2023年广东省茂名市高考数学一模试卷及答案解析

第第页2023年广东省茂名市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2≥9，x∈R}，B＝{0，1，e，π}，则（∁RA）∩B＝（）A．{0，1，e} B．{0，1，e，π} C．{0，1，π} D．{1，e，π}2．（5分）已知复数z＝1﹣i，则＝（）A． B． C． D．3．（5分）小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（）A．0.954 B．0.956 C．0.958 D．0.9594．（5分）已知函数y＝g（x）的图象与函数y＝sin2x的图象关于直线x＝π对称，将g（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f（x）的图象，则函数y＝f（x）在时的值域为（）A． B． C． D．[0，1]5．（5分）已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（）A．8π B．16π C． D．6．（5分）已知正数x，y满足，则x+y的最小值与最大值的和为（）A．6 B．5 C．4 D．37．（5分）已知等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，则不可能的值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（）A．a＞2＞b B．b＞2＞a C．a＞b＞2 D．b＞a＞2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知双曲线，下列对双曲线C的判断正确的是（）A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为8 C．离心率为 D．渐近线方程为（多选）10．（5分）为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：日期项目星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日党员先锋24272625377672邻里互助11131111127132143对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（）A．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25 B．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64 C．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为 D．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为（多选）11．（5分）已知直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，点A在x轴上方，点M（﹣1，﹣1）是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A．p＝2 B．k＝﹣2 C．MF⊥AB D．（多选）12．（5分）已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，，则在该四面体中（）A．BE⊥CD B．BE与平面DCE所成角的余弦值为 C．四面体ABCD的内切球半径为 D．四面体ABCD的外接球表面积为9π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数是偶函数，则a＝．14．（5分）（1+x+x2）6展开式中x4的系数为．15．（5分）函数f（x）＝|2ex﹣1|﹣2x的最小值为．16．（5分）已知圆O的方程为x2+y2＝1，P是圆C：（x﹣2）2+y2＝16上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）武汉热干面既是中国四大名面之一，也是湖北武汉最出名的小吃之一．某热干面店铺连续10天的销售情况如下（单位：份）；天数12345678910套餐一12010014014012070150120110130套餐二809090605090708090100（1）分别求套餐一、套餐二的均值、方差，并判断两种套餐销售的稳定情况；（2）假定在连续10天中每位顾客只购买了一份，根据图表内容填写下列2×2列联表，并据此判断能否有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关？顾客套餐套餐一套餐二合计男顾客400女顾客500合计附：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.63518．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求△ABC的面积S．19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对任意n∈N*，都有an+2＝3an+1﹣2an．（1）求证：{an+1﹣an}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）求使得不等式成立的最大正整数m．20．（12分）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．（1）求证：EF⊥AD；（2）若二面角A﹣EF﹣D的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．21．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知点A，B是双曲线的两个实轴顶点，点P是双曲线上异于A，B的任意一点，直线PA交E于M，直线PB交E于N，证明：直线MN的倾斜角为定值．22．（12分）已知，其中a∈R．（1）当a＝1时，分别求n＝1和n＝2的f（x）的单调性；（2）求证：当a＝1时，f（x）＝0有唯一实数解x＝0；（3）若对任意的x≥0，n∈N*都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

