2024-2025学年高中数学第3章概率章末测评含解析新人教A版必修3

PAGE章末综合测评(三)概率(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事务中，随机事务的个数为()①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④在标准大气压下，水在4℃A．1 B．2C．3 D．4C[①在明年运动会上，可能获冠军，也可能不获冠军．②李凯不确定被抽到．③任取一张不确定为1号签．④在标准大气压下水在4℃时不行能结冰，故①②③是随机事务，④2．若干个人站成一排，其中为互斥事务的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”A[由互斥事务的定义知，“甲站在排头”与“乙站在排头”不能同时发生，是互斥事务．]3．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的依次是随意的，则第一个打电话给甲的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)B[给三人打电话的不同依次有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]4．在两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,5)B[所求事务构成的区域长度为2m，试验的全部结果所构成的区域长度为6m，故灯与两端距离都大于2m的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]5．掷一枚匀称的硬币两次，事务M：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事务N：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是()A．P(M)＝eq\f(1,3)，P(N)＝eq\f(1,2) B．P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,2)C．P(M)＝eq\f(1,3)，P(N)＝eq\f(3,4) D．P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(3,4)D[掷一枚硬币两次，全部基本领件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种状况，事务M包含2种状况，事务N包含3种状况，故P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(3,4).]6．某人从甲地去乙地共走了500m，途中要过一条宽为xm的河流，他不当心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概率为eq\f(4,5)，则河宽为()A．100m B．80mC．50m D．40mA[设河宽为xm，则1－eq\f(x,500)＝eq\f(4,5)，∴x＝100.]7．考察下列命题：(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”3种等可能的结果；(2)某袋中装有大小匀称的三个红球、二个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；(3)从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；(4)分别从3个男同学、4个女同学中各选一个作代表，那么每个同学当选的可能性相同；(5)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性确定不同．其中正确的命题有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个A[(1)中，出现“两个正面”“两个反面”的概率都是eq\f(1,4)，出现“一正一反”的概率是eq\f(1,2)，因此不是等可能的；(2)中，每种颜色的球的个数不同，因此被摸到的可能性不同；(3)中，小于0的数有4个，不小于0的数有3个，明显取到的数小于0的可能性更大；(4)中，每个男同学当选为代表的机会是eq\f(1,3)，每个女同学当选为代表的机会是eq\f(1,4)，明显可能性不同；(5)中，抽签无论先抽还是后抽，中奖的机会相等．综上，选A.]8．在区间[－1,4]内取一个数x，则2x－x2≥eq\f(1,4)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(3,5)D[不等式2x－x2≥eq\f(1,4)，可化为x2－x－2≤0，则－1≤x≤2，故所求概率为eq\f(2－－1,4－－1)＝eq\f(3,5).]9．定义：abcde＝10000a＋1000b＋100c＋10d＋e，当五位数abcde满意a<b<c，且c>d>e时，称这个五位数为“凸数”．由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中随意抽取一个，则其恰好为“凸数A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,20)D[由题意，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543,13542,14532,23541,24531,34521，共6个基本领件，所以恰好为“凸数”的概率为P＝eq\f(6,120)＝eq\f(1,20).故选D.]10．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为()A.eq\f(7,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(3,5) D.eq\f(2,5)A[建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满意m>n的点应在梯形ABCD内，所以所求事务的概率为P＝eq\f(S梯形ABCD,S矩形ABCE)＝eq\f(7,10).]11．在一次随机试验中，彼此互斥的事务A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事务，也是对立事务B．B＋C与D是互斥事务，也是对立事务C．A＋C与B＋D是互斥事务，但不是对立事务D．A与B＋C＋D是互斥事务，也是对立事务D[由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必定事务，故各事务的关系可由图表示．由图可知，任何一个事务与其余3个事务的和事务必定是对立事务，任何两个事务的和事务与其余两个事务的和事务也是对立事务．]12．阅读图所示的程序框图，假如函数的定义域为(－3,4)，则输出函数的值在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))内的概率为()A.eq\f(1,7) B.eq\f(3,7)C.eq\f(2,7) D.eq\f(4,7)A[由程序框图得，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，－1≤x≤1，,2－x＋1，x<－1或x>1.))若－1≤x≤1，令eq\f(5,4)<2x＋1<eq\f(3,2)，即eq\f(1,4)<2x<eq\f(1,2)，∴－2<x<－1(舍去)；若x<－1或x>1，令eq\f(5,4)<2－x＋1<eq\f(3,2)，即eq\f(1,4)<2－x<eq\f(1,2)，∴1<x<2.问题转化为长度的几何概型，总长度为4－(－3)＝7，所求事务表示的长度为2－1＝1，则所求的概率为eq\f(1,7).