新人教A版必修一 证明不等式 教案

证明不等式

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

证明不等式B能根据不等式的性质证明一些不等少考

关系式。

知识提要

证明不等式

・比较法比较法是证明不等式中最基本最重要的方法.要证明a>b,最基本的方法就是证

明a-b>0,即把不等式两边相减，转化为比较差与0的大小.若不等式两边的数同正，有时

也通过把不等式两边相除，转化为考察所得的商式与1的大小关系.

•分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论

归结为判定一个明显成立的条件，这样的证明方法叫分析法.

・综合法利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导

出所要证明的结论成立，这样的证明方法叫综合法.

・反证法假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出

矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法.

・放缩法要证明不等式4<8成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将

4放大成C,即4<C,后证C<B,这种证法称为放缩法.

精选例题

证明不等式

lo若规定=ad-be,则由尚与由5"I的大小关系为Qb£R,a.

【答案】I：；b\>I：ri

\a-b\_产—CL\

\baIFbI

【分析】=[a•a—(—b)•b]—[a'b—(—a)<b].

=a2+b2—lab

=(a—b)2

因为aWbf

所以(a-bp>0.

所以^CL-CL

>bb

2.设a=m七=近一W,c=显—则a,b,c的大小关系为.

【答案】a>c>b

【分析】因为bf，©=熹,

所以b<c.

而小=2,〃=(四—鱼)=8-2V12=8-V48<8-V36=2,

所以a>c,

所以a>c>b.

3.已知a+Z?>0,a丰b,则与+工与工+：的大小关系是

azab

【答案】与+白>工+：

azab

4.已知a>0,b>0,TH=1g®/，n=lg^^,则相与九的大小关系为

【答案】m>n

【分析】因为（历4-Vb）2=a+b+2y[ab>a+b>0,

所以逅+VF>区亘,

所以TH>71.

5o设a,b为正实数.现有下列命题：

①若M一炉=1,则a-bv1；

②若:--=1,则。一匕<1;

③若IVH—Vb|=1,贝！J|a-b|<l;

④若Ia3—b3|=1,则|a-b\<1.

其中的真命题有（写出所有真命题的编号）.

【答案】①④

【分析】对于①：•••小一人2=1,且a>。，b>0,

a2=1+fo2>1.・,・a>1..,・a+b>1,

2

由小—b=(a—ft)(a+b)=1,・,.a—b<1.A①正确.

对于②:工―工=1,.•・上士=1,・,.a-b=ab.又=a>0,b>0,无法确保ab<1,

baab

：.a—b<1不一定正确,②不正确.

对于③：,l迎一伤1=1且a>0力>0,・••历>1,由|a-b|==

\y[a4-VF|>Va>1,

・•.③不正确.

对于④：*•eIa3—b3|=1且a>0,b>0.|a3|>1.a>1,

22322

a+ab+b>1.由W—b\=\a-b\\a+ab+b\=1,A\a-b\<1,二④正确.

sin

6.设a>b>l,yi=sin答，y2=^y3=sin*,则%,乃，乃的大小关系是

【答案】丫3<y2V%

7.设a>0,0<b<1,则P=与Q=对（。+1）（。+2）的大小关系是

【答案】P<Q

【分析】.:(a+一(a+l)(a+2)=：>0,且a+|>0,(a+l)(a+2)>0,

Q+—>+l)(a+2),

v0<b<1,

:•P<Q.

8o/+丫2+1与2(%+丫一1)的大小关系为.

【答案】x2+y2+1>2(%+y—1)

【分析】(/+y2+1)—2(%+y-1)=(%—1)2+(y-1)2+1>0.

9.用数学归纳法证明不等式上+—+•••+—>空的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等

n+1n+2n+n24

式的左边增加的式子是.

s室】_____i____

、口k.(2k+i)(2k+2)

【分析】不等式的左边增加的式子是士+力-左=石式白由，故填rXv

10.设直角三角形的两条直角边的长分别为a、b,斜边长为c,斜边上的高为h,则有

①a?+户>©2+h2;

②M+匕3v+状；

③d+〃>C，+也

@a5+b5<c5+/i5.

其中正确结论的序号是;进一步类比得到的一般结论是

【答案】②④；an+bn<cn+/in,nGN*

【分析】

依题意，得a=csinA,b=ccosX,则

ab

h=—=csirh4cos4

从而‘

an^_bn_cn_a

=cn(sinnA+cosnA—1—cos^Tlsin71/)

=cn(sinnX—1)(1—cosnA)<0,

所以4-Fbn<cn+hn,nEN*.

