串讲04 两条直线的位置关系（考点串讲）（解析版）

串讲04两条直线的位置关系知识结构要点梳理知识点一两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔__k1＝k2__l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示知识点二过一点与已知直线平行的直线方程(1)由已知直线求出斜率，再利用平行的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1.知识点三两条直线的交点坐标(1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．(2)应用：可以利用两直线的__交点个数__判断两直线的位置关系．一般地，将直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0,A2x＋B2y＋C2＝0)).当方程组__有唯一__解时，l1和l2相交，方程组的解就是交点坐标；当方程组__无__解时，l1与l2平行；当方程组__有无数组__解时，l1与l2重合．知识点四两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于__－1__；如果它们的斜率之积等于－1，那么它们__互相垂直__．[归纳总结]当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存在且乘积为定值－1，也可能一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较小倾斜角与直角的和．知识点五距离公式1、两点间的距离公式一般地，设、为平面内任意两点，、之间的距离2、点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝__eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))__.3、两条平行直线间的距离一般地，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C1＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C1|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式．题型探究：考点一两直线平行的判定例1.下列说法中正确的有（

）①若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行；②若，则；③所有的直线都有倾斜角；④若两条直线的垂直，则它们的斜率之积为-1.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】对于①，根据斜率的定义进行判断；对于②，举出反例；对于③，根据倾斜角定义得到③正确；对于④，举出反例.【详解】对于①，若两条不同直线的斜率相等，则两直线平行，正确；对于②，若，但可能斜率不存在，此时不能得到，错误；对于③，所有的直线都有倾斜角，正确；对于④，若两条直线中，一条直线斜率为0，另一条没有斜率，也满足垂直关系，但不满足它们的斜率之积为-1，错误.，故正确的个数为2.故选：B例2.判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行：(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；(3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2，0)；(4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．[分析]斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2进行判断，若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论．[解析](1)k1＝eq\f(1－－2,2－－1)＝1，k2＝eq\f(－1－4,－1－3)＝eq\f(5,4)，k1≠k2，l1与l2不平行．(2)k1＝1，k2＝eq\f(2－1,2－1)＝1，k1＝k2，故l1∥l2或l1与l2重合．(3)k1＝eq\f(0－1,1－0)＝－1，k2＝eq\f(0－3,2－－1)＝－1，则有k1＝k2.又kAM＝eq\f(3－1,－1－0)＝－2≠－1，则A，B，M不共线．故l1∥l2.(4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.【归纳提升】两直线平行的判定及应用1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下)．2．若已知两直线平行，求其参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解．【变式】1.直线与直线的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．异面【答案】A【解析】由斜率和纵截距判断．【详解】直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为，直线方程化为，直线斜率为2，纵截距为，两直线斜率相等，纵截距不相等，两直线平行．故选：A．2.已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx＋y－1－m＝0，当时，m＝【答案】1【分析】根据两直线平行的判定方法即可求得结果【详解】因为，且斜率一定存在，所以，即，又因为，为两条不同的直线，所以，所以故答案为：1考点二两直线的交点问题例3.直线x-y+2＝0与x+y-2＝0的交点坐标是（）A．（0，2） B．（2，0） C．（1，1） D．（-1，1）【答案】A【分析】联立方程组进行求解即可求出直线的交点坐标．【详解】由，得，即交点坐标为(0，2).故选：A．例4．两直线和的交点为．【答案】【分析】联立两条直线的方程可得交点.【详解】由题意可得，解得，交点坐标为.故答案为：【归纳提升】两条直线相交的判定方法：(1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交；(2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直线相交．【变式】1.已知直线，则与的交点坐标是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】联立两直线方程，解方程即可得出交点的坐标.【详解】由题意知，，所以两直线的交点为，故选：A2.一次函数与的图象的交点坐标是．【答案】【分析】将一次函数的解析式联立起来，解方程组即可.【详解】联立次函数的解析式可得：，解得，于是图象的交点坐标为．故答案为：．考点三两条直线垂直关系的判断例5.判断下列各题中的直线l1、l2是否垂直：(1)l1经过点A(－1，－2)、B(1,2)，l2经过点P(－2，－1)、Q(2,1)；(2)l2经过点A(3,4)、B(3,6)，l2经过点P(－5,20)、Q(5,20)；(3)l1经过点A(2，－3)、B(－1,1)，l2经过点C(0，－1)、D(4,2)．【解析】(1)直线l1的斜率k1＝eq\f(2－－2,1－－1)＝2，直线l2的斜率k2＝eq\f(1－－1,2－－2)＝eq\f(1,2)，因为k1·k2＝1，所以l1与l2不垂直．(2)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率k2＝eq\f(20－20,5－－5)＝0，所以l1⊥l2.(3)直线l1的斜率k1＝eq\f(1＋3,－1－2)＝－eq\f(4,3)，直线l2的斜率k2＝eq\f(2－－1,4－0)＝eq\f(3,4)，因为k1·k2＝－1，所以l1⊥l2.【归纳提升】两条直线垂直的判定条件：(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直．【变式探究】1．已知直线与直线互相垂直，则m为（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可得出答案.【详解】两直线垂直，则有，即，解得.故选：C2.已知直线的斜率，直线的斜率，则与()A．平行

