考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷1（共113题）

考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷1（共4套）（共113题）考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα—2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=—3的特征向量是()A、αB、Aα+2αC、A2α—Aa。D、A2α+2Aα—3α标准答案：C知识点解析：因为A3α+2A2α—3Aα=0。故(A+3E)(A2α—Aα)=0=0(A2α—Aα)。因为α，Aα，A2α线性无关，必有A2α—Aα≠0，所以A2α—Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，即矩阵A属于特征值λ=—3的特征向量，故选C。2、设三阶矩阵A的特征值是0，1，—1，则下列选项中不正确的是()A、矩阵A—E是不可逆矩阵。B、矩阵A+E和对角矩阵相似。C、矩阵A属于1与—1的特征向量相互正交。D、方程组Ax=0的基础解系由一个向量构成。标准答案：C知识点解析：因为矩阵A的特征值是0，1，—1，所以矩阵A—E的特征值是—1，0，—2。由于λ=0是矩阵A—E的特征值，所以A—E不可逆。因为矩阵A+E的特征值是1，2，0，矩阵A+E有三个不同的特征值，所以A+E可以相似对角化。(或由A～ΛA+E～Λ+E而知A+E可相似对角化)。由矩阵A有一个特征值等于0可知，r(A)=2，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由n—r(A)=3—2=1个解向量构成。C选项的错误在于，若A是实对称矩阵，则不同特征值的特征向量相互正交，而一般n阶矩阵，不同特征值的特征向量仅仅线性无关并不一定正交，故选C。3、设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则A的伴随矩阵A*的特征值之一是()A、λ—1｜A｜nB、λ—1｜A｜C、λ｜A｜D、λ｜A｜n标准答案：B知识点解析：设向量x(x≠0)是与λ对应的特征向量，则Ax=λx。两边左乘A*，结合A*A=｜A｜E得A*Ax=A*(λx)，即｜A｜x=λA*x，从而A*x=，可见A*有特征值=λ—1｜A｜，故选B。4、设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中①A2；②P—1AP；③AT；④α肯定是其特征向量的矩阵个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：B知识点解析：由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。知α必是矩阵属于特征值的特征向量。关于②和③则不一定成立。这是因为(P—1AP)(P—1α)=P—1Aα=λP—1α，按定义，矩阵P—1AP的特征向量是P—1α。因为P—1α与α不一定共线，因此α不一定是P—1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。线性方程组(λE—A)x=0与(λE—AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量，故选B。5、n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的()A、充分必要条件。B、必要而非充分条件。C、充分而非必要条件。D、既非充分也非必要条件。标准答案：B知识点解析：由A～B，即存在可逆矩阵P，使P—1AP=B，故｜λE—B｜=｜λE—P—1AP｜=｜P—1(λE—A)P｜=｜P—1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜，即A与B有相同的特征值。但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似。例如虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似。所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值，故选B。6、设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中①AB～BA；②A2～B2；③AT～BT；④A—1～B—1。正确的个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：D知识点解析：因A～B，可知存在可逆矩阵P，使得P—1AP，=B，于是P—1A2P=B2，PTAT(PT)—1=BT，P—1A—1P=B—1，故A2～B2，AT～BT，A—1～B—1。又由于A可逆，可知A—1(AB)A=BA，即AB～BA。正确的命题有四个，故选D。7、设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，—2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，—α2)，则P—1AP=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由Aα2=3α2，有A(—α2)=3(—α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，—α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2α3仍是矩阵A属于特征值λ=—2的特征向量。当P—1AP=Λ时，P由A的特征向量构成，Λ由A的特征值构成，且P与Λ的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，—2，故对角矩阵Λ应当由1，3，—2构成，因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=—2的特征向量，所以—2在对角矩阵Λ中应当是第二列，故选A。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设A=有二重特征根，则a=________。标准答案：知识点解析：｜λE—A｜==(λ—2)[λ2—2λ—2(a—2)]=0。如果λ=2是二重根，则λ=2是λ2—2λ—2(a—2)=0的单根，故a=2。如果λ2—2λ—2(a—2)=0是完全平方，则有△=4+8(a—2)=0，满足λ=1是一个二重根，此时a=。9、已知λ=12是A=的特征值，则a=________。标准答案：4知识点解析：因为λ=12是A的特征值，因此｜12E—A｜=0，即所以a=4。10、已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=________。标准答案：—1知识点解析：A的特征多项式为｜λE—A｜==(λ+1)3，所以矩阵A的特征值是—1，且为三重特征值，但是A只有两个线性无关的特征向量，故r(—E—A)=1，因此a=—1。