河南省焦作实验中学2024-2025学年九年级上月考数学试卷10月份解析版

2024-2025学年河南省焦作试验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．（x2+3）2＝9 B．ax2+bx+c＝0 C．x2+3＝0 D．x2+＝42．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（）A．对角线相互平分 B．对角线相等 C．对角线相互垂直 D．一条对角线平分一组对角3．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（）A． B． C． D．5．某超市一月的营业额是72万元，三月份的营业额为96万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．72（1﹣x）2＝96 B．72（1+x）2＝96 C．96（1﹣x）2＝72 D．96（1+x）2＝726．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或07．在一个四边形ABCD中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC与BD须要满意的条件是（）A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再须要条件8．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为（）A．6 B．3 C．3 D．39．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF＝CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF＝3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题（每小题3分；共15分）11．假如菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满意（a﹣1）2+＝0，那么菱形的面积等于．12．线段AB长为10cm，点C是AB的黄金分割点，则AC的长为（结果精确到0.1cm）．13．在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是．14．若a：b：c＝1：2：3，则＝15．如图矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．三、解管题（本大题8小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满意x2﹣4x+3＝0．17．（10分）解方程：（1）2x2+10x+4＝0；（2）y（y﹣1）+2y﹣2＝0．18．（9分）在一个不透亮的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球2只，红球1只，黑球1只，它们除了颜色之外没有其它区分，从袋中随机地摸出1只球，记录下颜色后放回搅匀，再摸出其次只球并记录颜色，求两次都摸出白球的概率．19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．20．（9分）求证：不论k取什么实数，方程x2﹣（k+6）x+4（k﹣3）＝0肯定有两个不相等的实数根．21．（10分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC＝BD•AC；（2）S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，DE＝6，求BC的长．22．（9分）童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店确定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？23．（11分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．猜想：如图①，点D在BC边上，BD：BC＝2：3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为．探究：如图②，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD：BC＝1：2，求的值．应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，则BP＝．

2024-2025学年河南省焦作试验中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．（x2+3）2＝9 B．ax2+bx+c＝0 C．x2+3＝0 D．x2+＝4【分析】依据一元二次方程的定义进行解答．【解答】解：A．（x2+3）2＝9，未知数x的最高次数是4次，所以该方程不是一元二次方程；B．ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程；C．x2+3＝0是一元二次方程；D．x2+＝4不是整式方程，所以不是一元二次方程．故选：C．2．下列性质中正方形具有而菱形没有的是（）A．对角线相互平分 B．对角线相等 C．对角线相互垂直 D．一条对角线平分一组对角【分析】菱形的对角线垂直且相互平分，正方形的对角线垂直相等且相互平分．【解答】解：因为菱形的对角线垂直且相互平分，正方形的对角线垂直相等且相互平分．所以对角线相等是正方形具有而菱形不具有的．故选：B．3．如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】依据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算求出EF，结合图形计算即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，解得，EF＝4，则DF＝DE+EF＝6，故选：D．4．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，所抽取的两个球数字之和大于6的概率是（）A． B． C． D．【分析】首先依据题意画出树状图，然后由树状图求得全部等可能的结果与抽取的两个球数字之和大于6的状况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有16种等可能的结果，抽取的两个球数字之和大于6的有10种状况，∴抽取的两个球数字之和大于6的概率是：＝．故选：C．5．