关于一阶常微分方程积分因子的求法

PAGE关于一阶常微分方程积分因子的求法摘要目前关于一阶常微分方程积分因子的求解方法介绍比较零散，一般的教科书中大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间.一阶常微分方程灵活多变，有多种不同的方程类型，因而可针对不同类型的方程，研究与其适应的求解方法.本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地总结出一些较为规律的求解方法：观察法、公式法和分组法，给出这些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，通过对这三种方法的研究，解决了某些一阶常微分方程的求解问题.关键词一阶，积分因子，全微分方程，观察，公式，分组，通解TheSolutionaboutFirstOrderDifferentialEquationofIntergralFactorABSTRACTAtpresentaboutfirstorderdifferentialequationssolvingmethodofintegralfactorisintroduced,thecomparisonscatteredingeneralmostlyconfinedtoatextbook,suchassomesimpleformulageneralgiveonlycontainxoryunaryfunctionofintegralfactorofthesituation,rarelyinvolvetheconditionofdualintegralfactorofsapceandnosystem,sooverallsummaryofintegralfactorofsapcehasbroadresearchspace.Aflexibleandorderordinarydifferentialequations,andtherearemanydifferenttypesoftheequation,thustheequationofdifferenttypes,withthesolvingmethodtostudy.Thistopicwillbebasedonthedefinitionandpropertiesofintegralfactor,throughdifferentclassificationmethodandwayofintegratingfactorsinoriginalforthefoundation,onthevarioussapcefordeepeningandexpanded,systematicallysummarizessomerelativelyregularsolution:observation,formulaandgroupinglaw,giventhesemethodsusingconditions,andfeasibilityofthemethodisprovedthatcombinedwithconcreteproblemsarediscussed,basedonthethreemethodstostudyandresolvesomeofthefirstorderdifferentialequationproblemsolving.KEYWORDSfirst-order,Integralfactor,observation,formula,grouping,generalsolution.目录1引言……………………12几种变系数齐次线性方程的求解方法…………12.1降阶法……………12.2常系数化法…………82.3幂级数法…………172.4恰当方程法………………………203结束语………………234致谢语………………23参考文献………………24青岛大学本科生毕业论文（设计）PAGEPAGE231引言常微分方程是数学科学联系实际的主要桥梁之一。其主要的研究问题是对常微分方程求解。在常微分方程理论中,一阶常微分方程是微分方程的基础，在常微分中占有举足轻重的地位，一阶常微分方程的初等解法主要有两种:一是利用变量代换法,将方程化成变量分离型方程求解;另一种就是找出方程的积分因子,将方程化为全微分方程进行求解。这种利用积分因子将方程化为全微分方程进行求解的方法既灵活又难掌握,所以系统地研究积分因子的求法很有必要且是非常有意义的。通过对相关资料的查阅及分析，现有的教材对一阶微分方程的积分因子的求法都有介绍，但大都局限在一些简单的情况，如公式法一般只给出含有x或y的一元函数的积分因子的情形，很少涉及到二元的情况，对积分因子的求法并没有一个系统全面的总结，故积分因子的求法有广阔的研究空间。