11、设α=(1，—1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。标准答案：k(1，—1，1)T，k≠0知识点解析：令B=αβT，则矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0。那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。因为λ=3是矩阵A的特征值，所以a+2=3，即a=1。于是Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α，即α=(1，—1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也即矩阵A属于特征值λ=3的特征向量为k(1，—1，1)T，k≠0。12、设矩阵A与B=相似，则r(A)+r(A—2E)=________。标准答案：3知识点解析：矩阵A与B相似，则A—2E与B—2E相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以r(A)+r(A—2E)=r(B)+r(B—2E)=2+1=3。13、设x为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—xxT的秩为________。标准答案：2知识点解析：由题设知，矩阵xxT的特征值为0，0，1，故E—xxT的特征值为1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E—xxT)=2。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)14、设矩阵A=，行列式｜A｜=—1，又A*的属于特征值λ0的一个特征向量为α=(—1，—1，1)T，求a，b，c及λ0的值。标准答案：AA*=｜A｜E=—E。对于A*α=λ0α，用A左乘等式两端，得λ0Aα=—α，即由此可得(1)—(3)得λ0=1。将λ0=1代入(2)和(1)，得b=—3，a=c。由｜A｜=—1和a=c，有=a—3=—1，即得a=c=2。故a=2，b=—3，c=2，λ0=1。知识点解析：暂无解析15、已知λ1，λ2，λ3是A的特征值，α1，α2，α3是相应的特征向量且线性无关。证明：如α1+α2+α3仍是A的特征向量，则λ1=λ2=λ3。标准答案：若α1+α2+α3是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则A(α1+α2+α3)=λ(α1+α2+α3)。又A(α1+α2+α3)=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3，于是有(λ—λ1)α1+(λ—λ2)α2+(λ—λ3)α3=0。因为α1，α2，α3线性无关，故λ—λ1=0，λ—λ2=0，λ—λ3=0，即λ1=λ2=λ3。知识点解析：暂无解析16、设矩阵相似，求x，y；并求一个正交矩阵P，使P—1AP=Λ。标准答案：A与Λ相似，相似矩阵有相同的特征值，故λ=5，λ=—4，λ=y是A的特征值。因为λ=—4是A的特征值，所以｜A+4E｜==9(x—4)=0，解得x=4。又因为相似矩阵的行列式相同，｜A｜==—100，｜Λ｜=—20y，所以y=5。当λ=5时，解方程(A—5E)x=0，得两个线性无关的特征向量，将它们正交化、单位化得P1=。当λ=—4时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量，单位化得P3=。令P=(P1，P3，P2)=，则P—1AP=Λ。知识点解析：暂无解析17、已知矩阵A与B相似，其中。求a，b的值及矩阵P，使P—1AP=B。标准答案：由A与B相似，得解得a=7，b=—2。由矩阵A的特征多项式｜λE—A｜==λ2—4λ—5，得A的特征值是λ1=5，λ2=—1。它们也是矩阵B的特征值。分别解齐次线性方程组(5E—A)X=0，(—E—A)x=0，可得到矩阵A的属于λ1=5，λ2=—1的特征向量依次为α1=(1，1)T，α2=(—2，1)T。分别解齐次线性方程组(5E—B)x=0，(—E—B)x=0，可得到矩阵B的属于λ1=5，λ2=—1的特征向量分别是β1=(—7，1)T，β2=(—1，1)T。令P1=，则有p1—1AP1==P2—1BP2。取P=P1P2—1=，即有P—1AP=B。知识点解析：暂无解析18、设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=—1，λ3=0；对应λ1，λ2的特征向量依次为p1=(1，2，2)T，p2=(2，1，—2)T，求A。标准答案：因为A为实对称矩阵，故必存在正交矩阵Q=(q1，q2，q3)，使QTAQ=Q—1AQ==Λ。将对应于特征值λ1，λ2的特征向量p1=单位化，得由正交矩阵的性质，q3可取为=0的单位解向量，则由可知q3=，因此A=QΛQT=。知识点解析：暂无解析A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且19、求A的所有特征值与特征向量。标准答案：由，得即特征值λ1=—1，λ2=1对应的特征向量为α1=。又由r(A)=2＜3可知，A有一个特征值为0。设λ3=0对应的特征向量为。两两正交，于是得由此得是特征值0对应的特征向量。因此k1α1，k2α2，k3η是依次对应于特征值—1，1，0的特征向量，其中k1，k2，k3为任意非零常数。知识点解析：暂无解析20、求矩阵A。标准答案：令则A=PΛP—1知识点解析：暂无解析21、设A=，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。标准答案：按已知条件，(1，2，1)T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ1，那么知矩阵A的特征值是2，5，—4。对λ=5，由(5E—A)x=0得基础解系α2=(1，—1，1)T。对λ=—4，由(—4E—A)x=0得基础解系α3=(—1，0，1)T。因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α2，α3，即γ2=(1，—1，1)T，γ3=(—1，0，1)T，令Q=，则有QTAQ=Q—1AQ=。知识点解析：暂无解析在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。22、求关系式中的矩阵A。标准答案：由题意，人口迁移的规律不变xn+1=xn+qyn—pxn=(1—p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn—qyn=pxn+(1—q)yn，知识点解析：暂无解析23、设目前农村人口与城镇人口相等，即。标准答案：由，由｜A—λE｜==(λ—1)(λ—1+p+q)，得A的特征值为λ1=1，λ2=r，其中r=1—p—q。当λ1=1时，解方程(A—E)x=0，得特征向量P1=；当λ2=r时，解方程(A—rE)x=0，得特征向量P2=。令P=(P1，P2)=，则P—1AP==Λ，A=PΛP—1，An=PΛnP—1。