2025年高考数学复习大题题型归纳：第06讲 数列中的恒成立和存在性问题（原卷）

第06讲数列中的恒成立和存在性问题考法呈现考法一：数列中的恒成立问题满分秘籍数列的“存在性和恒成立问题”的本质是不等式的问题，是高考中的热点问题。在出题上，经常巧妙的植入数列的求和中。因此数列的恒成立问题可以采用不等式的方法来求解，比如可以进行“参变分离”后等价转化为函数的最值问题进行求解。例题分析【例1-1】恒成立与分组求和已知数列an的前n项和为Sn，点n,S(1)证明：数列an(2)若bn=−1nan，数列bn的前n项和T【例1-2】恒成立与裂项相消求和已知各项均为正数的数列an满足2Sn=an+1(1)求数列an(2)若对任意n∈N+，且当n≥2时，总有14【例1-3】恒成立与错位相减求和已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，(1)求数列an(2)设bn=Sn3n，bn的前n项和为T【例1-4】恒成立与数列的函数特性在①Sn=2bn−1，②−4bn=bn−1已知数列{an}为等比数列，a1=23，a3=a1a2，数列{bn}的首项b1=1，其前变式训练【变式1-1】在①2Sn=3a设数列an的前n项和为Sn，满足________，(1)求数列an(2)若存在正整数n0，使得bn0≥b【变式1-2】在数列an中，a1=1,(1)证明数列bn(2)设cn=2bn2n+1，数列c(3)对∀n∈N*，使得bn【变式1-3】已知数列an的前n项和为Sn，a1=3，(1)求S2，S3及(2)设bn=an+1an−1an+1−1，数列bn【变式1-4】已知数列an的各项均为正数，其前n项和Sn满足2Sn=(1)求an(2)设数列bn的前n项和为Tn，若5m−24<T【变式1-5】图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数q,aa(1)设bn=a(2)设Sn=a1,1+a2,1考法二：数列中的存在性问题例题分析【例2】已知：正整数列an各项均不相同，n∈N*，数列(1)若T5=3，写出一个满足题意的正整数列(2)若a1=1,a(3)证明若∀k∈N∗，都有ak≤n，是否存在不同的正整数i，j，使得Ti满分秘籍数列的“存在性和恒成立问题”的本质是不等式的问题，是高考中的热点问题。在出题上，经常巧妙的植入数列的求和中。因此数列的恒成立问题可以采用不等式的方法来求解，比如可以进行“参变分离”后等价转化为函数的最值问题进行求解。变式训练【变式2-1】记Sn为正数列an的前n项和，已知(1)求a1(2)求最小的正整数m，使得存在数列an，S【变式2-2】已知数列an满足a1=3(1)设bn=a(2)设数列an的前n项和为Sn，求使得不等式Sn【变式2-3】已知数列{an}是正项等差数列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn+bn＝1．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)如果cn＝anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn＞Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．【变式2-4】已知数列an满足a1=12，2an（1）数列an，b（2）若cn=bn+1−bna真题专练1．在公差不为零的等差数列an中，a1=1，且a1,a3,a(1)求数列an和b(2)设cn=bn−an，数列cn的前n项和2．已知数列an的前n项和为Sn，a1(1)求数列an(2)设数列bn满足4bn+n−5an=0n∈N∗，记b3．已知数列an的前n项和为Sn，当n≥2时，(1)证明：数列1S(2)若a1=12，数列2nSn的前n4．在数列an中，a1=−(1)证明：数列an(2)记数列nan+2n的前n项和为Tn，若关于n的不等式5．已知等比数列an的前n项和为S(1)求数列an(2)在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为Tn，若不等式(−1)nλ<2−(3)记bn=16．已知函数fx=ax+bx+2−2aa>0(1)a,b满足的关系式；(2)若fx≥2lnx在(3)证明：k=12n7．已知数列an中，(1)证明：数列ann是等差数列，并求数列(2)设bn=2n+1anan+1，数列bn的前8．已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)记bn=an+1an−1⋅an+1−1，数列b9．已知数列an是首项a1=14，公比q=14(1)证明：数列bn(2)若cn≤14m10．已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求数列an(2)设数列bn的前n项和为Tn，且2bn=n−2a11．若无穷数列{an}满足如下两个条件，则称{a①an>0（②对任意的正数δ，都存在正整数N，使得n>N，都有an(1)若an=2n+1，bn=2+cos(n)（(2)若an=2n+1，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，都有a1(3)若数列{an}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得a12．已知数列an和bn满足a1=1，（1）求数列an和b（2）设数列anbn的前n项和为Tn，求满足13．已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a（1）求数列an（2）若bn=anlog1214．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，公比为2的等比数列（Ⅰ）求数列{an}（Ⅱ）已知cn=an−12n+1Tn15．已知数列{an}的前n项和为S（1）求数列{a（2）记集合M={n|n(n+1)≥λan，n∈N∗}（3）是否存在等差数列{bn}，使得a1b16．已知等差数列an的首项a1=−1，公差d>1．记an的前(1)若S4−2a(2)若对于每个n∈N∗，存在实数cn，使a17．已知正项数列an的前n项和为Sn，对任意n∈N∗，点(1)求数列an(2)已知数列cn满足cn=1an−1n18．在①a8=9，②S5=20，③a2+a9=13(1)求数列an(2)设bn=1anan+1(3)若存在n∈N∗，使得Tn注：如果选择多组条