故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上)13．我国高铁发展快速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车全部车次的平均正点率的估计值为________．0.98[由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97＋20×0.98＋10×0.99＝39.2，其中高铁个数为10＋20＋10＝40，所以该站全部高铁平均正点率约为eq\f(39.2,40)＝0.98.]14．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．eq\f(1,6)eq\f(1,3)[从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1,3一种状况，故此时的概率为eq\f(1,6).若取出两个数字之和是偶数，必需同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).]15．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＋a＝0}，若A∩B≠∅的概率为1，则a的取值范围是________．[－eq\r(2)，eq\r(2)][依题意知，直线x＋y＋a＝0与圆x2＋y2＝1恒有公共点，故eq\f(|a|,\r(12＋12))≤1，解得－eq\r(2)≤a≤eq\r(2).]16.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形ABCD中四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH构成．现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH内的概率为________．eq\f(1,25)[因为直角三角形的两条直角边长为3和4，所以正方形ABCD的边长为a＝eq\r(32＋42)＝5，所以S正方形ABCD＝a2＝25，所以S正方形EFGH＝S正方形ABCD－4S△ABF＝25－4×eq\f(1,2)×3×4＝1，因此，在正方形ABCD内随机取一点，则此点取自小正方形EFGH内的概率为P＝eq\f(S正方形EFGH,S正方形ABCD)＝eq\f(1,25).]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参与书画竞赛，其中从高二甲班选出了1名女同学、2名男同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出全部可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画，写出全部可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率．[解](1)设选出的3名高二甲班同学为A，B，C，其中A为女同学，B，C为男同学，选出的3名高二乙班同学为D，E，F，其中D为男同学，E，F为女同学．从这6名同学中抽出2人的全部可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，(D，E)，(D，F)，共9种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).(2)高二甲班和乙班各选1名的全部可能结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，选出的2名同学性别相同的有(A，E)，(A，F)，(B，D)，(C，D)，共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为eq\f(4,9).18．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种嬉戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事务，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事务，C表示乙至少赢两次的事务，试问B与C是否为互斥事务？为什么？(3)这种嬉戏规则公允吗？试说明理由．[解](1)甲、乙出手指都有5种可能，因此基本领件的总数为5×5＝25(种)，事务A包括甲、乙出的手指的状况有(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，共5种状况，∴P(A)＝eq\f(5,25)＝eq\f(1,5).(2)B与C不是互斥事务．因为事务B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事务即符合题意．(3)这种嬉戏规则不公允．由(1)知和为偶数的基本领件数为13，即(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)．所以甲赢的概率为eq\f(13,25)，乙赢的概率为eq\f(12,25).所以这种嬉戏规则不公允．19．(本小题满分12分)四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1,2,3,4，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张(不放回)，再从桌子上剩下的3张中随机抽取其次张．(1)列出前后两次抽得的卡片上所标数字的全部可能状况；(2)计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少．[解](1)如图．则全部可能状况为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种．(2)积为奇数的状况为(1,3)，(3,1)，共2种，因此有P(积为奇数)＝eq\f(1,6).20．(本小题满分12分)在等腰三角形ABC中，∠B＝∠C＝30°，求下列事务的概率．(1)在底边BC上任取一点P，使BP<AB；(2)在∠BAC的内部任作射线AP交BC于P，使BP＜AB.[解](1)因为点P随机地落在线段BC上，故线段BC为试验的全部结果所构成的区域，以B为圆心，BA为半径的弧交BC于M，记“在底边BC上任取一点P，使BP<AB”为事务A，则P(A)＝eq\f(BA,BC)＝eq\f(BA,2BAcos30°)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).(2)所作射线AP在∠BAC内是等可能分布的，在BC上取一点M，使∠AMP＝75°，则BM＝BA.记“在∠BAC的内部作射线AP交线段BC于P，使BP<AB”为事务B，则P(B)＝eq\f(∠BAM,∠BAC)＝eq\f(75°,120°)＝eq\f(5,8).21.(本小题满分12分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到如下频率分布表：X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取2件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出全部可能的结果，并求这2件日用品的等级系数恰好相等的概率．[解](1)因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝eq\f(3,20)＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝eq\f(2,20)＝0.1.从而a＝1