于是知识点解析：暂无解析考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第2套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次为α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，则P-1AP=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题意得，Aα2=3α2，因此有A(-α2)=3(-α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，-α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理2α3仍是矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量。当P-1AP=Λ时，P由A的特征向量所构成，Λ由A的特征值所构成，且P的列向量与Λ对角线上的元素的位置是一一对应的。因为已知矩阵A的特征值是1，3，-2，故对角矩阵Λ对角线上元素应当由1，3，-2构成，因此排除(B)、(C)。由于2α3是属于λ=-2的特征向量，所以-2在对角矩阵Λ中应当是第2列第2行的元素，故应选(A)。2、设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是()A、若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量。B、若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量。C、若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量。D、若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量。标准答案：D知识点解析：若α是2A的特征向量，即(2A)α=λα，α≠0。那么Aα=λα，所以α是矩阵A属于特征值的特征向量，故(D)正确。由于(λE-A)x=0与(λE-AT)x=0不一定同解，所以口不一定同时是AT和A的特征向量。例如该例还说明当矩阵A不可逆时，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量不一定是A的特征向量。所以应选(D)。3、设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α2+α2)线性无关的充分必要条件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。标准答案：B知识点解析：设k1α1+k2A(α1+α2)=0，由题设条件得(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0，由于α1，α2是属于A的不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关，从而所以，α1，A(α1+α2)线性无关k1=k2=0行列式λ2≠0，即选项(B)正确。4、若n阶可逆矩阵A的属于特征值λ的特征向量是α，则在下列矩阵中，α不是其特征向量的是()A、(A+E)2。B、-3A。C、A*。D、AT。标准答案：D知识点解析：由题意Aα=λα，所以(A+E)2α=(A2+2A+E)α=(λ2+2λ+1)α=(λ+1)2α，且-3Aα=-3λα，A*α=｜A｜A-1α=。由定义知α是(A)、(B)、(C)中矩阵的特征向量，故选(D)。5、已知三阶矩阵A与三维非零列向量α，若向量组α，Aα，A2α线性无关，而A3α=3Aα-2A2α，那么矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α-Aα。D、A2α+2Aα-3α。标准答案：C知识点解析：由已知A3α+2A2α-3Aα=0，即有(A+3E)(A2α-Aα)=0=O(A2α-Aα)。因为α，Aα，A2α线性无关，那么必有A2α-Aa≠0，所以，A2α-Aα是矩阵A+3E属于特征值λ=0的特征向量，亦即矩阵A属于特征值λ=-3的特征向量。所以应选(C)。6、设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中，(1)A2。(2)P-1AP。(3)AT。(4)E-A。α肯定是其特征向量的矩阵共有()A、1个。B、2个。C、3个。D、4个。标准答案：B知识点解析：由题意Aα=λα，α≠0，于是有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，α≠0，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。又(E-A)α=α-Aα=(1-)α，α≠0，知α必是矩阵E-A属于特征值1-的特征向量。对于(2)和(3)则不一定成立。这是因为(P-1AP)(P-1α)=P-1Aα=λP-1α，依定义，矩阵P-1AP的特征向量是P-1α。由于P-1α与α不一定共线，因此α不一定是P-1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。线性方程组(λE-A)x=0与(λE-AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量。7、已知矩阵则与A相似的矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：对于(B)选项中的矩阵B，有因此R(E-B)=1，所以矩阵B对应λ=1有两个线性无关的特征向量。故B相似于A。8、设A为n阶方阵，且Ak=O(k为正整数)，则()A、A=O。B、A有一个不为0的特征值。C、A的特征值全为0。D、A有n个线性无关的特征向量。标准答案：C知识点解析：设λ是A的一个特征值，则λk是Ak的特征值。因为Ak=O，且零矩阵的特征值只能是零，所以Ak的全部特征值应为0，从而λk=0，故λ=0。故选(C)。9、已知α1=(-1，1，t，4)T，α2=(-2，1，5，t)T，α3=(t，2，10，1)T分别是四阶方阵A的三个不同的特征值对应的特征向量，则()A、t≠5。B、t≠-4。C、t≠-3。D、t≠-3且t≠-4。标准答案：A知识点解析：因为矩阵的不同特征值对应的特征向量必线性无关，所以R(α1，α2，α3)=3。对矩阵(α1，α2，α3)作初等行变换，即当t≠5时，R(α1，α2，α3)=3。故应选(A)。二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)10、设A为n阶实对称矩阵，且A2=A，R(A)=r，则A的全部特征值为________，行列式｜2E-3A｜=_______。标准答案：λ1=λ2=…=λr=1，λr+1=λr+2=…=λn=0；(-1)r2n-r知识点解析：设λ是矩阵A的任意一个特征值，α是属于λ的特征向量，即Aα=λα。在等式A2=A两边右乘α，得A2α=Aα，也就是λ2α=λα，即(λ2-λ)α=0。因α≠0，故有λ2-λ=0，可得A的特征值λ=0或1。又已知A为实对称矩阵，则必可相似对角化，而A的秩R(A)=r，因此A的特征值为λ1=λ2=…=λr=1，λr+1=λr+2=…=λn=0，进而可知矩阵2E-3A的特征值为μ1=…=μr=2-3×1=-1，μr+1=…=μn=2-3×0=2，故｜2E-3A｜=(-1)r2n-r。