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文档简介

行列式展开定理音乐§1.4

11、余子式与代数余子式2在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作即叫做元素的代数余子式．3例如456引理1.1一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如7证当位于第一行第一列时,即有又从而在证一般情形,此时8得9得1011中的余子式12故得于是有13

n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和,即或按第i行展开按第j列展开证略推论:若行列式某行(列)的元素全为零,则行列式的值为零.定理1.2（可展性)14例2设15定理1.3

行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零,即这是因为第i行第j行16同样,行列式对列展开,也有则有172、行列式的计算利用行列式的可展性把高阶行列式转化为较低阶行列式进行计算的方法，称为降阶法；但直接应用按行（列）展开公式计算行列式，运算量较大，因此用降阶法计算行列式应按零较多的行或列展开.实际中通常用行列式的性质把零较多的行或列化为只有一个元素不为零，而后按该行或列展开，对降阶后的行列式再如法进行.降阶法是计算行列式的又一个最基本最重要的方法，须熟练掌握.为了使计算过程更加醒目，特将按第行i(列）展开记为18例11920例2

计算行列式解21

每行元素的和都相等,把第二、三、四列都加到第一列,

例3计算行列式解2223按第一列展开,并由上、下三角形行列式得

例4计算n阶行列式解24例6计算n阶行列式解按第1列展开，(1)25反复利用递推公式得：

(2)由对称性，(1)式又可化为

(1)(3)联列(2)(3),解得26而代入得27

证用数学归纳法，例7证明范德蒙(Vandermonde)行列式2829

n-1阶范德蒙行列式30证毕.31例如,32显然：n阶范德蒙行列式的充要条件是它的元互不相同。例8

（与01年考研试题类似）设、分别为行列式中元素的余子式和代数余子式

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