2023年广东省茂名市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x2≥9，x∈R}，B＝{0，1，e，π}，则（∁RA）∩B＝（）A．{0，1，e} B．{0，1，e，π} C．{0，1，π} D．{1，e，π}【解答】解：∵集合A＝{x|x2≥9，x∈R}＝{x|x≥3或x≤﹣3}，∴∁RA＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{0，1，e，π}，则（∁RA）∩B＝{0，1，e}．故选：A．2．（5分）已知复数z＝1﹣i，则＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴，∴＝＝＝．故选：D．3．（5分）小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知小明上学乘坐公共汽车的概率为0.4，乘坐地铁的概率为0.6，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为0.05和0.04，则小明准时到校的概率为（）A．0.954 B．0.956 C．0.958 D．0.959【解答】解：小明上学乘坐公共汽车准时到校的概率为0.4×（1﹣0.05）＝0.38，小明上学乘坐地铁准时到校的概率为0.6×（1﹣0.04）＝0.576，∴小明准时到校的概率为0.38+0.576＝0.956．故选：B．4．（5分）已知函数y＝g（x）的图象与函数y＝sin2x的图象关于直线x＝π对称，将g（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f（x）的图象，则函数y＝f（x）在时的值域为（）A． B． C． D．[0，1]【解答】解：因为函数y＝g（x）的图象与函数y＝sin2x的图象关于直线x＝π对称，所以y＝g（x）＝sin2（2π﹣x）＝﹣sin2x，将g（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝f（x）＝﹣sin2（x﹣）＝﹣sin（2x﹣）＝﹣sin（2x+﹣π）＝sin（2x+），因为，所以2x+∈[，]，所以f（x）＝sin（2x+）∈[﹣，1]．故选：C．5．（5分）已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为（）A．8π B．16π C． D．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，则r＞2，由条件得h＝，∵圆锥的底面圆心到母线的距离为2，则2l＝rh，即h＝，∵l2＝r2+h2，∴，解得l2＝＝，∵r＞2，∴＝﹣（﹣）2+≤，当＝，即r＝2时，l取最小值4，则圆锥的侧面积为πrl＝＝8．故选：C．6．（5分）已知正数x，y满足，则x+y的最小值与最大值的和为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：因为xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以，所以，又＝x+y+，所以x+y+≤5，即（x+y）2﹣5（x+y）+4≤0，解得，1≤x+y≤4．所以x+y的最大值与最小值的和为5．故选：B．7．（5分）已知等差数列{an}，Sn是数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，均有S6≤Sn成立，则不可能的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意得，当n＝6时，Sn取得最小值，所以a1＜0，d＞0，a6≤0，若a6＝a1+5d＝0，则＝＝＝4，若a6＝a1+5d＜0，a7＝a1+6d＞0，则﹣6＜＜﹣5，则＝＝＝1+＞4，故选：A．8．（5分）已知实数a，b满足，则下列判断正确的是（）A．a＞2＞b B．b＞2＞a C．a＞b＞2 D．b＞a＞2【解答】解：∵a＝log23+log86＝＝＞＝＝，解得a＞2，由6a+8a＝10b，且a＞2，得6a+8a＞36+64＝100，∴b＞2，令f（x）＝6x+8x﹣10x，x＞2，令t＝x﹣2＞0，则x＝t+2，则f（x）＝6x+8x﹣10x，x＞2等价于g（t）＝36×6t+64×8t﹣100×10t，t＞0，∵g（t）＝36×6t+64×8t﹣100×10t＜100×8t﹣100×8t，∴当x＞2时，f（x）＝6x+8x﹣10x＜0，∴6a+8a＝10b＜10a，∴a＞b＞2．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知双曲线，下列对双曲线C的判断正确的是（）A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为8 C．离心率为 D．渐近线方程为【解答】解：双曲线，可知实轴长4，虚轴长4，焦距8，离心率以及渐近线方程x±y＝0，所以B、D正确；故选：BD．（多选）10．（5分）为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：日期项目星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日党员先锋24272625377672邻里互助11131111127132143对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（）A．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25 B．