11、设矩阵A=有特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，则x，y，z满足________。标准答案：y=4，x=-1，z为任意实数知识点解析：依题意有｜λE-A｜=(λ-1)(λ-2)(λ-3)=(λ-1)(λ2-5λ+6)，即=(λ-1)[(λ-1)(λ-y)-2x]=(λ-1)(λ2-5λ+6)，所以(λ-1)(λ-y)-2x=λ2-5λ+6，比较系数得y=4，x=-1，z为任意实数。12、已知A是三阶实对称矩阵，特征值是1，3，-2，其中α1=(1，2，-2)T，α2=(4，-1，a)T分别是属于特征值λ=1与λ=3的特征向量，那么矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量是______。标准答案：k(0，1，1)T，k≠0知识点解析：因为A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交，设λ=-2的特征向量是α3=(x1，x2，x3)T，那么有解得a=1，又由方程组解得基础解系(0，1，1)T，所以α3=k(0，1，1)T，k≠0。13、设3阶矩阵A的特征值分别为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A-1-E｜=_______。标准答案：3知识点解析：由已知条件可得，A-1的特征值为，于是4A-1-E的特征值为3，1，1，因此｜4A-1-E｜=3×1×1=3。14、已知向量α=是矩阵A=的逆矩阵的特征向量，则k=_______。标准答案：1或-2知识点解析：设A是A-1对应于α的特征值，则A-1α=λα，即α=λAα，亦即于是得方程组15、设4阶矩阵A和B相似，如果B*的特征值是1，-1，2，4，则｜A*｜=_____。标准答案：-8知识点解析：已知B*的特征值，所以｜B*｜=1×(-1)×2×4=-8，又｜B*｜=｜｜B｜B-1｜=｜B｜4｜B-1｜=｜B｜3=-8，所以｜B｜=-2。又A和B相似，所以｜A｜=｜B｜=2，于是｜A*｜=｜｜A｜A-1｜=｜A｜4｜A-1｜=｜A｜3=-8。16、设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是______。标准答案：k(1，-1，1)T，k≠0知识点解析：令B=αβT，那么可知矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，因此鼬=αβTα=(a+1)α，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0。那么A=E+B的特征值为a+2，1，1。又因为λ=3是矩阵A的特征值，因此1+(a+1)=3，可得a=1。于是就有Bα=2α。α=(1，-1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。17、设3阶矩阵只有一个线性无关的特征向量，则t=______。标准答案：-2知识点解析：由于矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以可知矩阵A有3重特征值，设λ是A的特征值。由矩阵的迹的性质，有3λ=4-2+1，因此得λ=1。于是有解得t=-2。18、设4阶方阵有特征值2和1，则a=____，b=_____。标准答案：6，2知识点解析：方阵的特征多项式=[(λ-s)(λ-1)+4][(λ-6)(λ+1)+2]，当λ=1时，有(1-b).2+2=0，得b=2；当λ=2时，(2-a)+4=0，得a=b。19、已知矩阵A=和对角矩阵相似，则a=____。标准答案：-2知识点解析：因为｜λE-A｜==(λ-2)(λ-3)2，所以矩阵A的特征值为2，3，3。因为矩阵A的特征值有重根，所以有Λ～Λλ=3有两个线性无关的特征向量(3E-A)x=0有两个线性无关的解R(3E-A)=1。那么3E-A=，可见a=-2。20、设3阶矩阵A与B相似，且｜3E+2A｜=0，｜3E+B｜=｜E-2B｜=0，则行列式｜A｜的代数余子式A11+A22+A33=_____。标准答案：知识点解析：由｜3E+2A｜=0知，矩阵A有一个特征值λ1=由｜3E+B｜=｜E-2B｜=0知，矩阵B有两个特征值分别为μ2=-3，μ3=又因为A与B相似，所以A与B有相同的特征值。从而A的特征值为λ1=，λ2=-3，λ3=。于是A*的特征值为。因此A11+A22+A33=tr(A*)=三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)21、设A=。求A的特征值与特征向量。标准答案：由｜λE-A｜==(λ+2)2(λ-4)=0，得λ1=λ2=-2，λ2=4。当λ1=λ2=-2时，由(-2E-A)x=0，得λ=-2对应的两个线性无关的特征向量为ξ1=，ξ2=，所以A的属于特征值-2的特征向量为k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2不全为0；当λ3=4时，由(4E-A)x=0，得λ=4对应的特征向量为ξ3=，所以A的属于特征值4的特征向量为k3ξ3，其中k3不为0。知识点解析：暂无解析22、设A=，求A*的特征值与特征向量。标准答案：由A的特征方程=(λ-9)(λ-1)2=0，得A的特征值λ1=9，λ2=λ3=1，从而｜A｜=1×1×9=9。若A的特征值为λ，则对应A*的特征值为，于是A*的特征值为1，9，9。当λ1=9时，对(9E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换，得矩阵A属于特征值λ1=9的特征向量α1=(1，2，3)T，对应A*属于特征值λ=1的全部特征向量为k1α1，其中k1为非零常数。当λ2=λ3=1时，对(E-A)x=0的系数矩阵作初等行变换，得矩阵A属于特征值λ2=λ3=1的两个线性无关的特征向量α2=(-2，1，0)T，α3=(-1，0，1)T，对应A*属于特征值λ=9的全部特征向量为k2α2+k3α3，其中k2，k3为不全为零的常数。知识点解析：暂无解析23、设n阶矩阵A满足A2+2A2=O，证明矩阵A+E可逆。标准答案：由A3+2A2=O可知，矩阵A的特征值均满足λ3+2λ2=0。因此A的特征值只能为0或-2，A+E的特征值均为1或-1，故｜A+E｜≠0，因此A+E可逆。知识点解析：暂无解析24、设α1，α2是矩阵A属于不同特征值的特征向量，证明α1+α2不是矩阵A的特征向量。标准答案：设Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，且λ2≠λ2，假设α1+α2是矩阵A属于特征值μ的特征向量，即A(α1+α2)=μ(α1+α2)。再由A(α1+α2)=Aα1+Aα2=λ1α1+λ2α2得(μ-λ1)α1+(μ-λ2)α2=0。因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以μ-λ1=0，μ-λ2=0μ=λ1=λ2，这与λ1≠λ2相矛盾。所以假设不成立，即α1+α2不是A的特征向量。