符8/17/20243第二章2.5

拉普拉斯算符在各坐标系中的表示式：直角坐标系：柱坐标系：球坐标系：8/17/20244第二章2.5求解泊松方程（或拉普拉斯方程）：给定电荷分布，求解其方程得若已知

8/17/20245第二章2.5例：若半径为a的导体球面的电位为，球外无电荷，求空间的电位。解：显然，导体球的电荷分布在球面上，且呈球对称，故空间的电位也呈球对称，仅是r的函数。取球坐标系。因球外无电荷，则空间电位满足拉普拉斯方程球坐标系中即8/17/20246第二章2.5而8/17/20247第二章2.5两平行板电极无限大，若其间无电荷分布，则板间电场强度均匀;而实际上板间充满密度为的体电荷，由于体电荷只是的函数，故电场强度也只是的函数。例：两无限大平行板电极，板间距离为，电压为，并充满密度为的体电荷。求板间电场强度和极板面上的电荷面密度。如图。解：应用高斯通量定理求解。作一柱形闭合面为S，底面积为，下底在左极板内，上底在处，侧柱面与平行。08/17/20248第二章2.5即又代入则12导体内的电场强度为零08/17/20249第二章2.5作一柱形闭合面为S，底面积为，下底在左极板内，上底在极板内，侧柱面与平行。>闭合面上、下底处的电场强度为零，侧面的法向与电场强度的方向垂直。故则08/17/202410第二章2.5例：用解泊松方程的方法重求上例的电场强度。0解：泊松方程为0<<则8/17/202411第二章2.5故98/17/202412第二章2.5

运用泊松方程和（或）拉普拉斯方程可以求解静电场的边值问题。所谓“边值问题”，是指在一定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程，具体解法在第五章介绍。在某些特殊的情况下可以直接用积分的方法求解，这些特殊情况包括：１、求借电位φ呈完

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