某超市一月的营业额是72万元，三月份的营业额为96万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．72（1﹣x）2＝96 B．72（1+x）2＝96 C．96（1﹣x）2＝72 D．96（1+x）2＝72【分析】依据该超市一月份及三月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得72（1+x）2＝96，故选：B．6．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值是（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．﹣1或0【分析】将x＝0代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0即可求得a的值．留意，二次项系数a﹣1≠0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，∴（a﹣1）×0+0+a2﹣1＝0，且a﹣1≠0，解得a＝±1且a≠1．∴a＝﹣1符合题意；故选：A．7．在一个四边形ABCD中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线AC与BD须要满意的条件是（）A．垂直 B．相等 C．垂直且相等 D．不再须要条件【分析】依据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形EFGH为矩形，依据矩形的四个角为直角得到∠FEH＝90°，又EF为三角形ABD的中位线，依据中位线定理得到EF与DB平行，依据两直线平行，同旁内角互补得到∠EMO＝90°，同理依据三角形中位线定理得到EH与AC平行，再依据两直线平行，同旁内角互补得到∠AOD＝90°，依据垂直定义得到AC与BD垂直．【解答】解：如图，∵四边形EFGH是矩形，∴∠FEH＝90°，又∵点E、F、分别是AD、AB边的中点，∴EF是三角形ABD的中位线，∴EF∥BD，∴∠FEH＝∠OMH＝90°，又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，∴EH是三角形ACD的中位线，∴EH∥AC，∴∠OMH＝∠COB＝90°，即AC⊥BD．故选：A．8．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值为（）A．6 B．3 C．3 D．3【分析】依据菱形的对角线相互垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解．【解答】解：如图，连接BD，∵菱形ABCD中，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∵在菱形ABCD中，AC与BD相互垂直平分，∴点B、D关于AC对称，如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，∵E为AB的中点，∠DAB＝60°，∴DE⊥AB，∴ED＝＝＝3，∴EF+BF的最小值为3．故选：B．9．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①DE是△ABC的中位线，依据三角形的中位线等于第三边长度的一半可推断；②利用相像三角形面积的比等于相像比的平方可判定；③利用相像三角形的性质可推断；④利用相像三角形面积的比等于相像比的平方可判定．【解答】解：①∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，即＝，故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴＝（）2＝（）2＝，故②错误；③∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴＝△DOE∽△COB∴＝∴＝，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O．∴点O是△ABC的重心，依据重心性质，BO＝2OE，△ABC的高＝3△BOC的高，且△ABC与△BOC同底（BC）∴S△ABC＝3S△BOC，由②和③知，S△ODE＝S△COB，S△ADE＝S△BOC，∴＝．故④正确．综上，①③④正确．故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF＝CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF＝3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【分析】由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，依据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF＝MF，∴DF＝CF；故①正确；∵∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF，∴∠BFM＝∠BFC，∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，∴∠BFE＝∠BFN，∵∠BFE+∠BFN＝180°，∴∠BFE＝90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF（ASA），∴EF＝FN，∴BE＝BN，假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE，而明显BE＝BN＞BC，∴△BEN不是等边三角形；故③错误；∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM，∴BE＝3EM，∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；故④正确．故选：B．二、填空题（每小题3分；共15分）11．假如菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满意（a﹣1）2+＝0，那么菱形的面积等于2．【分析】依据非负数的性质列式求出a、b，再依据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，a﹣1＝0，b﹣4＝0，解得a＝1，b＝4，∵菱形的两条对角线的长为a和b，∴菱形的面积＝×1×4＝2．故答案为：2．12．线段AB长为10cm，点C是AB的黄金分割点，则AC的长为6.2cm或3.8cm（结果精确到0.1cm）．【分析】依据黄金分割的定义①当AC＞BC时，得到AC＝AB，把AB＝10cm代入计算即可．