高中数学选修2-3课件1：2-3-1 离散型随机变量均值

§2.3.1离散型随机变量的均值高中数学选修2-3·精品课件第二章随机变量及其分布某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？18×1/2+24×1/3+36×1/6=23元/kg问题探究

x182436

p1/21/31/618×1/2+24×1/3+36×1/6=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

均值定义X……P……一般地,若离散型随机变量X的概率分布为

为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望.

它反映了离散型随机变量取值的平均水平.理论迁移

离散型随机变量X的概率分布列为①求X可能取值的算术平均数②求X的均值X1100P0.010.99

例题解析1.随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的均值

X123456

P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为EX=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望

Y35791113P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6,其分布列为所以随机变量Y的均值为EY=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8变式：将所得点数的2倍加1作为得分数,即Y=2X+1，试求Y的均值？EY=2EX+1例题解析aEX+b设X是离散型随机变量,若Y=ax+b,其中a,b为常数则EY=证：设离散型随机变量X的概率分布为X……P……Y……P……所以Y的分布列为Y……P……所以Y的分布列为均值的性质(1)随机变量均值的线性性质

解:ξ的分布列为所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．

ξ01

P0.150.85P1-PP1-PP2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？例题解析解:ξ的分布列为所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．

ξ01

P0.150.85P1-PP1-PP2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？例题解析变式：若姚明在某次比赛中罚球10次,求他罚球的得分ξ的均值？若ξ～B(1，0.85),则Eξ=0.85若ξ～B(10，0.85),则Eξ=?篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？例题解析

求证：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+

…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)(∵kCnk=n

Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+

…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)(∵kCnk=n

Cn-1k-1)=np(p+q)n-1=np均值的性质(2)服从两点分布的均值若ξ~B(1，p)，则Eξ=p(3)服从二项分布的均值若ξ~B(n，p)，则Eξ=np例题解析3.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值.

解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η，所以，他们在测验中的成绩的均值分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η，所以，他们在测验中的成绩的均值分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．

10课堂练习1.若Eξ=3，ω=2ξ+4，则Eω=____.

课堂小结1、离散型随机变量均值的定义一般地,若离散型随机变量X的概率分布为X……P……

则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望.

2、离散型随机变量均值的性质(1)随机变量均值的线性性质若ξ~B(n，p)，则Eξ=np(2)服从两点分布的均值(3)服从二项分布的均值若ξ~B(1，p)，则Eξ=p

10课堂练习1.若Eξ=3，ω=2ξ+4，则Eω=____.

例题解析3.一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值.

aEX+b设X是离散型随机变量,若Y=ax+b,其中a,b为常数则EY=证：设离散型随机变量X的概率分布为X……P……例题解析1.随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的均值

X123456

P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为EX=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？18×1/2+24×1/3+36×1/6=23元/kg问题探究

理论迁移

离散型随机变量X的概率分布列为①求X可能取值的算术平均数②求X的均值X1100P0.010.99

aEX+b设X是离散型随机变量,若Y=ax+b,其中a,b为常数则EY=证：设离散型随机变量X的概率分布为X……P……例题解析1.随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的均值

X123456

P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为EX=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？均值定义X……P……一般地,若离散型随机变量X的概率分布为