知识点解析：暂无解析25、三阶矩阵A满足Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中列向量α1=(1，2，2)T，α2=(2，-2，1)T，α3=(-2，-1，2)T，试求矩阵A。标准答案：由题设条件可得，Aα1=α1，Aα2=2α2，Aα2=3α3，所以α1，α2，α3是矩阵A不同特征值的特征向量，故它们线性无关。利用分块矩阵，则有A(α1，α2，α3)=(α1，2α2，3α3)，因为矩阵(α1，α2，α3)可逆，故A=(α1，2α2，3α3)(α1，α2，α3)-1知识点解析：暂无解析26、判断矩阵A=是否可相似对角化。标准答案：由｜λE-A｜=(λ-1)2(λ+2)=0可得到矩阵A的特征值是λ1=λ2=1，λ3=-2。由于A-E=，R(A-E)=2，于是矩阵A的二重特征值1有且只有一个线性无关的特征向量，故A不可相似对角化。知识点解析：暂无解析27、设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。(Ⅰ)求矩阵B使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；(Ⅱ)求矩阵A的特征值；(Ⅲ)求可逆矩阵P使得P-1AP为对角矩阵。标准答案：(Ⅰ)根据题设有A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3)=(α1，α2，α3)于是(Ⅱ)令P1=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P1可逆，且由(Ⅰ)的结论P1-1AP1=B，可知A～B。由B的特征方程｜λE-B｜==(λ-1)2(λ-4)=0得矩阵B的特征值为1，1，4，由相似矩阵的性质可知矩阵A的特征值也是1，1，4。(Ⅲ)由(Ⅱ)的结论知B的特征值分别是1，1，4，于是解(E-B)x=0，得矩阵B属于特征值1的线性无关的特征向量β1=(-1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T；解(4E-B)x=0，得矩阵B属于特征值4的特征向量β2=(0，1，1)T。令P2=(β1，β2，β3)，则有P2-1BP2=将P1-1AP1=B代入可得P2-1P1-1AP1P2=令P=P1P2=(α1，α2，α3)=(-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3)，则P-1AP=知识点解析：暂无解析28、设A=，求An。标准答案：由｜λE-A｜==(λ-1)(λ-2)2=0，得矩阵A的特征值λ1=1，λ2=λ3=2。当λ1=1时，由(E-A)x=0，得相应的特征向量ξ1=当λ2=λ3=2时，由(2E-A)x=0，得两个线性无关的特征向量ξ2=，ξ3=令P=，则有P-1AP=，两边分别n次方得，P-1AnP=，于是An=P-1知识点解析：暂无解析29、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由新招收的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为xn和yn，记成αn=(Ⅰ)求αn+1与αn的关系式，并写成矩阵形式：αn+1=Aαn；(Ⅱ)求矩阵A的特征值与特征向量；(Ⅲ)若α0=，求Anα0。标准答案：(Ⅰ)依题意有用矩阵表示，即为(Ⅱ)令特征多项式因此，得矩阵A的特征值λ1=1，λ2=当λ=1时，由(E-A)x=0，得基础解系η1=，因此矩阵A属于λ=1的特征向量是k1η1(k1≠0)。当λ=时，由(E-A)x=0，得基础解系η2=，因此矩阵A属于λ=的特征向量是k2η2(k2≠0)。(Ⅲ)设x1η1+x2η2=α0，即于是α0=η2，那么Aα0=Aη1+Aη2。故知识点解析：暂无解析30、设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值。若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是A的属于特征值6的特征向量。求A的另一个特征值和对应的特征向量。标准答案：由R(A)=2，知A的另一个特征值为λ3=0。设λ3对应的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，由题设知，α1x=0，α2x=0，即解得此方程组的基础解系为x=(-1，1，1)T，即A的属于特征值λ3=0的全部特征向量为k(-1，1，1)T(k为任意非零常数)。知识点解析：暂无解析31、设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求矩阵A。标准答案：设A=，有易得a=0，c=1，b=0，e=0，f=0，于是再由R(A)=2，得d=0，因此A=知识点解析：暂无解析32、已知矩阵A=(Ⅰ)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角阵；(Ⅱ)求正交矩阵Q，使QTAQ为对角阵。标准答案：(Ⅰ)矩阵A的特征多项式(λ-4)(λ-1)2，所以A的特征值为λ1=4，λ2=λ3=1，由得A属于λ1=4的特征向量p1=(1，1，1)T。由得A属于λ2=λ3=1的两个线性无关的特征向量p2=(-1，1，0)T，p3=(-1，0，1)T。于是可逆矩阵P=，使得P-1AP=A=(Ⅱ)对于(Ⅰ)中求得的p1，p2，p3，令η1=p1，η2=p2，η3=p3-([p3，p2]／[p2，p2])p2=再令再令q=*1／‖η1‖)η1=，q2=(1／‖η2‖)η2=，q3=(1／‖η3‖)η3=则Q=为正交阵，且PTAQ=A=知识点解析：暂无解析33、设A为三阶矩阵，且Aαi=iαi(i=1，2，3)，其中α1=，α2=，α3=，求A。标准答案：令P=(α1，α2，α3)=，因为Aαi=iαi(i=1，2，3)，所以AP=，且P-1=因此A=P-1=知识点解析：暂无解析34、设A为正交矩阵，证明：(Ⅰ)｜A｜=±1；(Ⅱ)若｜A｜=-1，则｜E+A｜=0。标准答案：(Ⅰ)因为A为正交矩阵，所以ATA=E。两边取行列式得｜AT｜.｜A｜=1，而｜AT｜=｜A｜，所以有｜A｜2=1，因此｜A｜=±1。(Ⅱ)若｜A｜=-1，则｜E+A｜=｜AAT+A｜=｜A｜.｜AT+E｜=-｜(A+E)T｜=-｜E+A｜，所以｜E+A｜=0。知识点解析：暂无解析35、设A=，问a为何值时A能对角化。标准答案：矩阵A的特征多项式｜λE-A｜==(λ-1)(λ-2)[λ-(2a-1)]。(1)当2a-1≠1，2，即a≠1，时，A有3个不同的特征值，故A可对角化；(2)当2a-1=1，即a=1时，A有特征值1(二重)，2。λ=1时，λE-A=E-A=，R(E-A)=2。因此二重特征值1只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化；(3)当2a-1=2，即a=时，A有特征值1，2(二重)，且可知R(2E-A)=2，从而A也不可对角化。故当a≠1，时，A可对角化。知识点解析：暂无解析36、设矩阵A与B相似，且(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP=B。标准答案：(Ⅰ)因为矩阵A和B相似，所以｜A｜=｜B｜，且tr(A)=tr(B)，即1+4+a=2+2+6，6(a-1)=4b，解得a=5，b=6。