Ho设直角三角形的两直角边的长分别为a/,斜边长为c,斜边上的高为九，则有a+b<c+

九成立，某同学通过类比得到如下四个结论：

①合+炉>C?+M；②标+川v+/；③口4+〃>+h4；@U5+b5<C5+/l5.

其中正确结论的序号是；进一步得到的一般结论是.

【答案】②④；an+bn<cn+/in(nGN*)

【分析】如图所示，设边b所对的角为。，则a=ccos6,b=csin3,h=ccosOsin。，

所以

an4-bn—(cn+/in)=cn(cosnO+sinn6—1—cos九Jsin71。)

=cn(sinn0—1)(1—cosn6)<0,

所以"1+力九

12.若定义在R上的函数r(%)满足〃o)=-1,其导函数ro)满足ro)>k>i,则下列结论中

一定正确的有.

①心。，②哨>白③f岛)>占④ffe)>占

【答案】①③

【分析】设g(x)=/(x)-k%,由g'(x)=/'(X)-k>0.所以g(x)在R上为增函数，>0,

5©=/©-1>5(0)=/(0)=-1,所以①正确；又台〉0,所以g(W)=

f仁)一台>9(°)=一1'即/(含)〉六’③正确■

由此，也可以判定②④不一定正确.

13o设a>b>0,zn=仿—VF,n=7a—b,则TH,n的大小关系是

【答案】m<n

【分析】取。=2力=1,得znVn.再用分析法证明：

4a—4b<yla—b<=<Vh+yla—b

<=aVb+2Vb•Va—b+a—b

<=2Vb•7a—b>0.

显然成立.

14o已知a,bGR,a+b=1,求证：(a+b)2+(b+2)2>y.

【解】要证原不等式成立，

只需证(a+2>+(1-a+2)2>y,

只需证a?+4a+4+Q?—6a+9》—,

只需证2a2-2a+1>0,

只需证2一3>0.

而上式显然成?，故原不等式得证.

15.已知a,力，c,d均为正实数，试用分析法证明：Va2+b2-Vc2+d2ac+bd.

22

【解】要证A/Q2+b?-Vc+d>ac+bd成立,

只需证(M+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.

即证b2c2+a2d2>2abcd.

也就是(力c—ad)2>0.

因为(左一ad)2>0显然成立，

所以V02+炉.7c2+d2>ac+bd.

16.已知。力，c均是不全等的正数，且0<%<1.

求证：10gx等+log%等+10gx^<log』+10g/+10gxC.

【解】要证明logx等+logx等+logx<logxa+\ogxb+logxc,

b+c

2

因为学》VHF>0,手》年>0,Vac>0,

a,/c是不全相等的细数，'

所以?.警.等>后环=诋，

ona+bb+ca+c_,

即q,>dbdvcyL.

所以bgx等+10gx等+bgx等<bg”+10gW+Mg”成立.

17.已知a>b>0,c>d>0,比较"-与J-的大小.

a—cb-d

【解】取a=2,b=1,d=—l,c=-2,

则)-=：，—1，猜想.证明如下:

a-c4b-da-cb-d

因为CVdV0,

所以—c>—d>0.

又a>b>0,

所以a-c>b—d>0,

所以「三>——>0,

b-da—c

又a>b>0,

所以看>±.

b-da-c

18o已知a,b是不相等的两个正数,求证：(a+&)(a3+&3)>(a2+62)2.

因为(a+b)(a3+b3)—(a2+Z?2)2

【解】=(a4+ab3+ba3+b4)—(a4+2a2b2+b，)，

=ab(a—b)2

因为a,bGR+且aWb,

所以以>0,(a—b)2>0,所以ab(a—b)2>0.

所以(a+b)(a3+b3)>(a2+b2)2.

19o设a,b,c均为正实数.

⑴若a+b+c=l,求证：a2+b2+c2>|；

【解】因为a+b+c=l,

所以(a+b+c)2=a?+人2+。2+2ab+2bc+lac=1.

因为2ab<a2+b2,2bc<c2+&2,2ac<a2+c2,

所以a?+炉++2ab+2bc+lac=1<3(a2+b2+c2),

所以a2+/)2+c2》：.

(2)求证:产手》审

【解】由已知得a+b+c>0,

欲证手》手，只需证必产》誓必

只需证3(小+b2+c2)>(a+h+c)2,

只需证2a2+2b2+2c2—2ab—2bc—2ac>0,

即证(a—b)2+(b—c)2+(c—a)2>0,

上述不等式显然成立，故原不等式成立.