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64 C．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为 D．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为【解答】解：对于A，“党员先锋”项目参与人数的极差为：76﹣24＝52，中位数为27，故A错误；对于B，邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为：（11+13+11+11+127+132+143）＝64，故B正确；对于C，用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的事件设为M，则事件M包含的基本事件有四种情况，分别为：“星期二、星期三、星期四”，“星期三、星期四、星期五”，“星期四、星期五、星期六”，“星期五、星期六、星期日”，其中一周内连续三天，有5种情况，分别为：“星期一、星期二、星期三”，“星期二、星期三、星期四”，“星期三、星期四、星期五”，“星期四、星期五、星期六”，“星期五、星期六、星期日”，∴“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为P（M）＝，故C错误；对于D，用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的事件设为N，由B知该项目平均数为64，则事件N包含的基本事件有2种情况，分别为：”星期五、星期六“，”星期六、星期日“，其中一周内连续2天的情况有6种，分别为：”星期一、星期二“，”星期二、星期三“，”星期三、星期四“，”星期四、星期五“，”星期五、星期六“，”星期六、星期日“，∴“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为的概率为P（N）＝，故D正确．故选：BD．（多选）11．（5分）已知直线与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，点A在x轴上方，点M（﹣1，﹣1）是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A．p＝2 B．k＝﹣2 C．MF⊥AB D．【解答】解：直线l：y＝k（x﹣），恒过（，0），即过抛物线的焦点F，所以抛物准线方程为x＝﹣，点M（﹣1，﹣1）是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，M在抛物线的准线上，所以﹣＝﹣1，解得p＝2，所以A正确，焦点坐标为（1，0），直线l整理可得y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程，整理可得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，x1x2＝1，x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝，y1y2＝﹣4＝﹣4，由题意可得•＝0，即（x1+1，y1+1）•（x2+1，y2+1）＝0，整理可得x1x2+（x1+x2）+1+y1y2+（y1+y2）+1＝0，代入可得1++1﹣4++1＝0，解得：++1＝0，解得k＝﹣2，所以B正确，又kMF＝＝，所以kMF•k＝﹣1，所以MF⊥AB，所以C正确；x1x2＝1，x1+x2＝3，解得x1＝，x2＝，|FA|＝+1，|FB|＝+1，所以＝，故D不正确．故选：ABC．（多选）12．（5分）已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，，则在该四面体中（）A．BE⊥CD B．BE与平面DCE所成角的余弦值为 C．四面体ABCD的内切球半径为 D．四面体ABCD的外接球表面积为9π【解答】解：由题意得展开图拼成的几何体如下图所求，AB＝CD＝，AD＝BD＝BC＝AC＝2，取AB中点M，CD中点N，MN中点O，连接MN，OA，过O作OH⊥CM于H，则OH是内切球的半径，OA是外接球的半径，∴AM＝CN＝AB＝，CM＝AN＝＝＝，MN＝＝＝，对于A，AN⊥CD，BN⊥CD，AN∩BN＝N，∴CD⊥平面ABN，∵BE⊂平面ABN，∴BE⊥CD，故A正确；对于B，∵CD⊂平面ACD，∴平面ABN⊥平面ACD，∴∠BAN是BE与平面DCE所成角，∴cos∠BAN＝＝，故B错误；对于C，OH＝＝＝，故C正确；对于D，OA2＝AM2+（MN）2＝（）2+（）2＝，∴四面体ABCD的外接球表面积为9π，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数是偶函数，则a＝﹣1．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），得（e﹣x+aex）ln（﹣x）＝（ex+ae﹣x）ln（+x）＝（ex+ae﹣x）ln）＝（ex+ae﹣x）ln＝﹣（ex+ae﹣x）ln（﹣x），则e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x）＝﹣ae﹣x﹣ex，即（a+1）e﹣x+（a+1）ex＝0，即（a+1）（e﹣x+ex）＝0，得a+1＝0，得a＝﹣1．故答案为：﹣1．14．（5分）（1+x+x2）6展开式中x4的系数为90．【解答】解：（1+x+x2）6＝[1+（x+x2）]6的展开式的通项为C6r（x+x2）r，其中（x+x2）r的展开式的通项为∁rkxr+k，则（1+x+x2）6的展开式的通项为C6r∁rkxr+k，令r+k＝4，且k≤r≤6，当k＝0，r＝4满足，当k＝1，r＝3时满足，当r＝k＝2时满足，故展开式中x4的系数为C64C40+C63C31+C62C22＝90，故答案为：90．15．（5分）函数f（x）＝|2ex﹣1|﹣2x的最小值为1．