线代课后习题答案

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)一;

1011

-21843

解

-1218。卜131

=2x(—4)x3+0x(—1)x(—1)+1x1x8

-0xlx3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)

=-24+8+16-4=-4.

abc

；

abc

解c

\bcaai,

=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc

=3abc—a'—bH

111

⑶abc;

ac

2h22

111

解,

ahbcc

“222

-bc1+ca：+ab2—ac1—bcr—cb~

=(a-b)(b-c)(c-a).

%yx+y

(4)yx+yx.

x+yxy

xyx+y

+

解y%y%

x+yxy

=%(%+y)y+yx(x+y)+(x+y)y%_y3_(x+y)T

=3x^(x+y)-^,-3ry-x-^-x3

=-2(%+力.

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序

数：

(1)1234;

解逆序数为0

(2)4132;

解逆序数为4:41,43,42,32.

(3)3421;

解逆序数为5:32,31,42,41,21.

(4)2413;

解逆序数为3:21,41,43.

(5)13•••(2/1-1)24■••(2八)；

n

解逆序数为2-D：

32(1个)

52,54(2个)

72,74,76(3个)

(2n-l)2,(2n-l)4,(2n-l)6,•­­,(2n-l)(2n-2)(H-1个)

(6)13•一(2n-l)(2n)(2n-2)•••2.

解逆序数为n(n-l):

32(1个)

52,54(2个)

(2〃—1)2,(2〃—1)4,(2刀-1)6,…,(2〃—1)(2〃—2)(n-1个)

42(1个)

62,64(2个)

(2/1)2,(2/1)4,(2〃)6,•♦(2〃)(2"—2)(〃—1个)

3.写出四阶行列式中含有因子斯心的项.

解含因子aI1Q23的项的一般形式为

(1)6Z[

其中rs是2和4构成的排列，这种排列共有两个,

即24和42.

所以含因子即诙的项分别是

(—1)'。\\a23a32444=(-1)bl1〃23。32。44=一1423。32。44,

(1)。34a42(1)4a426Z123a34。42・

4.计算下列各行列式：

412

⑴12042；

52

100l107

412

12042

__X(—1)43

解c一c41210

1202

234110

+

52oc122

103-14

100l174

-73100

3214

010

C910

c2+39

4110======

G+'C=0

12223002

10314171714

4

(2)23112li；

i

5-o26322

1422

解23-12li=2-211304=====—2113042

24~C4rr

I23

50622123

506022-I243OO

2

=====2-21130414=-

r.O

23—abacae

loO0Oo

ae

(3)ab..

vyaccdde,

-hdbf-cf-ef

解一=adf

cddeb

bdhjcf-1-hbccc

ef

=adfbce一=4abedef.

1

"100

b

(4)「10

011

00-1+2°1+aba°

al/,00

解-110r.ar一1"10

Cd

01

00-1cL

ab00—1

1H―a0+

3

dc2abaadcd

li

=(-l)(-l)2+l11=====-1+

0o-C1o

Cd

ad

~ab1++

5.证明：i)(i)21i=abcd+ah+cd+ad+1.

22

⑴+b=(a-by；

aaabb

21a12i

证明aiabbi

222

C~c}2

+aaba

2CaabL2ObL====2ab——血2bb-2a

111-c100

_aba

=(-1)ab-aiba=(b-a)(b+=(a-b)\

22

+3.--2■”)12

ba2ba

+

ax+byay+bzazbx(ab)xyz',

+++yzx

(2)aybzazbxaxby

az+bxax+byay+=3+3z%y

bz

证明

++

axbyay+bzazbx

++

ay+bzazbxaxby

+

az+bxax+byaybz

xay+bzaz+yaybzaz+bx

=a,+++

bx

++bzazbxaxbJy

+

yazbxaxby

+xax+byaybz

+

zax+byaybz

xay+bzz

=++yzazbx

a2yazbxx+

Zax+byy岳z%axby

xyay+bz

xyzyzx

=ayyzx+Z?3Zxy

zxyxyz

xyzxyz

=43yz%+加yzx

Zxyzxy

xyz

=(43+加)yzx.