20o设a,4c>0,a+b+c=1,求证:43a+1+73b+1+73c+143鱼.

【解】不等式在a=b=c=］时.等号成立，此时<3。+1=73b+1=N3c+1

V2.由此可考虑配凑常数以便利用基本不等式.

因为立•V3^T1<号=若，

同理，V2-V3b+1<鱼•V3c+14等,

以上三式相加，并利用a+b+c=1,

信网13a+1+73b+1+V3c+1)<6,

所以V3a+1+73b+1+V3c+1<3鱼.

(1)求证:8+V7<2V5；

【解】因为V5+夕和2遍都是正数,所以为了证明,+夕<24，

77

只要证+V7)<(2V5),

只需证10+2旧<20,

即证2旧<10,

即证<5,

即证21<25,

因为21<25显然成立，所以原不等式成立.

(2)已知a>0,8>0且61+8>2,求证：上士匕^中至少有—个小于2.

ab

【解】假设：—,彳都不小于2,则出》2,詈》2,

abab

因为a>0,b>0,

所以1+b>2a,1+a>2b,

所以1+b+1+a>2(a+b),即a+b42.

这与已知a+b>2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立.

22o设函数/(%)=ax2+b%+c且f(l)=—p3a>2c>2b.

(1)试用反证法证明：a>0.

【解】假设Q40,

因为3a>202b,

所以3a<0,2c<0,2b<0,

将上述不等式相加得3a+2c+2力<0,

因为f⑴=一|，

所以3Q+2C+2b=0,

这与3a+2c+2匕<0矛盾，

所以假设不成立，

所以Q>0.

（2）证明：—3V2<—三.

a4

【解】因为f(l)=a+b+c=—1

所以3a>—b.

因为2c>2b,

所以—3a>4b.

因为a>0,

所以一3<2<—三.

a4

23o当a》2时,求证：Va+1-^Ja<y/a—1—y/a—2.

【解】要证Va+1—y/a<Va-1-Va-2,

只需证A/Q+1+Va-2<份+7a-1,

只需证+1+y/a-2)<(y/a+Va-1)，

只需证a+1+a—2+2J(a+l)(a-2)Va+a—1+2Ja(a—1),

只需证J(a+l)(a—2)<-1),

只需证(a+l)(a-2)<a(a-1),

即证—2V0,而—2V0显然成_yL,

所以，a+/—y[u<yjct—1—7a—2成立.

24o已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.

（1）若a=匕=c,则（，一1）一1）（十一1）的值为

【解】8

（2）求证GTG-i）（»i）》8.

【解】解法一：分析法

要证G-1)G-1)(!-1)》8成立,

只需匕成立.

abc

因为。+b+C=1,

|—j^^_|j^(a+b+c)—a(a+b+c)-b(a+b+c)-c

>8,

abc

口nb+ca+ca+匕„i>.>.

即-----------成乂，

abc>8

门色、-r(b+c)(a+c)(a+b)2y[bc2>/ac2\[ab

只布证-----：----->------7------>8成立,

a八b八cabc

而巫生■晅8显然成立.

abc

所以CTCTCT)>8.

解法二：综合法

因为b+c>2V^>0,a+c>2y[ac>0,a+b>2Vab>0

所以(b+c)(a+c)(a+b)>2y[bc24ac2y[ab,

所以(b+c)(a+c)(a+6)>Babe,

又a>0,b>0,c>0,

所以(b+c)(a+c)(a+b)〉g

又a+b+c=1,

所以(l-a)(l-b)(l-c)

abc

匚匚j、[l—CL1—b1—cc

所以-----

abz---c---->8,

所以GTCTCT)>8.

25.已知a》—5,b》——,a+b=1,求证：72a+1+72b+142V2.

【解】要证”2a+1+72b+1<2V2,

只需证2(a+b)+2+272a+1-72b+1<8.

因为a+b=1,

所以只需证，2a+1-V2b+1<2.

因为a>b>

所以2a+1>0,2b+1》0.

所以〃2a+1-72b+1<(2a+?(2b+i)=2(—+i)=2,

即“2a+1-yj2b+1<2成立.

因此原不等式成立.

