专题01 指数函数、对数函数（3考点串讲+6热考题型）（高教版2021·基础模块下册）（解析版）

专题01指数函数、对数函数考点串讲考点串讲考点一、实数指数幂（1）n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号eq\r(n,a)表示．当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号eq\r(n,a)表示，负的n次方根用符号－eq\r(n,a)表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±eq\r(n,a)．负数没有偶次方根．0的n(n∈N*)次方根是0，记作eq\r(n,0)＝0．（2）根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．n为奇数时，eq\r(n,an)＝a；n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|.（3）实数指数幂的有关概念：零指数幂：a0＝1，这里a≠0.负整数指数幂：a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N*)．正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．负分数指数幂：aeq\s\up6(-\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．（4）实数指数幂的运算法则：；；．考点二、指数函数（1）指数函数的概念一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．结构特征：底数：大于零且不等于1的常数；指数：仅有自变量；系数：的系数是1.（2）指数函数的图象与性质图象性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数考点三、对数及对数函数（1）对数①对数的定义：若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数.负数和零没有对数.对数式与指数式的互化：.②几个重要的对数恒等式，，.③常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即(其中…).=4\*GB3④对数的运算法则：如果，那么加法：减法：数乘：对数恒等式：常用变形：换底公式：（2）对数函数①对数函数的概念一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).②特殊的对数函数常用对数函数：以10为底的对数函数.自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.③对数函数的图象与性质图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，=4\*GB3④不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴．热考题型热考题型类型一、实数指数幂的运算法则【例1】设，下列计算中正确的是（）A．B．C． D．【答案】B【解析】对于A，，错误；对于B，，正确；对于C，，错误；对于D，，错误，故选：B.【变式1】已知，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，故选：B.【变式2】化简结果为（）A．a B．b C． D．【答案】A【解析】根据实数指数幂的运算公式，可得：，故选：A.类型二、指数函数和对数函数的结构特征【例1】若函数是指数函数，则（）A．且 B． C．或 D．【答案】D【解析】若函数是指数函数，则，解得，或，又指数函数的底数且，故.故选：．【例2】若函数是对数函数，则.【答案】5【解析】根据对数函数的定义有，解得.故答案为：5．【变式1】函数是指数函数，则（）A．或B．C．D．且【答案】C【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C【变式2】已知对数函数，则．【答案】2【解析】由对数函数的定义，可得，解得．故答案为：2.类型三、指数函数和对数函数恒过定点【例1】函数的图象一定过定点．【答案】【解析】函数，由指数函数的性质，令，可得，当时，可得，图象一定过定点.故答案为：．【例2】函数曲线恒过定点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为对数函数恒过点，所以函数曲线恒过点.故选：C.【变式1】函数的图象恒过的定点是．【答案】【解析】指数函数恒过定点，令得，此时，故函数的图象恒过的定点是.故答案为：．【变式2】函数(且)的图象恒过定点.【答案】【解析】因为函数(且)，令，解得，所以，即函数恒过点.故答案为：.类型四、指数函数和对数函数的比较大小【例1】已知,,,则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】构造可知单调递增，，，构造可知单调递减，，，构造可知单调递减，，，所以，故选：A.【变式1】设，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数在上单调递增，则，即，所以；因为函数在单调递增，则，所以；因为函数在上单调递减，则，所以，综上，.故选：A.【变式2】已知，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，故.故选：C.类型五、指数函数和对数函数的图像【例1】函数的图象大致为（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以单调递增，且恒过点，故A为正确答案.故选：A．【例2】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因为函数为减函数，所以,又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即,又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D.【变式1】函数的图象大致是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】由，得函数是以为底数的指数函数，且函数为减函数，故D选项符合题意，故选：D.【变式2】函数与函数且的图象大致是（）A．B．C． D．【答案】B【解析】函数f(x)单调递增，且过定点(0，1＋a)，当0＜a＜1时，1＜1＋a＜2，即f(x)与y轴交点纵坐标介于1和2之间，此时过定点(1，0)且在单调递减，没有符合的选项；当a＞1时，1＋a＞2，即f(x)与y轴交点纵坐标大于2，此时g(x)过定点(1，0)且在单调递增，符合的选项为B.故选B.类型六、指数函数和对数函数的综合【例1】已知函数，其中是指数函数．（1）求的表达式；（2）解不等式：．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）是指数函数