zxy

。2Q+++

(3)(1)2(。2)2(a3)2=o；

b2bb

(+1)2(+2)2(〃+

3)2

C2+C+

(C1)2(C+2)2(3)2

d2(d+l)2(d+2)2(d+3)

2

证明

aia++a

(1)2(〃2)2(+3)(C4—C3,C3—C2,C2—Cl得)

2

bih+h

(1)2(+2)2S+3)

2

C2+C+

(C1)2(C+2)2(3)

2

d2(d+l)2(d+2)2(d+3)

2

2++

232a5

2l22/,a+32b++5

b2b+

C+

=C+(C-C3,C3F2得)

2

2c1232c

di2d+l2d+32d++55

“2。+

2122

2+0

22bli22

c+=

h2.,

c2d+l22

d2

1111

abed

(4)abcd

2222

ad

404c44

=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);

证明

1111

abed

abed

2222

ad

4。4c44|1

11

八ob-ac-ad-a

=0

b(bac(cad(da

)

bibi-ac-add—a)

0(2)C2(22)(

222

=-111

(Z?-a)(c—a)(dabcd+

)b(b+cc+

1a)2(dda1

1a)2()

=S—a)(c—”)(d_ac-bd-h+

++

)oO(

cc—b)(cbdd-b)(d+ha

)()()()()

a)()

11

-b—ac-ad-ac-hd-bc(chdd+b+a

++a)()

=(。一。)(。一c)(a-J)(b—c)(。-i/)(c-d)(a+0+c+J).

%一/000

0—100

⑸.。.一■=X"+QIX"T+•一+an-ix+an.

aj00■-x—1

n-\aaix+a

n-2i

证明用数学归纳法证明.

当〃=2时，=T,命题成立.

X=2

ax+ax+ax+a

112

D22

假设对于5-1）阶行列式命题成立，即

Dn-l=X'-\+aix"-2+•一+an-2X+an-\,

则Q”按第一列展开，有

0-00

o

D=xD+〃-1--0

"(—l)n+l,--,,•-,

11%-

=xDn-1+a"=%"+a*'-l+•一+dn-\A+an.

因此，对于n阶行列式命题成立.

6.设屋介行列式D=det(劭)，把。上下翻转、或逆时针旋转

90。、或依副对角线翻转，依次得

a,^a„„a„„•axn

D]=••■••••-,D;=..........,D,=•

Qu，Cl\tiQu。，。dn1dn1•d]।

证明A'DLD^D.

DD2

>=2=(-l)

证明因为。=detQ),所以

6Zn1

a,,\*a

D、=〃〃=(—1)〃a

n\

・•・d\n

-a

nn

6I21,•1d

2n

d]ll

=

n—2Cln1'•'Cl

1)H-1(—nn

1)

〃3],•・63〃

nn

n-fn2

=(-1)1+2+-••+(0=(-1)D.

同理可证-1)

nna-a(-i)(-i)

D(1)(T)11"i=(一1)"D=D.

2=_2.2T2

(1)0”・•.a„n(1)

ni-(])nn~

nn-

(1)(1)2(-1)2(1)=

D=—D=—£)=—(i)£>D

7.计算下列各行列式(以•为那介行列式)：

a1

(1)£>=•,其中对角线上元素都是a,未写出的元素

1a

都是0;

解

。00•01

0^0-00

D=00a.00(按第〃行展开)

000•a0

100-04;

00001

,,•…CL

0000

&0.°o

=(-1),1+10

+(-1)2〃..Cln-\y(n~\)

•••••'•.....,-1)x(〃-1).(

•()••・。0,。0

a

nnnn21、

+an=a-a-2=a-i(a-1).

(1)+i,(—1)a2)(2)

(nn

xa•a

⑵D„—axa；

。qCltX

解将第一行乘(-1)分别加到其余各行，得

xaa-a

a—xx-a0・•

D=axxa

0。

o

-ooo-

axxaa

再将各列都加到第一列上，得

x+(n-1)aaa•••

00

%-

D,=00=[x+(〃-1

0000x-a

aa—\

•••(a_n

n(T)〃

a)"

n~\3T)an

\n-\■•(-)"T

⑶D,+：1

aa-a-n

111

解根据第题结果，有

111

(+1)aa-1

nnan

D„r(-i)♦•

+2,■,,(1)

Cln-\(a1)

nn-

aann-\

(aT)

(Qnn

此行列式为范德蒙德行列式.