26。已知a>0,b>。,求证：—I—》—.

aba+b

【解】因为a>0,b>0,

所以(a+b)0+：)=1+1+^+9》10+2l^--=16(当且仅当3a=b时取等号)，

\abjba'ba

匚匚、1,9、16

所以I一I+W>F?

aba+b

27.已知函数f(%)=%+E—4,g(x)=kx+3

(1)当a6[3,4]时，函数〃无)在区间上的最大值为/(6)，试求实数6的取值范围

【解】因为ae[3,4],所以y=f(x)在(1,伍)上递减，在(而+8)上递增,

又因为/(无)在区间[1,涧上的最大强为f(m),

所以f(m)>/(l),解得(m-l)(m-a)>0,

所以771>Qmax，即血>4；

(2)当aG［1,2］时，若不等式If(%i)I-|/(%2)I<0(工1)一9(%2)，对任意%i，%2E

[2,4](%I<%2)恒成立，求实数上的取值范围

【解】因为If(%i)I-I/(%2)Ivg(%i)-。3)，

所以I/3)I-g(%i)vIf(%2)I-g(%2)恒成立，

令尸(%)="(%)|一0(%),则尸(%)在［2,4］上递增.

(—1—k)x----F1,xG［2,2+74—a］

对于=

(1—k)x+——7,xE.［2+V4—CL,4］

(1)当％£［2,.4—a］时,F(x)=(—1—k)x—^+1,

①当/c=—1时，F(x)=—2+1在上递增，所以k=—1符合；

②当人<一1时，F(%)=(—1一k)x一三+1在［2,，4—a］上递增,所以/eV—1符合;

③当k>—1时,只需1~7》2+74-a,即V>=2+V3,

所以—1<k46—4V5,从而k46-4V3；

(2)当%£(2+-4—a,4］时,9(%)=(1-左)%+三+7,

①当/c=1时下⑺=£+7在(2+V?=•4］上递减，所以k=1不符合；

②当k>l时，/0)=(1-々)%+?-7在(2+7¥=54］上递减，所以忆>1不符合;

③当kVl时,只需/7~742+V4—a，即=1+V2,

所以，k<2y/2-2

综上可知:/c46—4旧.

28.已知％2=+炉，y2=c2+rf2,且所有字母均为正，求证:％y》ac+bd.

【解】方法—：(分析法)

a,b,c,d,%,y都是正数，

•,•要证%y>ac+bd成立.

只需证(%y)2>(ac4-bd)2成立，

即证(小+b2)(c2+d2)>a2c2+b2d2+2abed成立，

展开，得a2c2+b2d2+a2d24-b2c2>a2c2+b2d2+2abed,

即a2d2+b2c2>2abcd.

由基本不等式可知,此不等式显然成立，

•••xy>ac+bd.

方法二：(综合法)

xy=Va2+b2Vc2+d2

=7dze2+b2c2+a2d2+匕2d2

>Va2c2+2abcd+b2d2

=J(ac+bd)2

=ac+bd.

29.已知a,b,c,d都是正数，求证：(ab+cd)(ac+bd)》4abed.

【解】因为a,b,c,d都是正数,

所以吧户》返［方>0,

(ab+cd)(ac+bd)

所以>abed,

BP(ah+cd)(ac+bd)>4abcd,

当且仅当ab=cd,ac=bd,即。=d,b=c时，等号成立.

(1)若%<y<0,求证(/+y2)(x—y)>(%2—y2)(x+y);

【解】由题意作差可得(/+y2)(x-y)-(%2一y2)(x+y)=(%-y)[(x2+y2)-

(%+y)2]=—2xy(x—y),

因用％<y<0,

所以%y>0,%-y<0,

所以一2%y(%—y)>0,

所以(%2+y2)(x—y)>(%2—y2)(x+y).

(2)已知a<b,x>y/,a、b、%、/y>0,求证：y74-hvJ-n

【解】由题意可知二-

y+b(x+a)(y+b)，

因为aVb,%>y,a、b、x、y>0,

所以b%-ay>0,

31o求证：对任何a>0,b>0,c>0都有—冒>+炉+—炉一加+)―曲+知+小,其

中等号成立的充要条件是%

【解】构造平面图形如图,

A

其中。4=a,OB=b,OC=c^AOB=2LB0C=60°,贝iJzAOC=120°.

由余弦定理得_____________________________

yjd21—ab+b2=J-2+炉_2abeos60°=AB,

因为+所以有

-Ja2—ab-Vb2+-Jb2—bec2>[d2+ac+c2,

其中等号成立的充要条件是48+BC=AC,即4丛C在同一条直线上，此时

SMOC=S—OB+SkBOC>

即

111

-acsinl20°=-absin60°+-Zjcsin60°,

即ac=ab+bc,两边同除以abc,得

111

一=—|—,

bac

所以，原命题成立.

32o已知。>0,b>0,a3+b3=2,证明：

(1)(a+b)(a5+b5)>4;

【答案】略

【解】

(a+b)(a54-b5)=a6+ab5+ba54-b6

=(a34-h3)2—2a3b3++加5

=44-ab(a2—b2)2

》4.

