1.2.1集合之间的关系

1．2集合之间的关系与运算1．2.1集合之间的关系学习目标学习导航重点难点重点：能识别给定集合的子集．难点：集合之间的关系与其特征性质．新知初探思维启动维恩(Venn)图：通常用平面内一条_________的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩图．1.维恩图封闭曲线定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的___________元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集.A⊆B(或B⊇A)2.子集、真子集与集合相等的概念任意一个定义符号语言图形语言(Venn图)真子集如果集合A是集合B的子集，并且B中______

________不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集A

B(或B

A)集合相等如果集合A的________

______都是集合B的元素，反过来，集合B的___________也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合BA＝B至少有每一个一个元素元素每一个元素想一想1.符号“∈”与“⊆”有何区别？提示：(1)“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如有1∈N，－1∉N.(2)“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如有N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}．(3)“∈”的左边是元素，右边是集合，而“⊆”的两边均为集合．做一做在下列各关系中，正确的个数是(

)①1∈{0，1，2}；②{1}∈{0，1，2}；③{0，1，2}⊆{0，1，2}；④{0，1，2}＝{2，0，1}．A．1

B．2C．3 D．4答案：C(1)规定：空集是_______________的子集，也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.(2)任何一个集合A都是它本身的_______，即A⊆A.(3)如果A⊆B，B⊆C，则_________．3.性质任意一个集合子集A⊆C(4)如果A

B，B

C，则________．(5)若A⊆B，B⊆A，则A＝B；反之，____________________________．A

C若A＝B，则A⊆B且B⊆A想一想2.0，{0}，∅，{∅}之间有什么关系？提示：0∈{0}，0∉∅，0∉{∅}，∅∈{∅}，∅

{∅}．我们可以通过判断两个集合之间的关系来判断它们的_______________的关系；或用集合特征性质之间的关系，判断_________的关系.4.集合关系与其特征性质之间的关系特征性质之间集合之间典题例证技法归纳题型一子集、真子集的概念及应用

设集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x⊆A}，求集合B.题型探究例1【解】

∵A＝{1，2，3}，∴A的子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．又∵B＝{x|x⊆A}，∴B＝{∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}．【名师点评】集合B中的代表元素为x，x满足的条件是x⊆A，即x是A的子集，即集合B是集合A的子集构成的集合．互动探究1.在本例中将“集合B＝{x|x⊆A}”改为“集合B中含有两个元素且集合B＝{x|x∈A}”，怎样求集合B的子集？解：由题意知B＝{1，2}或{1，3}或{2，3}，当B＝{1，2}时，B的子集为∅，{1}，{2}，{1，2}；当B＝{1，3}时，B的子集为∅，{1}，{3}，{1，3}；当B＝{2，3}时，B的子集为∅，{2}，{3}，{2，3}．

设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．题型二集合的相等例2【解】

∵A＝B，∴x＝0或y＝0.(1)当x＝0时，x2＝0，则B中的元素0重复出现，此时集合B不满足互异性，舍去．(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝1或x＝0(舍去)，此时A＝{1，0}＝B，满足条件．综上可知，x＝1，y＝0.【名师点评】两集合相等可以从两个角度进行描述：一是从元素角度，两集合所含元素完全相同，但与集合顺序无关；二是从包含角度看，A＝B⇔A⊆B且B⊆A.变式训练2.已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，求a，b的值． (本题满分12分)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围．题型三根据集合的关系，求参数的取值范围例3名师微博不要遗漏∅的情况，B＝∅是初学者易忽视的地方.【名师点评】

(1)A⊆B包括A

B和A＝B两种情形；其中A为空集也满足题意．(2)由集合之间的包含关系求参数的取值范围问题，一般要先化简集合为最简的集合形式,借助于数轴的直观性，转化为关于参数的方程(组)或不等式(组)解决．变式训练3.已知A＝{x|ax－10＝0}，B＝{2，5}满足A⊆B.求实数a.解：(1)当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.(2)当a≠0时，A可能为{2}或{5}．当x＝2时，a＝5；当x＝5时，a＝2.综上，满足条件A⊆B的a值为0，2，5.1.写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．解：子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c}．真子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}．备选例题2.说出下列每对集合之间的关系．(1)A＝{a，b，c}，B＝{c，b，a}；(2)P＝{x|x是偶数}，Q＝{x|x是整数}；(3)C＝{x|x2＝4}，D＝{－2，2，0}．解：(1)集合A与B中元素完全相同，故A＝B.(2)因整数集包括偶数集和奇数集，故P

Q.(3)集合C＝{x|x2＝4}＝{－2，2}故C

D.3.若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B

A，求m的值．分析：由B

A知方程mx＋1＝0无解，或mx＋1＝0的解是方程x2＋x－6＝0的解中的一个，求出m的值．方法技巧1.元素与集合间的关系用符号“∈”或“∉”表示，集合与集合间的关系用“⊆”、“”、“＝”或“”等表示．方法感悟2.在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则此时{1}∈B而不能是{1}

B.3.解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：(1)当A⊆B时，则A＝