2023理科数学全国联考卷

2023理科数学全国联考卷（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共30分）1.（2分）设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为：A.0个B.1个C.2个D.3个2.（2分）函数f(x)=x²+2x+1的定义域为：A.RB.[0,+∞)C.(∞,0]D.(1,1]3.（2分）若向量a=(2,3)，b=(1,2)，则2a3b的坐标为：A.(8,1)B.(8,1)C.(8,1)D.(8,1)4.（2分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是：A.y=x³B.y=x²C.y=1/xD.y=|x|5.（2分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1+a3+a5=21，则a4的值为：A.7B.9C.11D.136.（2分）若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面上的对应点位于：A.实轴上B.虚轴上C.直线y=x上D.直线y=x上7.（2分）在三角形ABC中，若a=8,b=10,sinA=3/5，则sinB的值为：A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3二、判断题（每题1分，共20分）8.（1分）若a>b，则a²>b²。（）9.（1分）函数y=2x+3与y=3x+2是同一函数。（）10.（1分）等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d。（）11.（1分）若两个平面垂直，则它们的法向量也垂直。（）12.（1分）若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。（）13.（1分）在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)到原点的距离为√(1²+2²+3²)。（）14.（1分）函数y=cosx的周期为2π。（）15.（1分）若直线l与平面α垂直，则l与α内的任意直线都垂直。（）三、填空题（每空1分，共10分）16.（1分）已知函数f(x)=3x²4x+1，则f(1)=______。17.（1分）若向量a=(3,4)，b=(2,1)，则a·b=______。18.（1分）在等比数列{an}中，若a1=2，公比q=3，则a3=______。19.（1分）若复数z满足z²+2z+5=0，则z的实部为______。20.（1分）在三角形ABC中，若a=5,b=7,C=120°，则三角形ABC的面积为______。四、简答题（每题10分，共10分）21.（10分）求函数f(x)=x²4x+3的单调区间和极值。五、综合题（1和2两题7分，3和4两题8分，共30分）22.（7分）已知函数g(x)=x³3x²+2x，求g(x)的导数，并讨论其单调性。23.（7分）在直角坐标系中，已知点A(2,3)，点B在x轴上，点C在y轴上，若△ABC为等腰直角三角形，求点B和点C的坐标。24.（8分）已知数列{bn}的通项公式为bn=n²+n+1，求证数列{bn}是递增数列。25.（8分）在8.（1分）若a>b，则a²>b²。（）9.（1分）函数y=2x+3与y=3x+2是同一函数。（）10.（1分）等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d。（）11.（1分）若两个平面垂直，则它们的法向量也垂直。（）12.（1分）若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。（）13.（1分）在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)到原点的距离为√(1²+2²+3²)。（）14.（1分）函数y=cosx的周期为2π。（）15.（1分）若直线l与平面α垂直，则l与α内的任意直线都垂直。（）16.（1分）已知函数f(x)=3x²4x+1，则f(1)=______。17.（1分）若向量a=(3,4)，b=(2,1)，则a·b=______。18.（1分）在等比数列{an}中，若a1=2，公比q=3，则a3=______。19.（1分）若复数z满足z²+2z+5=0，则z的实部为______。20.（1分）在三角形ABC中，若a=5,b=7,C=120°，则三角形ABC的面积为______。21.（10分）求函数f(x)=x²4x+3的单调区间和极值。22.（7分）已知函数g(x)=x³3x²+2x，求g(x)的导数，并讨论其单调性。解：求g(x)的导数：g'(x)=3x²6x+2令g'(x)=0，得3x²6x+2=0解得x=1或x=2/3当x<2/3或x>1时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增；当2/3<x<1时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减。23.（7分）在直角坐标系中，已知点A(2,3)，点B在x轴上，点C在y轴上，若△ABC为等腰直角三角形，求点B和点C的坐标。解：设点B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,c)。由于△ABC为等腰直角三角形，所以AB=AC。根据距离公式，有：AB²=(b2)²+3²AC²=2²+(c3)²由于AB=AC，所以：(b2)²+3²=2²+(c3)²解得b=5，c=4或b=1，c=4因此，点B的坐标为(5,0)或(1,0)，点C的坐标为(0,4)。24.（8分）已知数列{bn}的通项公式为bn=n²+n+1，求证数列{bn}是递增数列。解：要证明数列{bn}是递增数列，只需证明对于任意的正整数n，都有bn+1>bn。计算bn+1bn：bn+1bn=[(n+1)²+(n+1)+1][n²+n+1]=n²+2n+1+n+1+1n²n1=2n+2因为n是正整数，所以2n+2>0。因此，bn+1>bn，数列{bn}是递增数列。25.（8分）在空间直角坐标系中，已知平面α的方程为x+2yz=6，直线l的方向向量为s=(2,1,3)，直线l上的一点为P一、选择题1.C2.A3.A4.C5.C6.A7.B二、判断题8.×9.×10.√11.√12.√13.√14.√15.×三、填空题16.617.418.1819.120.14√3四、简答题21.f'(x)=2x4，令f'(x)=0，得x=2，f(2)=1。单调递增区间为[2,+∞)，单调递减区间为(∞,2]，极小值为f(2)=1。五、综合题22.g'(x)=3x²6x+2，单调递增区间为(∞,2/3)和(1,+∞)，单调递减区间为(2/3,1)。23.点B的坐标为(5,0)或(1,0)，点C的坐标为(0,4)。24.已证明。25.直线l的参数方程为x=2t+1，y=t+2，z=3t1，代入平面方程得t=1，故直线l与平面α的交点为(3,1,2)。1.函数与极限：包括函数的定义域、值域、单调性、极值等。2.数列：等差数列、等比数列的通项公式和性质。3.向量：向量的坐标表示、点积、向量与直线和平面的关系。4.三角形：三角形面积公式、等腰直角三角形的性质。5.复数：复数的运算、复数的几何意义。6.矩阵：矩阵的行列式、矩阵的可逆性。7.微积分：导数的计算、函数的单调性、极值问题。各题型知识点详解及示例：选择题：主要考察学生对数学基础知识的掌握，如函数的性质、数列的定义、向量的运算等。示例：选择题第1题，考察等差数列的性质。判断题：考察学生对数学概念的理解，如函数的定义、矩阵的性质等。示例：判断题第10题，考察等差