2025年高考数学复习大题题型归纳：第01讲 三角恒等变换和解三角形（原卷）

第01讲三角恒等变换和解三角形考法呈现考法一：三角函数和三角恒等变换例题分析【例1】（2023·北京·统考高考真题）设函数f(x)=sin(1)若f(0)=−32，求(2)已知f(x)在区间−π3,2π3上单调递增，f2π3=1，再从条件条件①：fπ条件②：f−条件③：f(x)在区间−π注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．满分秘籍变式训练【变式1-1】（2021·陕西咸阳·校考二模）已知函数f(1)求函数fx(2)当x∈π8,【变式1-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)在区间−π6,π3(1)求y=f(x)的图象的一个对称中心的坐标；(2)若点P−π12,3【变式1-3】（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）a=3sinωx,sin(1)若ω=1，求fπ(2)若函数fx的最小正周期为①求ω的值；②当x∈5π24,5π12【变式1-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知函数fx(1)求f0(2)从①ω1=1,ω2=2；②ω1=1,【变式1-5】（2023·上海松江·校考模拟预测）已知向量m=2sinωx,cos2ωx,(1)求fx(2)在△ABC中，若fB=−2,BC=3考法二：直接用正弦、余弦定理解三角形例题分析【例2】（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）在△ABC中，三边a,b,c所对的角分别为A,B,C，已知a=4，cos(1)若c=23，求sin(2)若AB边上的中线长为372，求AB满分秘籍变式训练【变式2-1】（2023·全国·模拟预测）在三角形△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且sinA=(1)从下列中选择一个证明：①证明：asinA=b(2)求三角形△ABC面积的最小值．【变式2-2】（2022·上海奉贤·统考一模）在△ABC中，A､B､C所对边(1)求A的值；(2)若a=3，cosB=4【变式2-3】（2021·广东佛山·统考二模）在①cos2Aa2−cos2Bb问题：已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c；a=1，C=π3，求【变式2-4】（2023·四川绵阳·四川省绵阳江油中学校考模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，CD=5，(1)若AC=27，求梯形ABCD(2)若AC⊥BD，求tan∠ABD【变式2-5】（2019·河南·校联考二模）在ΔABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sin2（1）求ab（2）若cosC=34【变式2-6】（2023·广东东莞·校考三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin(1)求角B的大小；(2)设a=2，c=3，求sin2A−B考法三：利用正弦定理求外接圆半径例题分析【例3】（2023·山东烟台·统考二模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcos(1)求角B的大小；(2)若△ABC为钝角三角形，且a−c=2，求△ABC外接圆半径的取值范围．满分秘籍变式训练【变式3-2】（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，且sinA+(1)求△ABC的外接圆半径R；(2)求△ABC内切圆半径r的取值范围．【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，满足b+ca=b−ab−c(1)求C；(2)求△ABC外接圆的半径R.【变式3-4】（2023·山东聊城·统考一模）在四边形ABCD中，AB//(1)证明：AD⋅sin(2)若AD=1，AB=3，BC=3，∠BAD=2∠BCD，求△BCD【变式3-5】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．从①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答．①cosA=−1725；②△ABC的面积是621问题：已知角A为钝角，b=5，______．(1)求△ABC外接圆的面积；(2)AD为角A的平分线，D在BC上，求AD的长．考法四：正弦和余弦定理边角互化的应用例题分析【例4】（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图，平面四边形OACB中，△ABC的三内角A,B,C对应的三边为a,b,c．给出以下三个条件：①cos②a③△ABC的面积为3(1)从以上三个条件中任选一个，求角C；(2)设OA=OB=2,AB=AC，在（1）的条件下，求四边形OACB的面积的最大值．满分秘籍变式训练【变式4-1】（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c(1)求角A的大小；(2)若b=1，sinB=217，求边c【变式4-2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(2A+B)=2(1)证明：b=2a；(2)点D是线段AB上靠近点B的三等分点，且CD=AD=1，求△ABC的周长.【变式4-3】（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知a,b,c分别为锐角△ABC内角A,B,C的对边，b−2acos(1)证明：C=2A；(2)求sinA【变式4-4】（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos(1)求A的大小；(2)若b=3，c=3，求BC【变式4-5】（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=2b,1，n=(1)求角B的大小；(2)若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC【变式4-6】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足b=3(1)求角B；(2)若acosC−ccos【变式4-7】（2023·广东深圳·校考二模）记△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知sinB(1)证明：b+c=3a；(2)若角B的平分线交AC于点D，且BD=465，AD【变式4-8】（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且2bcos(1)求角B的大小；(2)若23sinA考法五：求三角形面积及面积最值或范围例题分析【例5】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinAa=(1)求B；(2)D为AC的中点，BD2=满分秘籍变式训练【变式5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且ccos(1)求角C；(2)若△ABC的中线CD长为23，求△ABC【变式5-2】（2023·福建漳州·统考模拟预测）在平面四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠C=135°，BD=5，CD=(1)求cos∠CBD(2)若△ABD为锐角三角形，求△ABD的面积的取值范围.【变式5-3】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，为测量某雕像AB的高度（B，C，D，F在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点B，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为60°，30°，45°，CD=20米．

