高中数学选修2-3课件2：1-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

§1.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理高中数学选修2-3·精品课件第一章计数原理

问题1.某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以乘火车，假定汽车每日有3班,火车每日有2班,那么一天中从南京到上海共有多少种不同的走法?5=3+2问题探究

问题2.后来该旅游团改变行程，增加杭州两日游，先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车从杭州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有３班，杭州至上海的汽车每天有2班，那么该团从南京经杭州到上海有多少种不同的方法？=3×26分类加法计数原理

做一件事，完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m

n种不同的方法.

分步乘法计数原理做一件事,完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m

n

种不同的方法.计数原理两个基本计数原理理的联系和区别分类加法计数原理分步乘法计数原理联系区别1（方式不同）区别2（各方法作用不同）完成一件事，共有n类办法，方式是“分类”完成一件事，共分n个步骤，方式是“分步”各类办法相互独立；各类办法中的任何一种方法都能独立地完成这件事.各步骤相互依存，缺一不可；只有把各个步骤全部完成，才能完成这件事.都是研究完成一件事的不同方法种数的计数方法1.一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书:（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有三类办法：第一类办法:从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类办法:从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类办法:从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法.只要从书架上任意取出一本书，任务即完成，由分类加法计数原理，可得不同的取法共有N=5+3+2=10（种）.合作探究（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分三个步骤完成：第一步从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二步从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三步从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有N=5×3×2=30（种）.探究成果:

1.应用两个基本计数原理解题时，要明确是“分类”？还是“分步”？“分类”完成用加法计数原理;“分步”完成用乘法计数原理；

2.注意解题步骤的规范。解：（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有

N=5×4×3×2=120（个）2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？合作探究（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；第三步从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法；第四步从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）合作探究(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字,有2种不同的选取方法；第二步确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第三步确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第四步确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有

N=2×3×3×2=36（个）.合作探究(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字,有2种不同的选取方法；第二步确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第三步确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第四步确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有

N=2×3×3×2=36（个）.合作探究探究成果2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。3.对于同一个事件的处理，可以采用不同的解法，但结果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果。1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步，按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的基本方法。用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？解：完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法：第一类办法四位偶数的个位数字为0，这件事分三个步骤完成：第一步从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第三步从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有N1=4×3×2=24（个）变式练习用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？解：完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法：第一类办法四位偶数的个位数字为0，这件事分三个步骤完成：第一步从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第三步从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有N1=4×3×2=24（个）变式练习第二类办法四位偶数的个位数字为2或4，这件事分四个步骤完成：第一步从2，4中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法；第二步从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；第三步从1，2，3，4剩余的两个数字与0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；第四步从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，第二类的四位偶数共有N2=2×3×3×2=36（个）最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位偶数共有

N=N1+N2=24+36=60（个）

3.我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值的一面叫反面。现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”.问一共可以得到多少个不同的这样的序列？解：分5个步骤完成这件事，每个步骤都有“正”或“反”两种不同的情况，有分步乘法计数原理，得N=2×2×2×2×2=25=32,所以一共可以得到32个不同的序列.探究成果:

应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复.合作探究

3.我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值的一面叫反面。现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正”或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”.问一共可以得到多少个不同的这样的序列？解：分5个步骤完成这件事，每个步骤都有“正”或“反”两种不同的情况，有分步乘法计数原理，得N=2×2×2×2×2=25=32,所以一共可以得到32个不同的序列.探究成果:

应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复.合作探究巩固练习一个科技小组中有3名女同学，5名男同学。从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法____种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_____种.8153.3位旅客到4个旅馆住宿，有

种不同的住宿方法.2.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通.从甲地经过乙地或丁地到丙地共有