D(吟j1)]

"十】=-2ij-Z+l)-(6t-+

〃11

n(+l)n+>>>

J_D2HL(1)]

n11

(])B1)〃+—Pln(D

(1)2

ij

=n(，-j).11

/2+>>>

iJ

11

«+>>>

a„b„

(4)D=ab

InI1

cd

ii

cn一.“dn

解

a.h,.

D='y…(按第i行展开)

2n

•cd•..

c„11d„

n-1°

0od„

0Cln—\bn-\

ab

+ii

(—\)2n+\bd,­•

Cn-\ciid„-\

n

Cn0

再按最后一行展开得递推公式

D2〃=a“d”D2〃一2—bnc

于是d=C

-)D2.

2n八n,(

i=2adA

h

而£),=a/=c，

、

da.d-bi

Gi

所以n一c).

-n(ad"

/=1

⑸Z)=det(劭)，其中劭=|L/'|；

解a[=\i-j\,

0123n

1012—1

-2

D=a2101

n

det。)3210n

-3

—4

n

—

n~\.n—In—3H4•,0

-1111•■1

r—r—1—111

11lil

===_]_]_]_]・..]

-r

八3.....

〃一1〃一2〃一3〃一4・0

-1000•0

00•0

-20-0

-2-2-0

c+c

3

,1.....

nnn

—12n—32n~•••—1

-425

1+011

,其中

(6)D,=11+a21a/…a,^0.

111+a

解

1+<2,1--1

1a1

D=1+1

n2

111

,­­+a„

4oo-o01

c—c~aa0,001

22

120-aa-001

cc

106-=

32

33

000•—aa1

000-0—a„\+a„

100-00d~\

-110-001

a-\

2

a-a0—11-00u

412n

53

-i

3

•（）•♦-oO•Cl-\

-11n-\

000-0—1l+6z„-i

00-00QT

010-001

Cl~\

001-00“2

=aa-a

[240

-1

3

n.

000•01Cl-\

n-{

000-001+Ze

i=l

n

a

"0(1+Zl).

12a

z=li

8.用克莱姆法则解下列方程组:

x%%5

(1)i+x2+3+4=2；

x}+2X2-用+4x

4

2x-3xx5x2

1__4__

23

3xXXX

++2,+l14=0

12

解因为

1111

D=------1—=—142,

145111

132I232115

152111

1

D=-2D=———=-284,

——=T42,

21

一（）2-I23-21H4532-o2-21H45

11521111,-52

£）3=———=—4269D=———=142,

i4i

32I23-O2H45322一21O2

D

X

所以==,==,=4=一1

c1X=&=nQ

DIDA3

222

XyD

4D

=1

5%+6X2

=0

x+5x+6x

123

即=0.

⑵x2+5x}+6

xy+5X4+6X5=0

XX

4+55=1

解因为

56000

1560n

0=01560=665,

0015

000165

51000

16000

1060（）

056003=00560=-1145,

D,=01560=1507,

0015

005

010165

101O165

56010

56100

15600

15000D=01500=—395,

D,=01060=7034

0010

005

000165

0Ool165

56001

1560ft

D5=01560=212

所以0015

000101

15071145703212

%=—395

x,=665沏=-665电=6654665乂=665

x0

।

+汨+1

9.问X,|A取何值时，齐次线性方程组x+iixX0有非

+=0

123

x+2|LUx

一十=

零解？,23

解系数行列式为

Z)=11N“\u955X♦

121

令D=0,得

产0或X=l.

于是，当n=0或VI时该齐次线性方程组有非零

解.

2x+*=0

入％

(1-)

10.问X取何值时，齐次线性方程组I入2

2x

1(3)+=。

+---3463

3入2

8

6

x

x(1)x0

有非零解？“及+-3=

解系数行列式为

1—X,-241X4

3AA,

D=23-入1=--+1

21-

111—入101-Z

=（1—九）+（九-3）—4（1—入）一2（1—九）（一3一九）

—（1—Z）3+2（1—X）2+Z—3.

令。=0,得

X=0,入=2或入=3.

于是，当X=0,入=2或卜=3时，该齐次线性方程组有非零解.

