2.3.2-双曲线的简单几何性质

2.3.2双曲线简单的几何性质(一)

2、对称性

一、研究双曲线的性质1、范围xyo3、顶点4、渐近线5、离心率题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质例1、求双曲线16x2－9y2＝－144的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．

题型二根据双曲线的几何性质求标准方程例4:求下列双曲线的标准方程：例题讲解

1、“共渐近线”的双曲线λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。2、“共焦点”的双曲线（1）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为（2）与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为1、若双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为

。2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角为

。课堂练习离心率设△ABC为等腰三角形，∠ABC=120°,则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（）A.B.C.D.设∠ABC=120°,由余弦定理得又因为双曲线以A、B为焦点且过点C，则所以双曲线的离心率故选B.B[答案]

D

(2009·湖南，12)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．

解析：如图，∵c＞b，∴∠B1F1B2＝60°

重点突破：双曲线的几何性质

已知双曲线

（a>0,b>0）的左，右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上任一点，当取得最小值时，该双曲线的离心率最大值为

.

利用双曲线的定义和基本不等式可求得最值.3因为所以则所以当且仅当时取得最小值，此时又因为则6a≥2c，所以1<≤3，即离心率最大值为3，填3.B练一练·当堂检测、目标达成落实处2.3.2第一课时本讲栏目开关填一填练一练研一研D

练一练·当堂检测、目标达成落实处2.3.2第一课时本讲栏目开关填一填练一练研一研练一练·当堂检测、目标达成落实处2.3.2第一课时本讲栏目开关填一填练一练研一研练一练·当堂检测、目标达成落实处2.3.2第一课时本讲栏目开关填一填练一练研一研12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c椭圆双曲线方程abc关系图象椭圆与双曲线的比较yXF10F2MXY0F1F2

p小结关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐近线..yB2A1A2

B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)2.3.2双曲线简单的几何性质(二)关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率yxOA2B2A1B1..F1F2yB2A1A2

B1

xO..F2F1A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)关于x轴、y轴、原点对称A1（-a，0），A2（a，0）渐进线无关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线..yB2A1A2

B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).

A′A0xC′CB′By131225例题讲解

例2、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离和它到定直线：的距离的比是常数,求点M的轨迹.

y0dxyOlF引例：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹.M解：设点M(x,y)到l的距离为d，则即化简得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)设c2－a2=b2，(a>0,b>0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.b2x2－a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.一、第二定义

双曲线的第二定义平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线xyoFlMF′l′点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(c,0)的是上准线相应于下焦点F′(-c,0)的是下准线F′例3、已知双曲线F1、F2是它的左、右焦点.设点A(9,2),在曲线上求点M，使的值最小,并求这个最小值.xyoF2MA由已知：解：a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:作MN⊥l,AA1⊥l,垂足分别是N,A1,NA1当且仅当M是

AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:归纳总结1.双曲线的第二定义平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。2.双曲线的准线方程对于双曲线准线为对于双曲线准线为注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交二、直线与双曲线的位置关系1)位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)2)位置关系与交点个数XYOXYO相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）计算判别式>0=0<0相交相切相离(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,

Δ>0直线与双曲线相交（两个交点）

Δ=0直线与双曲线相切

Δ<0直线与双曲线相离②相切一点:△=0③相离:△＜0注:①相交两点:△＞0

同侧：＞0

异侧:＜0

一点:直线与渐进线平行特别注意直线与双曲线的位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)只有一个公共点;(4)交于异支两点；(5)与左支交于两点.(3)k=±1，或k=±

；(4)-1＜k＜1；(1)k＜或k＞；(2)＜k＜；2.3.2第二课时研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填练一练研一研2.3.2第二课时研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填练一练研一研2.3.2第二课时研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填练一练研一研1.过点P(1,1)与双曲线只有共有_______条.

变题:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?41.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO（1，1）。2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________3.过原点与双曲线交于两点的直线斜率的取值范围是例4、如图，过双曲线的右焦点倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。三、弦长问题2.3.2第二课时研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填练一练研一研2.3.2第二课时研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填练一练研一研2.3.2第二课时研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填练一练研一研研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练研一研·问题探究、课堂更高效本专题栏目开关填一填研一研练一练审题指导

本题主要考查直线与双曲线的位置关系、向量知识及方程思想的应用．【例5】【题后反思】直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．要注意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数的关系求解．【变式3】2.3.2第二课时研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填练一练研一研2.3.2第二课时研一研·问题探究、课堂更高效本讲栏目开关填一填练一练研一研B

2.3.2第二课时练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填练一练研一研C

2.3.2第二课时练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填练一练研一研22.3.2第二课时练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填练一练研一研2.3.2第二课时练一练·当堂检测、目标达成落实处本讲栏目开关填一填练一练研一研－－韦达定理与点差法例.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：

(1)以2为斜率的弦的中点