(Ⅱ)由于相似矩阵具有相同的特征值，所以矩阵A的特征值为2，2，6。当λ=2时，由(2E-A)x=0，求得属于它的特征向量为α1=(1，-1，0)T，α2=(1，0，1)T。当λ=6时，由(6E-A)x=0，求得属于它的特征向量为α3=(1，-2，3)T。令P=(α1，α2，α3)=，则有P-1AP=B。知识点解析：暂无解析37、在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变。把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为xn和yn(xn+yn=1)。(Ⅰ)求关系式中的矩阵A；(Ⅱ)设目前农村人口与城镇人口相等，即标准答案：(Ⅰ)由题意，人口迁移的规律不变，所以xn+1=xn+qyn-pxn=(1-p)xn+qyn，yn+1=yn+pxn-qyn=pxn+(1-q)yn，用矩阵表示为因此A=(Ⅱ)由由=(λ-1)(λ-1+p+q)，得A的特征值为λ=1，λ=r，其中r=1-p-q。当λ1=1时，解方程(A-E)x=0，得特征向量p1=当λ2=r时，解方程(A-rE)x=0，得特征向量p2=令P=(p1，p2)=，则P-1AP==A，A=PAP-1，An=PAnP-1，于是知识点解析：暂无解析38、已知矩阵A=有特征值λ=5，求a的值；当a＞0时，求正交矩阵Q，使Q-1AQ=Λ。标准答案：因λ=5是矩阵A的特征值，则由｜5E-A｜==3(4-a2)=0，可得a=±2。当a＞0，即a=2时，则由矩阵A的特征多项式｜λE-A｜==(λ-2)(λ-5)(λ-1)=0，可得矩阵A的特征值是1，2，5。由(E-A)x=0，得基础解系α1=(0，1，-1)T；由(2E-A)x=0，得基础解系α2=(1，0，0)T；由(5E-A)x=0，得基础解系α3=(0，1，1)T。即矩阵A属于特征值1，2，5的特征向量分别是α1，α2，α3。由于A为实对称矩阵，且实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故只需将以上特征向量单位化，即有γ1=，γ2=，γ3=那么，令Q=(γ1，γ2，γ3)=，则有Q-1AQ=知识点解析：暂无解析考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知α=(1，—2，3)T是矩阵A=的特征向量，则()A、a=—2，b=6。B、a=2，b=—6。C、a=2，b=6。D、a=—2，b=—6。标准答案：A知识点解析：设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，按定义有即有，所以λ=—4，a=—2，b=6，故选A。2、设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α1，则α1，A(α1+α1)线性无关的充分必要条件是()A、λ1≠0。B、λ2≠0。C、λ1=0。D、λ2=0。标准答案：B知识点解析：令后k1α1+k2A(α1+α2)=0，则(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ2=0。当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A(α1+α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1+α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关)，故选B。3、已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0()A、必是A的二重特征值。B、至少是A的二重特征值。C、至多是A的二重特征值。D、一重、二重、三重特征值都有可能。标准答案：B知识点解析：A的对应λ的线性无关特征向量的个数小于等于特征值的重数。r(A)=1，即r(OE—A)=1，(OE—A)x=0必有两个线性无关的特征向量，故λ=0的重数大于等于2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如A=，r(A)=1，但λ=0是三重特征值，故选B。4、已知A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若A*的特征值是1，—1，2，4，那么不可逆矩阵是()A、A—EB、2A—EC、A+2ED、A—4E标准答案：C知识点解析：因为A*的特征值是1，—1，2，4，所以｜A*｜=—8，又｜A*｜=｜A｜4—1，因此｜A｜3=—8，于是｜A｜=—2。那么，矩阵A的特征值是：—2，2，—1，。因此，A—E的特征值是—3，1，—2，。因为特征值非零，故矩阵A—E可逆。同理可知，矩阵A+2E的特征值中含有0，所以矩阵A+2E不可逆，故选C。5、设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是()A、若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量。B、若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量。C、若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量。D、若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量。标准答案：D知识点解析：如果α是2A的特征向量，即(2A)α=λα，那么Aα=，所以α是矩阵A属于特征值的特征向量。由于(λE—A)x=0与(λE—AT)x=0不一定同解，所以α不一定是AT的特征向量。例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量也不一定是A的特征向量，故选D。6、已知矩阵A=，那么下列矩阵中与矩阵A相似的矩阵个数为()A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：C知识点解析：二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3，因此A～Λ=，那么只要和矩阵Λ有相同的特征值，它就一定和Λ相似，也就一定与A相似。①和②分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3，所以它们均与A相似，对于③和④，由=λ2—4λ—5=(λ—5)(λ+1)，=λ2—4λ+3=(λ—3)(λ—1)，可见④与A相似，而③与A不相似，故选C。7、下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A选项是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。B选项是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。C选项是秩为1的矩阵，由｜λE—A｜=λ3—4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0。