8.6空间直线平面的垂直10题型分类（原卷版）

8.6空间直线、平面的垂直10题型分类一、回顾两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)画法：2.两条直线的位置关系3.两个定理(1)平行线的传递性①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c.③作用：证明空间两条直线平行.(2)等角定理①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.②作用：证明两个角相等或互补.4.平面内两直线的夹角(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.二、异面直线所成的角1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.三、直线与平面垂直的定义定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直图示四、直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α图形语言五、直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°六、直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b图形语言七、二面角的概念1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面.3.画法：4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.八、平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：(3)记作：α⊥β.2.平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β图形语言九、平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言（一）两直线的位置关系熟记两直线的位置关系：相交、平行、异面.题型1：两直线的位置关系11．（2024高二上·上海长宁·期末）在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是．12．（2024高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（

）A． B． C． D．13．（2024高二上·重庆铜梁·阶段练习）如图，在正方体中，M、N分别为棱、的中点，有以下四个结论：①直线AM与是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的结论为（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④（二）异面直线所成的角求两异面直线所成角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.(2)证：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.题型2：异面直线所成的角21．（2024·上海青浦·一模）已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．(1)求证：平面；(2)若直线与所成的角大小为，求的长．22．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知长方体的底面是边长为2的正方形，为其上底面的中心，在此长方体内挖去四棱锥后所得的几何体的体积为.(1)求线段的长；(2)求异面直线与所成的角.（三）直线与直线垂直要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直．题型3：直线与直线垂直31．（2024高一·全国·课前预习）空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.求证：AC⊥BD.32．（2024高一下·全国·专题练习）空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：.33．（2024高一·全国·课后作业）如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC．34．（2024高三·全国·专题练习）四面体ABCD中，对棱，E，F，G，H是它们所在棱的中点，求证：四边形EFGH是矩形．（四）直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解1.直线与平面垂直的定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.注：对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.题型4：直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解41．（2024高二上·上海徐汇·期末）已知直线和平面，若，则“”是“”的（

）条件.A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要42．（2024高二下·北京·学业考试）已知直线，和平面，满足，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．是平面的斜线43．（2024高一下·贵州遵义·阶段练习）已知平面α和α外的一条直线l，下列说法不正确的是（）A．若l垂直于α内的两条平行线，则l⊥αB．若l平行于α内的一条直线，则l∥αC．若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥αD．若l平行于α内的无数条直线，则l∥α（五）直线与平面垂直的判定利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直.(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线.(3)根据判定定理得出结论.题型5：直线与平面垂直的判定51．（2024高二上·北京·学业考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面.52．（2024高三上·上海闵行·期中）正四棱锥中，，，其中为底面中心，为上靠近的三等分点．(1)求证：平面；(2)求四面体的体积．53．（2024高二上·上海·专题练习）如图，在三棱锥中，，是的中点，且.

(1)求证：平面；(2)若，求证：平面.54．（2024高二上·上海·专题练习）如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，⊥，N为垂足.求证：⊥平面；55．（2024高一下·广西南宁·期末）如图1，在矩形ABCD中，，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥.

(1)证明：平面；(2)当平面平面时，若，求三棱锥的体积.（六）直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线平行.题型6：直线与平面垂直的性质61．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.62．（2024高三·全国·专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：63．（2024高一·全国·课后作业）如图，正方体中，与异面直线、都垂直相交．

求证：.64．（2024高一下·山东威海·期末）如图，四棱锥的底面为正方形，为的中点.

(1)证明：平面；(2)若平面，证明：.（七）求直线与平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.题型7：直线与平面所成的角71．（2024高一下·广西·期末）如图，已知正方体中，分别是和的中点．

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．72．（2024高一下·天津和平·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.(1)证明：平面；(2)证明：平面；(3)求直线与平面所成角的余弦值.73．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，，．

(1)求证：平面平面；(2)若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．74．（2024高三下·山东菏泽·开学考试）如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.(1)求三棱锥的体积；(2)求MC与平面所成角的正弦值.（八）二面角的求法在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角.题型8：二面角求解81．（2024高一·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，E为的中点，把和分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．(1)求证：平面⊥平面；(2)求二面角的大小．82．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知平面与底面所成角为，且．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．83．（2024高二上·上海普陀·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，E、F分别为棱、的中点．(1)求证：直线平面；(2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小．84．（2024高二上·浙江金华·期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．

(1)求证：；(2)若平面交于点，求的值；(3)若二面角的大小为，求的长．（九）平面与平面垂直的判定证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.题型9：平面与平面垂直的判定91．（2024高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，平面为棱的中点，连接.求证：(1)平面；(2)平面平面.92．（2024高一·全国·课后作业）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．（1）求证：直线AE⊥直线A1D;（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．93．（2024高一下·河南南阳·期末）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．94．（2024高二上·江苏南京·期末）正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点．(1)求三棱柱的全面积；(2)求证：∥平面；(3)求证：平面⊥平面．（十）平面与平面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.题型10：平面与平面垂直的性质定理101．（2024高三上·江西·期中）如图1，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图2所示的几何体.已知，,点在线段上，且在几何体中，解决下面问题.(1)证明：平面；(2)若平面平面，证明：.102．（2024高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，和都垂直于平面，且，是的中点