种不同的走法.1464课堂小结2.其次分类要不重不漏，分步要步骤完整.一、两个基本计数原理：1.分类加法计数原理：N=m1+m2+…+m

n

；2.分步乘法计数原理：N=m1×m2×…×m

n

.二、

应用两个基本计数原理解题时应注意的问题：1.首先必须明确怎样就“完成这件事”？3.还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排以及是否重复等.自学训练1.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数是多少？2.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是多少？3.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？4.甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，每门学科只有一名冠军产生，有多少种不同的冠军获得情况？自学训练1.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数是多少？2.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是多少？3.设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？4.甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，每门学科只有一名冠军产生，有多少种不同的冠军获得情况？1.由1,2,3,4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)?解：组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个；第二类：二位自然数，共有4×4＝16(个)；第三类：三位自然数，共有4×4×4＝64(个)；第四类：四位自然数，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．小组竞学分类加法计数原理的综合应用变式1:从1～20共20个整数中任取两个相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？解:第一类：两个偶数相加，由分步乘法计数原理，共有45(种)不同的取法；第二类：两个奇数相加，由分步乘法计数原理，共有45(种)不同的取法．由分类加法计数原理得，共有45＋45＝90(种)不同取法．变式练习2.(1)有5本书全部借给3名学生，有多少种不同的借法？(2)有3名学生分配到某工厂的5个车间去参加社会实践，有多少种不同的分配方案？小组竞学分步乘法计数原理的综合应用解：(1)中要完成的事件是把5本书全部借给3名学生，可分5个步骤完成．每一步把一本书借出去，有3种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(种)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3个学生分配到5个车间中，可分3个步骤完成，每一步分配一名学生，有5种不同的方法，根据分步乘法计数原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(种)不同的分配方案．变式2：(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？

变式练习解：(1)该问题中要完成的事是4名同学报名，因而可按学生分步完成，每一名同学有3种选择方法，故共有34＝81(种)报名方法．(2)该问题中，要完成的事是三项冠军花落谁家，故可按冠军分步完成，每一项冠军都有4种可能，故可能的结果有43＝64(种)．3.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，问有多少种不同的涂色方案？师生合作探究

分类计数与分步计数的综合应用先分两类：第一类：D与A不同色，分四步完成．第一步涂A有5种方法；第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有2种方法，则共有5×4×3×2＝120(种)方法．第二类：D与A同色，分三步完成．第一步涂A和D有5种方法；第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法，则共有5×4×3＝60(种)方法．所以共有120＋60＝180(种)不同的涂色方案．规范解答变式3.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，则不同的种植方法共有多少种(以数字作答)?变式练习解：分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块试验田，有3种方法，不妨设种a，再安排第二块试验田种b或c，有2种方法，不妨设种b，安排第三块试验田也有2种方法，种c或a.(1)若第三块试验田种c,则第四、五块田分别有2种种法，共有2×2种种法．(2)若第三块试验田种a:第四块田仍有2种种法abcaba变式练习①若第四块田种c：

则第五块田仍有2种种法．②若第四块田种b：

则第五块田只能种c，只有1种种法．综上，共有3×2×[2×2＋(2＋1)]＝42(种)种法．abacabab变式练习课堂反馈1.书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有6本不同的语文书，下层放有4本不同的英语书，从中任取1本书的不同取法的种数是（）

A.5+6＋4=15B.1C.6×5×4=120D.3

A

2.在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各一本,则不同取法的种数是()A.1+1+1=3B.5+6+4=15C.5×6×4=120D.1C4.火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（）种

A.510B.105C.50D.以上都不对A3.把四封信任意投入三个信箱中,不同投法种数是()A.12B.64C.81D.7C课堂反馈弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件,这两个原理都是指完成一件事而言的,其区别在于：课堂小结（1）分类计数原理是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事；（2）分步计数原理是“分步”；每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事!课堂反馈1.书架的上层放有5本不同的数学书，中层放有6本不同的语文书，下层放有4本不同的英语书，从中任取1本书的不同取法的种数是（）

A.5+6＋4=15B.1C.6×5×4=120D.3

A

2.在上题中,如果从中任取3本,数学,语文,英语各一本,则不同取法的种数是()A.1+1+1=3B.5+6+4=15C.5×6×4=120D.1C解：分别用a，b，c代表3种作物，先安排第一块试验田，有3种方法，不妨设种a，再安排第二块试验田种b或c，有2种方法，不妨设种b，安排第三块试验田也有2种方法，种c或a.(1)若第三块试验田种c,则第四、五块田分别有2种种法，共有2×2种种法．(2)若第三块试验田种a:第四块田仍有2种种法abcaba变式练习（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的选取方法；第二步从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；第三步从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法；第四步从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法；由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）合作探究（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，可以分三个步骤完成：第一步从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二步从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三步从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有N=5×3×2=30（种）.探究成果:

1.应用两个基本计数原理解题时，要明确是“分类”？还是“分步”？“分类”完成用加法计数原理;“分步”完成用乘法计数原理；

2.注意解题步骤的规范。

问题1.某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以乘火车，假定汽车每日有3班,火车每日有2班,那么一天中从南京到上海共有多少种不同的走法?5=3+2问题探究

问题2.后来该旅游团改变行程，增加杭州两日游，先乘汽车从南京至杭州，两天后再乘汽车从杭州至上海，假定南京至杭州的汽车每天有３班，杭州至上海的汽车每天有2班，那么该团从南京经杭州到上海有多少种不同的方法？=3×261.一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书:（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取三本书，其中数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取一本书，有三类办法：第一类办法:从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法；第二类办法:从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法；第三类办法:从书架下层任取一本英语书，有2种不同