②当AC＜BC时，依据①中结果计算即可；【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，当AC＞BC时，∴AC＝AB，而AB＝10cm，∴AC＝×10＝（5﹣5）≈6.2cm．当AC＜BC时，AC＝10﹣6.2＝3.8cm故答案为6.2cm或3.8cm．．13．在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）．【分析】依据位似变换的性质、坐标与图形性质计算．【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．14．若a：b：c＝1：2：3，则＝﹣2【分析】设a＝k，b＝2k，c＝3k把a、b、c的值代入，求出即可．【解答】解：由a：b：c＝1：2：3，可设a＝k，b＝2k，c＝3k，∴＝＝＝﹣2，故答案为：﹣2．15．如图矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种状况利用勾股定理求出DE．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′＝PD′，设MD′＝x，则PD′＝BM＝x，∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，又折叠图形可得AD＝AD′＝5，∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4．在Rt△END′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′N＝5﹣3＝2，EN＝4﹣a，∴a2＝22+（4﹣a）2，解得a＝，即DE＝，②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′N＝5﹣4＝1，EN＝3﹣a，∴a2＝12+（3﹣a）2，解得a＝，即DE＝．故答案为：或．三、解管题（本大题8小题，共75分）16．（8分）先化简，再求值：（+2﹣x）÷，其中x满意x2﹣4x+3＝0．【分析】通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，再将方程的解代入化简后的分式解答．【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，解方程x2﹣4x+3＝0得，（x﹣1）（x﹣3）＝0，x1＝1，x2＝3．当x＝1时，原式无意义；当x＝3时，原式＝﹣＝﹣．17．（10分）解方程：（1）2x2+10x+4＝0；（2）y（y﹣1）+2y﹣2＝0．【分析】（1）利用配方法求解即可．（2）把方程左边进行因式分解得到（y﹣1）（y+2）＝0，然后解两个一元一次方程即可．【解答】解：（1）2x2+10x+4＝0，x2+5x＝﹣2，x2+5x+＝﹣2+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝，x2＝；（2）y（y﹣1）+2y﹣2＝0，y（y﹣1）+2（y﹣1）＝0，（y﹣1）（y+2）＝0，∴y﹣1＝0或y+2＝0，∴y1＝1，y2＝﹣2．18．（9分）在一个不透亮的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球2只，红球1只，黑球1只，它们除了颜色之外没有其它区分，从袋中随机地摸出1只球，记录下颜色后放回搅匀，再摸出其次只球并记录颜色，求两次都摸出白球的概率．【分析】首先依据题意列出表格，然后表格求得全部等可能的结果与两次都摸出白球的状况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：列表得：白黑白黑红黑黑黑白红白红红红黑红白白白白红白黑白白白白白红白黑白∵共有16种等可能的结果，两次都摸出白球的有4种状况，∴两次都摸出白球的概率是：＝．19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．（1）求证：△ADC≌△ECD；（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．【分析】（1）依据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC＝90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；又∵AB＝AC（已知），∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），∴AE∥CD；又∵BD＝CD，∴AE＝CD（等量代换），∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC＝90°，∴▱ADCE是矩形．20．（9分）求证：不论k取什么实数，方程x2﹣（k+6）x+4（k﹣3）＝0肯定有两个不相等的实数根．【分析】要证明不论k取什么实数，方程x2﹣（k+6）x+4（k﹣3）＝0肯定有两个不相等的实数根，即证明△＞0即可．【解答】证明：∵△＝（k+6）2﹣4×1×4（k﹣3）＝（k﹣2）2+80，而（k﹣2）2≥0，∴（k﹣2）2+80＞0，即△＞0，所以不论k取什么实数，方程x2﹣（k+6）x+4（k﹣3）＝0肯定有两个不相等的实数根．21．（10分）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．（1）求证：AE•BC＝BD•AC；（2）S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，DE＝6，求BC的长．【分析】（1）依据相像三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC即可得出答案；（2）由已知条件可计算出△ABC的面积，再依据相像三角形面积比等于相像比的平方即可得出答案，【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵DE∥BC，∴∠DBE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DEB，∴BD＝DE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AE•BC＝BD•AC；（2）解：∵S△ADE＝4，S四边形BCED＝5，∴S△ABC＝S△ADE+S四边形BCED＝4+5＝9，∵△ADE∽△ABC，∴，∴，∴BC＝9．22．（9分）童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店确定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）当每件童装售价定为多少元