对于二重根λ=0，由秩r(OE—A)=r(A)=1可知齐次方程组(OE—A)x=0的基础解系有3—1=2个线性无关的解向量，即λ=0时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。D选项是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，—1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由秩可知齐次线性方程组(E—A)x=0只有3—2=1个线性无关的解，即λ=1时只有一个线性无关的特征向量，因此矩阵必不能相似对角化，故选D。8、已知P—1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是()A、(α1，—α2，α3)。B、(α1，α2+α3，α2—2α3)。C、(α1，α3，α2)。D、(α1+α2，α1—α2，α3)。标准答案：D知识点解析：若P—1AP=Λ=，P=(α1，α2，α3)，则有AP=PΛ，即(Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，可见αi是矩阵A属于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量，则—α仍是属于特征值λ的特征向量，故A选项正确。若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2—2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2—2α3线性无关，故B选项正确。对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。故C选项正确。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1—α2不再是矩阵A的特征向量，D选项错误，故选D。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设A是三阶矩阵，且各行元素的和都是5，则矩阵A一定有特征值________。标准答案：5知识点解析：已知各行元素的和都是5，即化为矩阵形式，可得满足，故矩阵A一定有一个特征值为5。10、已知矩阵A=和对角矩阵相似，则a=________。标准答案：—2知识点解析：因为｜λE—A｜==(λ—2)(λ—3)2，所以矩阵A的特征值分别为2，3，3。因为矩阵A和对角矩阵相似，所以对应于特征值3有两个线性无关的特征向量，即(3E—A)x=0有两个线性无关的解，因此矩阵3E—A的秩为1。可见a=—2。11、已知α=(1，3，2)T，β=(1，—1，—2)T，A=E—αβT，则A的最大的特征值为________。标准答案：7知识点解析：因为非零列向量α，β的秩均为1，所以矩阵αβT的秩也为1，于是αβT的特征值为0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=—6。所以A=E—αβT的特征值为1，1，7，则A的最大的特征值为7。12、已知A=，A*是A的伴随矩阵，那么A*的特征值是________。标准答案：1，7，7知识点解析：由矩阵A的特征多项式｜λE—A｜==(λ—7)(λ—1)2可得矩阵A的特征值为7，1，1。所以｜A｜=7×1×1=7。如果Aα=λα，则有A*α=，因此A*的特征值是1，7，7。13、已知A=有三个线性无关的特征向量，则x=________。标准答案：0知识点解析：由A的特征方程｜λE—A｜==(λ—1)(λ2—1)=0，可得A的特征值是λ=1(二重)，λ=—1。因为A有三个线性无关的特征向量，所以λ=1必有两个线性无关的特征向量，因此r(E—A)=3—2=1，根据E—A=，得x=0。14、设A是三阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=(1，2，1)T，α2=(1，—1，1)T，则特征值2对应的特征向量是________。标准答案：t(—1，0，1)T，t≠0知识点解析：设所求的特征向量为α=(x1，x2，x3)T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有所以对应于特征值2的特征向量是t(—1，0，1)T，t≠0。三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)15、设矩阵，B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。标准答案：设A的特征值为λ，对应特征向量为η,则有Aη=λη。由于｜A｜=7≠0，所以λ≠0。又因A*A=｜A｜E，故有A*η=。于是有B(P—1η)=P—1A*P(P—1η)=(P—1η)，(B+2E)P—1η=P—1η。因此，为B+2E的特征值，对应的特征向量为P—1η。由于｜λE—A｜==(λ—1)2(λ—7)，故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7。当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的两个特征向量可取为η1=。当λ3=7时，对应的一个特征向量可取为η3=。因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3。对应于特征值9的全部特征向量为k1P—1η1十k2P—1η2=，其中k1，k2是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为k3P—1η3=k3，其中k3是不为零的任意常数。知识点解析：暂无解析16、设矩阵A与B相似，且。求可逆矩阵P，使P—1AP=B。标准答案：由A与B相似有于是得a=5，b=6。且由A与B相似，知A与B有相同的特征值，于是A的特征值是λ1=λ2=2，λ3=6。当λ=2时，解齐次线性方程组(2E—A)x=0得到基础解系为α1=(1，—1，0)T，α2=(1，0，1)T，即属于λ=2的两个线性无关的特征向量。当λ=6时，解齐次线性方程组(6E—A)x=0，得到基础解系是(1，—2，3)T，即属于λ=6的特征向量。令P=(α1，α2，α3)=，则有P—1AP=B。知识点解析：暂无解析已知的一个特征向量。17、求参数a，b及特征向量P所对应的特征值。标准答案：设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有(A—λE)p=0，即从而有方程组解得a=—3，b=0，且p所对应的特征值λ=—1。知识点解析：暂无解析18、问A能不能相似对角化?并说明理由。标准答案：A的特征多项式｜A—λE｜==—(λ+1)3，得A的特征值为λ=—1(三重)。若A能相似对角化，则特征值λ=—1有三个线性无关的特征向量，而故r(A+E)=2，所以齐次线性方程组(A+E)x=0的基础解系只有一个解向量，A不能相似对角化。知识点解析：暂无解析19、已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。标准答案：设λ是矩阵A的任一特征值，α(α≠0)是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα，于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O，得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。