B．垂直

C．重合

D．非以上情况【答案】B【详解】根据斜率乘积为-1，可知两条直线垂直故选：B考点四平行、垂直的应用例6．过点且与直线平行的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解.【详解】设过点且与直线平行的直线方程是，将点的坐标代入直线的方程得，解得，故所求直线方程为，即.故选：A.[归纳提升]过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法：(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写方程；(2)可利用如下待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由直线所过的点确定C2.例7．过点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据两直线互相垂直可得所求直线的斜率，利用直线的点斜式方程即得.【详解】由直线可得其斜率为：，则与其垂直的直线斜率为，故过点且与直线垂直的直线方程为，即：.故选：C.【变式探究】1.经过点，且与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出直线斜率，利用点斜式写出直线方程即可.【详解】直线斜率为，故经过点，且与直线平行的直线方程为，整理得.故选：B.2.过点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式求解.【详解】直线的斜率为，所以与直线垂直的直线斜率为，故由点斜式可得，即，故选：B考点五点到直线的距离公式例8.原点到直线间的距离是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可.【详解】原点到直线间的距离是：.故选：A例9.已知点到直线的距离为2，则．【答案】【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题意可得，故答案为：[归纳提升]1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．【变式探究】1.已知点，直线：，则点到直线的距离为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点，直线，则点到直线l的距离,故选：.2．已知直线过原点，且点到直线的距离为1，则直线的斜率.【答案】0或【分析】对直线的斜率分类讨论，再利用点到直线的距离公式即可得出．【详解】当直线的斜率不存在时，即为轴，不满足条件，舍去．直线的斜率存在时，设直线的方程为，点，到直线的距离为1，，化为，解得或．故答案为：0或．考点六求两平行直线的距离例9.两条平行直线和间的距离为，则，分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数，再利用平行线间距离公式可得.【详解】由直线与直线平行，得，解得，所以两直线分别为和，即和，所以两直线间距离，故选：D.例10.若：与：平行，则．【答案】3【分析】根据两直线平行的条件列方程，解方程得到m的值，将m的值代入方程验证即可.【详解】因为直线：与：平行，所以，解得，将代入两直线方程，得：，：，两直线平行.故答案为：3[归纳提升]求两平行直线间距离的两种思路：(1)转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两条平行直线间距离公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【变式】1.两条平行直线：，：之间的距离是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解.【详解】因为：，：，所以它们之间的距离为.故选：B.2.已知直线与直线平行，则与之间的距离为【答案】/【分析】利用两直线平行的条件及两直线平行间的距离公式即可求解.【详解】由.所以直线：所以与之间的距离：故答案为：素养作业1.下列说法中，正确的个数为（

）①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交；④若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据直线平行和斜率之间的关系分别判断即可【详解】若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，所以①不正确；若两条直线都垂直于x轴，则这两条直线的斜率都不存在，所以②不正确；若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行或重合，所以④不正确；显然③正确．故选：A．2.直线和的位置关系是（

）A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定【答案】B【解析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可.【详解】由，因此该直线的斜率为：.由，因此该直线的斜率为：，因为，所以这两条直线相交但不垂直.故选：B3.过点和点的直线与轴的位置关系是A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直【答案】B【解析】根据两点纵坐标相同即可判断出位置关系.【详解】两点的纵坐标都等于

直线方程为：直线与轴平行本题正确选项：4.已知点，若直线与直线垂直，则实数（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据垂直直线的斜率关系，结合斜率公式即可求解.【详解】直线的斜率为：，因为直线与直线垂直，所以，解得：.故选：B.5．已知直线，，若，则实数（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由两直线垂直