本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地讨论一阶微分方程的积分因子的求解方法（观察法、公式法及分组法），给出一些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，为解决某些非全微分方程的求解问题提供了更加快捷的工具，避免了某些方程的求解方法的繁琐及盲目。几种一阶微分方程的积分因子的求法2．1观察法对于一些简单的微分方程可通过适当分组，利用依一些常见的全微分方程公式观察可得到方程的积分因子，此法称之为观察法。例2.1解：首先，使分母有理化，方程变为再写成对称式即注意到方程的第一组为的全微分，第一组可乘微分函数后仍为二元函数的全微分方程.又注意到第二组形式为，因而取于是方程变为即或写利用观察法求积分因子，首先要将方程进行适当的分组，若其中的一组为二元函数的全微分方程，则方程可能有形如的积分因子，为可微函数，最终形式有方程的其他组的形式确定。例2.1解：把方程重新组合为即同样注意到方程的第一组为的全微分，第一组可乘微分函数后仍为二元函数的全微分方程.又注意到第二组形式为，尽量化为关于的微分方程，因而可取，即取于是方程变为或故原方程的通解为且，，也是方程的解例2.1.3求解方程解：重新组合改写为第一个项是全微分，因此设积分因子通式是，我们希望它也是第二项的积分因子，则应满足充要条件即所以则求得以乘原方程，得得通解为利用观察法求方程的积分因子，必须熟悉一些常见的全微分方程公式.如全微分方程，根据可以考虑的积分因子是：全微分方程是，根据可以考虑的积分因子是：对于方程（）有积分因子分别为，，，，全微分方程分别是：例2.1解：把方程重新组合为进一步化为第一组为由上可知有多种积分因子使之化为全微分方程，注意到第二组因而有积分因子方程两边乘以，得即故原方程的通解为且也是方程的解例2.1解：经观察分组得无论从的角度考虑，还是的几种积分因子及将第一项关于的微分方程，都可以找到方程的积分因子故方程两边乘以得故原方程的通解为例2.1解：各项重新组合为首先考虑到第一项的几种常见的积分因子，，，，再由第二项尽量化为关于的微分故方程两边同乘以，得注意到方程的第一组为的全微分，第一组可乘微分函数后仍为二元函数的全微分方程.又注意到第二组形式为，因而取于是方程变为积分得原方程的通解为另外也是解注：有时积分因子并不是一次性的观察解决问题的，需多步观察以解决问题.如经重新分组得，如果将第二项化为完全关于的微分是行不通的，正就需要分步观察。以上为几种常见的微分方程的积分因子，但通常所遇见的题目并不是（或不含有）以上几种简单的微分形式，这就需要熟练掌握微分计算，特别是二元微分。例2.1解将方程重新分组得根据第一项由全微分方程可知有积分因子方程两边同乘以，得即故方程的通解为其中也是方程的解利用观察法求积分因子将方程进行适当分组时，一般将相同次数的项分为一组，同时还要注意各项系数的关系，特别是分组后不能直接利用常见的全微分方程。例2.1解：将原方程按次数重新分组有可以看出两组均不是二元函数的全微分，注意观察到第一组前的系数为3，的系数为1，因而方程两边同乘以，得对于第一项将其化为全微分还需除去，故方程两边同时乘得故原微分方程的通解为还有解2.2公式法积分因子并非都是很容易观察出来的.一般地，设，及都是连续可微的，对于微分方程，则积分因子必须满足关系式：或其展开式：（*）这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程，要想通过解这方程来求积分因子，在一般情况下，将比求解原方程更困难.是，对若干特殊情况，求出（*）的一个特解还是容易的.所以这也就提供了寻求某些特殊形式的积分因子的一个途径。定理：方程形式的积分因子的充分必要条件是且有积分因子证明：设是的积分因子，则方程为全微分方程的充分必要条件是（*）即这是关于未知函数为的一阶偏微分方程，令，则有或令则故得到得证推论1微分方程有形为（只依赖于）的积分因子的充分必要条件是并且有例2.2.1求解方程解因为所以根据公式，的积分因子原方程两端乘以,得或写成即因而方程的通解为推论2微分方程有形为（只依赖于）的积分因子的充分必要条件是.并且有推论3令则微分方程有形为的积分因子的充分必要条件是.并且有，其中，，为不同为的常数.例2.2.2求解方程解：由题意得令，，得故积分因子为方程两边同乘以积分因子得化简得故方程的通解为推论4令则微分方程有形为的积分因子的充分必要条件是并且有推论5令则微分方程有形为的积分因子的充分必要条件是.并且有推论6令则微分方程有形为的积分因子的充分必要条件是.