于是有(a+b)(a5+b5)>4.

(2)a+/?<2.

【答案】略

【解】

2=a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2)

=(a+h)[(a+力/—3ab]

[a]a+b\2

》(a+b)(a+b)2—3,

(a+b)3

-4-

(推导中用到：［a］)

所以a+匕42.

33.下面给出的命题是真命题还是假命题？用分析法证明你的结论.

命题：若a>b>c且a+b+c=0,则/一吒<V3.

【解】命题是真命题，证明如下：

因为a>b>c且a+b+c=0,

所以a>0,c<0.

要证纥远<V5a,

即证/—ac<3a2.

因为b=—a—c,

所以只需证(a+c)2—ac<3a2,

即证2a2—ac—c2>0,

即证(2a4-c)(a—c)>0.

因为2a+c>a+b+c=0,a—c>0,

所以(2a4-c)(a-c)>0成立.

所以原命题成立.

课后练习

1o已知函数/(%)=a/+4%—2,若对任意%1，久2ER且％1H不，都有f("；&)<"一)；"第2),

(1)求实数a的取值范围；

(2)对于给定的实数a,有一个最小的负数M(a),使得％W0］时，一4</(%)<4都成

立，则当a为何值时，M(Q)最小，并求出M(a)的最小值.

2.设二次函数f(%)=ax2+bx+c(a>0),方程f(%)一x=。的两个根%「右满足。V/<

孙<5.

(1)当％£(0,%)时,证明％</(%)V%］；

(2)设函数f(%)的图象关于直线％=而对称，证明&<葭.

3o设a、b、cGR,且它们的绝对值都不大于1,求证:ab+be+ca+1》0.

4.设a,办为不相等的正数，71WN+，且71>2,求证：an+bn>an~1b+abn-1.

11

5o设a>0,b>0,且。+8=-+-.求证：

ab

(l)a+b>2;

(2)a2+a<2与庐+bV2不可能同时成立.

-1-1i

6.设阳yER,求证：---1---->----.

>+1+x1+y1+xy

7o设/'(%)=a/+办％+c,当|x|41时，总有|/(%)|41,求证：当|汨42时,|/(x)|<7.

8.已知aGR且a丰1,试比较二一与1+a的大小.

1-a

90已知函数f(%)=ln(%+1)-署,a是常数，且a>l.

(1)讨论/(%)零点的个数；

(2)证明：—<ln(l+-)<—,neN*.

v72n+lknJ3n+l

(1)已知x,yeR,且下列三个不等式成立：

(i)|x2+|y2>Qx+|y);

222

(i)|%+|y>gx+|y);

(iii)-%2+-y2>(-x4--y].

44Z\44Z7

根据上述不等式，请你写出更一般的结论；

(2)证明(1)题所得的一般结论.

llo已知%GR,求证+4|+|x-5|>9.

12.设a,b,cGR,求证:M+b2+c2>2a+b-2.

13o已知a>b>0,用分析法或综合法证明：Va-y/b<Va-b.

14.已知1%—a|<京，0<|y-b|<肃，yG(0,M),求证：\xy-ab\<£.

15oa,凡y均为锐角，且cos2a+cos2s+cos2y=1,求证：tanatan^tany(一

16.设a>b>0,求证：3a3+2b3>3a2b+2ab2.

17o已知a>b>c,试比较a2b+b2c+c2a^ab2+be2+cM的大小.

18.已知函数/(%)=ae~x—%+1,aGR.

(1)当a=1时，求曲线y=f(%)在(0,/(0))处的切线方程；

(2)若对任意％G(O.+oo),/(%)<0恒成立，求a的取值范围；

(3)当xW(0,+8)时，求证：2eT—2<：%2—%.

3322

19.已知a,4cGR+,求证:M+b+c>|(a+川+c)(a+b+c).

20.已知a>0,函数/(x)=/一为％e(0,+8),设无1>0,记曲线y=y(%)在点(X1J(无力)处

的切线为2.

(1)求Z的方程;

(2)设［与x轴交点为(孙0).证明：

111

(i)%2》成；(五)若％1>加，则加<%2V

证明不等式一出门考

姓名成绩

1.证明下列不等式：

(l)a(a—fa)>b(a—Z?).

-1

(2)a—1>1—(aGR+).

(3)》2a-b(bER+).

(4)^=+y[b>bGR+)•

2o用分析法或综合法证明：V3+2V2<2+V7.

3.设/(%)=/+。％+力，求证：