专题01 集合与常用逻辑用语（原卷版）-2025高考数学一轮复习知识

专题01集合与常用逻辑用语（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）知识点1集合与元素1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号或表示3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法4、常见数集的记法与关系图集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR知识点2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言图形语言基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素（则）或真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A或相等集合A，B的元素完全相同空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集知识点3集合的基本运算1、集合交并补运算的表示集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言2、集合运算中的常用二级结论（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.（3）补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅．∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．知识点4充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件2、充要条件（1）充要条件的定义如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。（2）充要条件的含义若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同。（3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。知识点5全称量词与存在量词1、全称量词与全称量词命题（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“”表示．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．符号表示：通常，将含有变量的语句用，，，…表示，变量的取值范围用表示，那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。2、存在量词与存在量词命题（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“”表示．【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。符号表示：存在量词命题“存在中的元素，使成立”可用符号简记为【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定．（1）全称量词命题的否定：一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：．（2）存在量词命题的否定：一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：．（3）命题与命题的否定的真假判断：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．（4）常见正面词语的否定：正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）是都是否定不等式（≠）不大于（≤）不小于（≥）不是不都是正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个重难点01已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．【典例1】（23-24高三上·广东惠州·月考）集合，若且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·江西·月考）已知，若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．重难点02利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.【典例1】（2024·陕西西安·三模）设集合，，若，则（

）A．2 B．3 C．1 D．1或2【典例2】（2024·黑龙江·二模）已知，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．重难点03根据集合运算的结果确定参数的取值范围法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空集。【典例1】（2024·重庆·模拟预测）设集合，，若，则（

）A．1 B． C．2 D．【典例2】（2024·重庆·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．重难点04利用充分必要条件求参数的策略1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式组）求解；2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。【典例1】（23-24高三上·上海松江·期中）已知，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是.【典例2】（23-24高三上·江苏扬州·月考）（多选）若“”是“”的必要不充分条件，则实数可以是（

）A． B． C． D．重难点05根据全称（存在）量词命题的真假求参数1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。【典例1】（2024·四川·模拟预测）已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题：为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．一、子集的个数问题如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．【典例1】（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【典例2】（2024·全国·一模）已知集合，，则子集的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、判断集合与集合的关系判断集合间关系的常用方法：1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系；2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断集合间关系；3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法。【典例1】（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．三、韦恩图的应用元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达。有时题设条件比较抽象，也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题。【典例1】（2024·山西长治·一模）已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·河北邢台·二模）下列集合关系不成立的是（

）A． B．C． D．四、集合新定义问题在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。【典例1】（2024·贵州黔东南·二模）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三下·甘肃·月考）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（

）A．7个 B．9个 C．10个 D．14个五、充分条件与必要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件的判断方法1、定义法：（1）分清命题的条件和结论；（2）判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假；（3）得出结论.2、集合法：利用集合间的包含关系进行判断；3、等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。【典例1】（2024·江西南昌·二模）已知集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要易错点1对集合表示方法的理解存在偏差点拨：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型（点集或者数集）及代表元素的含义。【典例1】（23-24高三下·江西吉安·期中）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·湖北·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．易错点2忽视（漏）空集导致错误点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。【典例1】（2024·重庆·模拟预测）设若，，则，实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知全集，集合，．若，则的最大值为．易错点3忽视集合元素的互异性点拨：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素。【典例1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（

）A． B． C． D．【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（

）A．2 B．3 C．0或3 D．易错点4判断充分性必要性位置颠倒点拨：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算。【典例1】（2024·新疆·二模）使“”成立的一个充分不必要条件是（