并且有例2.2.3求解方程解：由题意得令，，有所以方程的积分因子为方程两边同乘以上式得故方程的通解为即方程还有解，推论6微分方程有形式为的积分因子的充分必要条件是.并且有例2.2.4求解方程解：由题意得令，，得所以方程的积分因子为积分因子乘原方程得故方程的通解为即根据观察法和公式法我们可以解决一下三类特殊方程积分因子的求法线性方程的积分因子为证明：把方程改写为可见现在，，因此根据公式法可知方程有积分因子齐次方程，则积分因子为这里,都是关于，的m次齐次函数证明：对方程作变换，方程可化为利用，的齐次性，上述方程改写为于是容易看出此方程的积分因子为代回原变量，即得方程的积分因子贝努利方程的积分因子为证明：将改写为乘以得由推论1得故方程的积分因子为2.3分组法有些方程项数较多形式复杂，用观察法和公式法都难以求解积分因子，对于这种方程可以将方程分组，从每一组的求解出发，使问题由大化小、由繁化简。在介绍分组法之前给出以下定理定理2如果是方程的一个积分因子，且则也是方程的积分因子。里是任一可微函数。证明：用乘的左端，得到故，是方程的积分因子。所以如果方程的M、N中的项数较多，且比较复杂，不易直接求得它的积分因子。在这种情况下，宜把它的左端分成几组，比如分成两组：（#）然后，分别求得各组的积分因子和，于是就可以找的，，使得这时根据以上定理可利用，求得整个方程的积分因子。具体得，设，分别是方程第一组和第二组的积分因子。如果能找到适当微分函数、，使得那么，既是方程（#）的第一组积分因子，也是第二组的积分因子，因而也就是方程的积分因子。例2.3.1方程解：把方程改写成容易求得，，为了使关系式成立，取其中、是待定常数.由得到，解此方程，得，.于是得到原方程的积分因子积分因子为以乘原方程的两端，得到这是全微分方程，利用公式，即得于是，方程的通解为例2.3.2求解方程解：将原方程改写为由观察法容易看出第一项有积分因子通式，考虑第二项构成的方程取，乘左端得因此取前面通式中的，即就是原方程两项公共的积分因子，即立即可得原方程的通解为总结：运用分组法求积分因子时，常复杂的对称形式的方程进行适当分组，可根据观察法的技巧进行分组。3结束语本课题将根据积分因子的定义及性质，通过不同的分类方法，在原有求积分因子方法的基础上，对多种求法进行加深和扩充，系统地讨论一阶微分方程的积分因子的求解方法（观察法、公式法及分组法），给出一些方法的使用条件，并对方法的可行性进行证明，结合具体问题进行分析讨论，为解决某些非全微分方程的求解问题提供了更加快捷的工具，避免了某些方程的求解方法的繁琐及盲目。微分方程在自然科学和技术科学的领域中都有着广泛的应用。同样,在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题。这些问题都可能会涉及到一阶微分方程的求解,因而就会涉及到一阶微分方程的积分因子的求法，因此,系统地研究一阶微分方程积分因子的求解方法对诸多领域所涉及到一阶微分方程的求解将有很大帮助。这样做可以大大减少求解一阶微分方程通解的计算量，使问题的处理更加快捷，有着重要的现实意义和实际应用价值。4致谢语本论文是在导师孙丽强老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。在过去的两个月中，从确定题目到资料筛选再到撰写论文，各个环节都得到了孙老师无微不至的关心和帮助。孙老师严谨治学的精神和认真负责的态度，更是给我留下了深刻的印象，使我受益匪浅。在此对孙老师表示深深的敬意和由衷的感谢。不积跬步何以至千里，本论文能够顺利的完成，也要感谢各位任课老师四年来的培养教育，正是有了他们的悉心帮助，我才能够很好地掌握和运用专业知识，并在论文中得以体现。因此，我要向青岛大学师范学院数学系的全体老师表示诚挚的感谢。我还要衷心感谢我的父母，他们的鼓励和支持，是我不断进取的力量源泉。最后衷心感谢所有给予过我帮助的人，感谢各位评委老师在百忙中抽出宝贵的时间评阅我的论文。大学生活即将结束，四年的时光充实而难忘。在今后的日子里，我会满怀对学校对老师的深切感激，将自己的所学付诸实践，努力拼搏，积极进取，不辜负老师们的期望和培养。 参考文献[1]王高雄，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社.2008.[2]钱祥征.常微分方程解题方法[M].湖南：湖南科学技术出版社.1985.[3]金福临，等.应用常微分方程[M].上海：复旦大学出版社.1991. [4]周尚仁，权宏顺.常微分方程习题集[M].北京：高等教育出版社.1986.[5]钱伟长.常微分方程的理论及其解法[M].北京：国防工业出版社.1992.[6]都长清