第二章矩阵及其运算

1.已知线性变换:

%=2y+2y+y

i123

%y5y,

3

3y

23y^,+2+3

x,=3

+2y

+

2

求从变量为,沏,汨到变量y,%乃的线性变换.

解由已知：

221y

苞

315y,

%2

2

323%

见

yt%749y

i22__i

1

637y,

故=315x2

2

323—4%

必3M2

y7x4x9%

2+3

y6x3%一71.

2=i+23

3x2x-4x

23

y=,+

3

2.已知两个线性变换

x=2+yy3zz

i肉

1-+

12

%2y3y+2y,y2Z

2=+

=1+

223

yy

Xz3z

3=4++53

，2

求从Zl,Z2,Z3到"X2,%3的线性变换.

解由已知

%20201-3104

1M

i

%v

223232

2

2

414150-13

5

-613Zi

12-49

z

-10-1162

「—6zi+?+

XZZZ•

所以有=12,-42+93

2

x,=-10z16z

z

-+3

「123

11

1

,求3AB-2ARAT

3.设4=11-1,5=124B.

1-11051

11123

解3ABA

1

111

2311-11242111

0511-11

1-11

05811-21322

1

=30-56211-i21720

291429-2

0T1

111058

123

Ar124056.

5=11

1-

1-11

4.计算下列乘积：o51

43

17

(1)1-232；

171

574]

0143x7+3x2+x

3

5

=6

1-232=1x7+(-2)x2+3x1

解570150149

x7+7x2+x

3

⑵(123)2

213

3

解=(lx3+2x2+3xl)=(10).

(123)2

2

⑶(；

1-12)

3

22x(-l)2x-24

12

解-1”(—1)”2°

=-112

2)=

3(1)3x-36

2

3x-

131

21400-12

(4)1134131；

40-2

131

21400126—78

解1-1341-3120-5-6

402

ax

1〃12131

⑸X

XClCla5

(%工3)2

122223

a

解413a2333

ax

1

xa]]a]2\3

aaaX

1222232

(X)X23

a为

Q13〃2333

=(。|/]+02尤2+为犹3

a}2x}+a22x2+a2yx3

x

2

优2+。3优3)

为

x2+x+2x+2x.

x2+aXi2+2

13i4Z]3%|26Z|>X|3〃2>^3

〃222

5.设A=B=0，问:

与，

1312

(1)AB=BA吗？

解AB^BA._

DA=1所以AB^BA.

因为AB

=34,

4638

(2)(A+By=A+2AB+夕吗？

解(A+B)2^A2+2AB+B2.

因为A+B=2,

22=814

5

22

(+)=

rQ"2521429,

1n0=1016

5

3868

4++&=

2AB11++

5

827

12

所以(A+B)M+2AB+比

(3)(A+8)(A—0=4—发吗？

解(A+B)(A—B并A*.

因为A+B=2A-B=02,

2,

2501

-B)=206

2

02

(A+8)(A=,

209

5

01

-Bi=3ii828

-I

而人2=

4

3417

6.举反列说明下列命题是错误的:

⑴若A=0,则4=0;

解取A=01,则4

=0,但AM.

00

(2)若A=4,则A=0或4=民

解取A=11,则4

=A,但AW0且A，E

00

⑶若AX=AY,^4加,则X=Y.

解取

A=x1y=11

'o,

贝ljAX=AY,^A#0,但Xry.

7.设=10，求A；A；…,A.

A1

X

解从=1010

0

Z1X1

21

Ai=A2=110

10

X

...........,21131

Ak=10.

X

i

k10

入

8.设0入1,求A*.

A=

解首先观察

X

00

入10入10入21

2人

入］=0入22九，

1

0

0

九

00X0000入2

入X

33

N2

AA0Z3X

3=Ai-=32

00入3

储4入6九

32

AA0入48

43

4=Ai-=，V

00

534

入

入

5103

入54

AAXX

5=A4-=0'54

0

XXkk~

(1)入

k1k-l0k-2

oM

kk

00h-

k

用数学归纳法证明：

当k=2时，显然成立.

假设k时成立，则k+1时,k

（T）入

k—1

21210

X

AA°入入0入1

k

&+i=Ak-=kk-\00入

00k

(kV)k

(k+1)X+入