(1)求雕像AB的高度；(2)当观景点C与F之间的距离为多少米时，△CDF的面积最大？并求出最大面积．【变式5-4】（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）已知向量a=（sinx，1+cos2x），b=（cos(1)求函数y=fx的最大值及相应x(2)在△ABC中，角A为锐角且A+B=7π12，fA=【变式5-5】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2=bcos(1)求证：A≤π(2)求△ABC面积的最大值．【变式5-6】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b−b2+(1)求角B的大小；(2)若b2+3c2考法六：求三角形边长（比）或周长范围例题分析【例6】在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，33(1)若a=2,b=1，求△ABC的面积；(2)若c=2，求△ABC周长的取值范围.满分秘籍变式训练【变式训练6-1】（四川省巴中市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2−(1)求角A的大小；(2)若a=23，求△ABC【变式训练6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c(1)求角B的大小；(2)求ac【变式训练6-3】（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsin(1)若tanB+tanC=(2)若△ABC为锐角三角形，c=2，求边长b的取值范围．【变式训练6-4】（2023·山东·山东省实验中学校考二模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知bsin(1)求角A；(2)若D为边BC上一点（不包含端点），且满足∠ADB=2∠ACB，求BDCD【变式训练6-5】（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在凸四边形ABCD中，AB=BC=7(1)若BD=27,cos(2)若四边形ABCD有外接圆，求AD+CD的最大值.真题专练1．（2023·全国·统考高考真题）在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1.(1)求sin∠ABC(2)若D为BC上一点，且∠BAD=90°，求△ADC的面积.2．（2023·全国·统考高考真题）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin(1)求sinA(2)设AB=5，求AB边上的高．3．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b2(1)求bc；(2)若acosB−bcos4．（2023·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为3，D为BC中点，且AD=1．(1)若∠ADC=π3，求(2)若b2+c5．（2023·天津·统考高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分別是a,b,c．已知a=39(1)求sinB(2)求c的值；(3)求sinB−C6．（2023·全国·统考高考真题）设a>0，函数f(x)=2x−a(1)求不等式fx(2)若曲线y=fx与x轴所围成的图形的面积为2，求a7．（2022·天津·统考高考真题）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知a=6(1)求c的值；(2)求sinB(3)求sin(2A−B)8．（2022·浙江·统考高考真题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a=5(1)求sinA(2)若b=11，求△ABC的面积．9．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S(1)求△ABC的面积；(2)若sinAsinC=10．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinC(1)若A=2B，求C；(2)证明：211．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinC(1)证明：2a(2)若a=5,cosA=2512．（2022·北京·统考高考真题）在△ABC中，sin2C=(1)求∠C；(2)若b=6，且△ABC的面积为63，求△ABC13．（2022·全国·统考高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA(1)若C=2π3，求(2)求a214．（2021·天津·统考高考真题）在△ABC，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知sinA:sinB:（I）求a的值；（II）求cosC（III）求sin2C−15．（2021·全国·统考高考真题）在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b=a+1，c=a+2.．（1）若2sinC=3sin（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．16．（2021·北京·统考高考真题）在△ABC中，c=2bcosB，（1）求∠B；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．条件①：c=2条件②：△ABC的周长为4+23条件③：△ABC的面积为3317．（2021·浙江·统考高考真题）设函数fx（1）求函数y=f（2）求函数y=f(x)fx−π418．（2021·全国·统考高考真题）记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，（1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC19．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB⋅AC(1)若a=22，求△ABC(2)设D为AC中点，求A到BD距离的最大值.120．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=6，bsin(1)若b=1，证明：C=A+π(2)若BC边上的高为853，求21．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinA=(1)求角C的大小；(2)若C的角平分线交AB于点D，且CD=2，求a+2b的最小值，22．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c，acos(1)求A；(2)若a=13，且△ABC的面积为33，求23．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB=(1)求cos2(2)若b=4，S△ABC=2224．（2023·河北沧州·校考模拟预