【解答】解：当2ex﹣1≥0时，得ex≥，得x≥ln＝﹣ln2时，f（x）＝2ex﹣1﹣2x，此时f′（x）＝2ex﹣2，由f′（x）＞0得x＞0，此时f（x）为增函数，由f′（x）＜0得﹣ln2≤x＜0，此时f（x）为减函数，即当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝2﹣1﹣0＝1，当x＜ln时，f（x）＝1﹣2ex﹣2x为减函数，此时f（x）＞f（ln）＝1﹣2﹣2ln＝﹣2ln＝2ln2，∵2ln2＞1，∴函数的最小值为1，故答案为：1．16．（5分）已知圆O的方程为x2+y2＝1，P是圆C：（x﹣2）2+y2＝16上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为[，]．【解答】解：圆O的方程为x2+y2＝1，圆C：（x﹣2）2+y2＝16的圆心C（2，0），半径r＝4，设PA与PB的夹角为2α，如图所示：则|PA|＝|PB|＝，所以f（α）＝•＝|PA|•|PB|•cos2α＝•cos2α＝•cos2α．记cos2α＝u，P在圆C的左顶点时，sinα＝，所以cos2α＝1﹣2sin2α＝，u取得最小值，P在圆C的右顶点时，sinα＝，所以cos2α＝1﹣2sin2α＝，所以μ∈[，]，y＝＝，记t＝1﹣u，则t∈[，]，y＝﹣3+t+，且该函数在t∈[，]内单调递减，所以t＝时，ymax＝﹣3++36＝，t＝时，ymin＝﹣3++4＝，所以•的取值范围是[，]．故答案为：[，]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）武汉热干面既是中国四大名面之一，也是湖北武汉最出名的小吃之一．某热干面店铺连续10天的销售情况如下（单位：份）；天数12345678910套餐一12010014014012070150120110130套餐二809090605090708090100（1）分别求套餐一、套餐二的均值、方差，并判断两种套餐销售的稳定情况；（2）假定在连续10天中每位顾客只购买了一份，根据图表内容填写下列2×2列联表，并据此判断能否有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关？顾客套餐套餐一套餐二合计男顾客400女顾客500合计附：P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635【解答】解：（1）套餐一：均值为×（120+100+140+140+120+70+150+120+110+130）＝120，方差为×[（120﹣120）2+（100﹣120）2+（140﹣120）2+（140﹣120）2+（120﹣120）2+（70﹣120）2+（150﹣120）2+（120﹣120）2+（110﹣120）2+（130﹣120）2]＝480，套餐二：均值为×（80+90+90+60+50+90+70+80+90+100）＝80，方差为×[（80﹣80）2+（90﹣80）2+（90﹣80）2+（60﹣80）2+（50﹣80）2+（90﹣80）2+（70﹣80）2+（80﹣80）2+（90﹣80）2+（100﹣80）2]＝200，因为480＞200，所以套餐二的销售情况更稳定．（2）由（1）知，套餐一的均值为120，套餐二的均值为80，所以10天共销售套餐一10×120＝1200份，套餐二10×80＝800份，所以购买套餐一的女顾客有1200﹣800＝400人，购买套餐二的男顾客有800﹣500＝300人，补充完整的2×2列联表如下所示：顾客套餐套餐一套餐二合计男顾客400300700女顾客8005001300合计12008002000所以K2＝≈3.663＜3.841，故没有95%的把握认定顾客性别与套餐选择有关．18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．利用正弦定理：，由于0＜A、B、C＜π，所以；故A＝；（2）由（1）得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc，整理得7＝19﹣3bc，故bc＝4；所以．19．（12分）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对任意n∈N*，都有an+2＝3an+1﹣2an．（1）求证：{an+1﹣an}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）求使得不等式成立的最大正整数m．【解答】（1）证明：由an+2＝3an+1﹣2an，得an+2﹣an+1＝2（an+1﹣an），∵a1＝1，a2＝2，∴a2﹣a1＝1≠0，则，可得{an+1﹣an}是以1为首项，以2为公比的等比数列，则．∴an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1＝2n﹣2+2n﹣3+...+20+1＝；（2）解：，，，，，，∵＜，，∴使得不等式成立的最大正整数m＝6．20．（12分）如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上．（1）求证：EF⊥AD；（2）若二面角A﹣EF﹣D的平面角为45°，K是线段CF（含端点）上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为？若存在，求出CK的长度；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：由已知有EF⊥ED，EF⊥AE，又AE∩ED＝E，AE，ED⊂平面AED，所以EF⊥平面AED，AD⊂平面AED，所以EF⊥AD；（2）解：由（1）知EF⊥平面AED，EF⊂平面EDCF，所以平面EDCF⊥平面AED，在平面AED内过E作EM⊥ED，可得EF⊥EM，以E为坐标原点，EM，ED，EF为坐标轴建立如图所示的空间直解坐标系，则x轴的方向向量为平面EDCF的法向量，所以平面EDCF的一个法向量＝（1，0，0），设CK＝a，则K（0，2﹣a，4），A（，，0），所以＝（﹣，2﹣a﹣，4），设直线AK与平面CDEF所成角为θ，由已知得tanθ＝，所以sinθ＝，所以＝，解得a＝±﹣2，又0≤a≤2，所