(1)证明：直线//平面；(2)若平面平面，证明：直线平面.103．（2024高一下·安徽六安·期末）在三棱锥中，分别为的中点，且.(1)证明：平面；(2)若平面平面，证明：.一、单选题1．（2024高三上·江西·期末）如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线AB与CD所成角的大小为（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·北京昌平·期末）如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为（

）A． B． C． D．3．（2024高二上·上海·期末）下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（

）.A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直4．（2024高一下·云南昆明·期中）已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（

）A．如果，，，那么B．如果，，，那么C．如果，，.那么D．如果，，，，那么5．（2024高二·广东·学业考试）设，是两个平面，、是两条直线，下列命题中，可以判断的是（

）A．，，且， B．，，且C．，且 D．，，且6．（2024高二下·河南信阳·阶段练习）设两条直线，，两个平面，，则下列条件能推出的是（

）A．，，且 B．，，且C．，，且 D．，，且，7．（2024高二上·上海宝山·阶段练习）在三棱锥中，若顶点到底面三边距离相等，则顶点在平面上的射影为的（

）A．外心 B．内心或旁心 C．垂心 D．重心8．（2024高三下·广东·阶段练习）在各棱长都为2的正四棱锥中，侧棱在平面上的射影长度为（

）A． B． C． D．29．（2024高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（

）

A． B． C． D．10．（2024高三上·河北沧州·期末）将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（

）A． B． C． D．11．（2024高三·湖北荆门·期末）已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为,则两点之间的距离为（

）A． B． C． D．12．（2024·广东梅州·模拟预测）已知二面角为60°，点，，C为垂足，点，，D为垂足，且，，则线段的长度为（

）A． B． C． D．13．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（

）A．1 B． C．1或2 D．2或14．（2024高二上·重庆·期末）在长方体中，，则异面直线的夹角余弦值为（

）A． B． C． D．15．（2024高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．16．（2024高一·全国·课后作业）如图，空间四边形的对角线，，，分别为，的中点，并且异面直线与所成的角为，则（

）A．3 B．4 C．5 D．617．（2024·陕西渭南·一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．18．（2024高二上·北京·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，则与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．19．（2024高三上·山西运城·阶段练习）如图，垂直于正方形所在平面，则以下关系错误的是（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面二、多选题20．（2024高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，垂直于以为直径的圆所在的平面，点是圆周上异于、的任一点，则下列结论中正确的是（

）

A． B．C．平面 D．平面平面21．（2024高三上·江苏淮安·期中）在正方体中，分别为的中点，则（

）A． B． C．平面 D．平面22．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列说法中错误的是（

）．A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面23．（2024高一下·安徽滁州·阶段练习）如图，在直棱柱中，平面平面，且四边形与四边形都是边长为1的正方形，连接，则下列说法正确的是（

）

A．异面直线与的夹角为B．二面角的平面角为C．与平面所成的角为D．点到平面的距离与点到平面的距离之比为24．（2024高一下·宁夏吴忠·期末）直三棱柱顶点都在球的表面上，，侧面侧面，则（

）A．四棱锥的体积为B．三棱锥的体积为C．球的表面积为D．平面截该三棱柱所得截面的面积为25．（2024高一下·黑龙江哈尔滨·期末）对于两个平面，和两条直线，，下列命题中假命题是（

）A．若，，则B．若，，则C．若，，，则D．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则三、填空题26．（2024高二上·北京东城·期末）如图，已知M是正方体的棱的中点，则直线与所成角的余弦值为.27．（2024高二上·重庆沙坪坝·期中）贵州榕江“村超”火爆全网，引起旅游爱好者、社会名流等的广泛关注．足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥ABCD如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为2的正三角形，则该“鞠”的表面积为．

28．（2024高二上·上海浦东新·阶段练习）如图，在平面内，，PO是平面的斜线，，点Q是PO上一点，且，则线段PQ在平面上的射影长为.

29．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，平面，底面是边长为的正三角形，二面角的大小为，则该三棱锥的外接球的体积为.30．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为．

31．（2024高二上·北京海淀·期末）如图，已知E，F分别为三棱锥的棱的中点，则直线与的位置关系是（填“平行”，“异面”，“相交”）．32．（2024高二上·北京海淀·阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是.①②③④33．（2024·广西·模拟预测）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为．34．（2024高二上·上海徐汇·期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为.35．（2024高二·全国·课后作业）（1）已知正方体的棱长为a，则异面直线与AD公垂线是．（2）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是．（3）已知正方体的棱长为a，则异面直线与公垂线是．（4）已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是．36．（2024高二下·安徽合肥·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=时，CF⊥平面.37．（2024高三·全国·专题练习）如下图所示，矩形中，，，沿将折起，使得点C在平面上的射影落在上，则直线与平面所成的角为．

38．（2024高三·全国·课后作业）如图，已知矩形ABCD所在的平面，则下列说法中正确的是．（写出所有满足要求的说法序号）①平面PAD⊥平面PAB；

②平面PAD⊥平面PCD；③平面PBC⊥平面PAB；

④平面PBC⊥平面PCD．四、解答题39．（2024高三·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，E为棱AC的中点，.求证：.40．（2024高三·全国·专题练习）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：.41．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体的棱长为2．，分别为与上的点，且，．求证：；42．（2024高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）如图，已