因为特征向量α≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或—2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(Λ)=2，所以A的特征值是0，—2，—2。因A相似于Λ，则有A+E相似于Λ+E=，所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。知识点解析：暂无解析20、设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(—1，2，—3)T都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A。标准答案：由r(A)=2知，｜A｜=0，所以λ=0是A的另一特征值。因为λ1=λ2=6是实对称矩阵的二重特征值，故A属于λ=6的线性无关的特征向量有两个，因此α1，α2，α3必线性相关，显然α1，α2线性无关。设矩阵A属于λ=0的特征向量α=(x1，x2，x3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程组的基础解系α=(—1，1，1)T。根据A(α1，α2，α)=(6α1，6α2，0)得A=(6α1，6α2，0)(α1，α2，α)—1=。知识点解析：暂无解析设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2，α1=(1，—1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5—4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。21、验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量。标准答案：由Aα1=α1，得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=(A5—4A3+E)α1=A5α1—4A3α1+α1=—2α1，即α1是矩阵B的属于特征值—2的特征向量。由关系式B=A5—4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=—2得B的三个特征值为μ1=—2，μ2=1，μ3=1。设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即得其基础解系为，故可取α2=。B的全部特征向量为，其中k1≠0，k2，k3不同时为零。知识点解析：暂无解析22、求矩阵B。标准答案：令P=(α1，α2，α3)=，则P—1BP=，于是知识点解析：暂无解析设A，B为同阶方阵。23、若A，B相似，证明A，B的特征多项式相等。标准答案：若A，B相似，那么存在可逆矩阵P，使P—1AP=B，则｜λE—B｜=｜λE—P—1AP｜=｜P—1λEP—P—1AP｜=｜P—1(λE—A)P｜=｜P—1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜。所以A，B的特征多项式相等。知识点解析：暂无解析24、举一个二阶方阵的例子说明第一问的逆命题不成立。标准答案：令，那么｜λE—A｜=λ2=｜λE—B｜。但是A，B不相似。否则，存在可逆矩阵P，使P—1AP=B=0，从而A=POP—1=0与已知矛盾。也可从r(A)=1，r(B)=0，知A与B不相似。知识点解析：暂无解析25、当A，B均为实对称矩阵时，证明第一问的逆命题成立。标准答案：由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵，若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，…，λn，则有所以存在可逆矩阵P，Q，使P—1AP==Q—1BQ。因此有(PQ—1)—1A(PQ—1)=B，矩阵A与B相似。知识点解析：暂无解析某试验性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有成为熟练工。设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn，记成向量。26、求的关系式并写成矩阵形式。标准答案：由题意得化成矩阵形式为可见知识点解析：暂无解析27、验证η1=是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值。标准答案：因为行列式｜η1，η2｜==5≠0，所以η1，η2线性无关。又Aη1==η1，故η1为A的特征向量，且相应的特征值λ1=1。Aη2==η2，故η2为A的特征向量，且相应的特征值λ2=。知识点解析：暂无解析28、标准答案：令P=(η1，η2)=。则由P—1AP=。知识点解析：暂无解析考研数学一（矩阵的特征值和特征向量）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量α是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P—1AP)T。属于特征值λ的特征向量是()A、P—1αB、PTαC、PαD、(P—1)Tα标准答案：B知识点解析：设β是矩阵(PTAP)T属于λ的特征向量，并考虑到A为实对称矩阵AT=A，有(P—1AP)Tβ=λβ，即PTA(P—1)Tβ=λβ。把四个选项中的向量逐一代入上式替换β，同时考虑到Aα=λα，可得B选项正确，即左端=PTA(P—1)T(PTα)=PTAα=PTλα=λPTα=右端。综上可知，故选B。2、三阶矩阵A的特征值全为零，则必有()A、秩r(A)=0B、秩r(A)=1C、秩r(A)=2D、条件不足，不能确定标准答案：D知识点解析：例如下列矩阵它们的特征值全是零，而秩分别为0，1，2。所以仅由特征值全是零不能确定矩阵的秩，故选D。3、设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有特征值()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为λ为A的非零特征值，所以λ2为A2的特征值，为(A2)—1的特征值。因此的特征值为，故选B。4、已知A是n阶可逆矩阵，那么与A有相同特征值的矩阵是()A、ATB、A2C、A—1D、A—E标准答案：A知识点解析：由于｜λE—AT｜=｜(λE—A)T｜=｜λE—A｜，A与AT有相同的特征多项式，所以A与AT有相同的特征值。由Aα=λα，α≠0可得到A2α=λ2α，A—1α=λ—1α，(A—E)α=(λ—1)α，说明A2，A—1，A—E与A的特征值是不一样的(但A的特征向量也是它们的特征向量)，故选A。5、设n阶矩阵A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()A、λE—A=λE—B。B、A与B有相同的特征值和特征向量。C、A和B都相似于一个对角矩阵。D、对任意常数t，tE—A与tE—B相似。标准答案：D知识点解析：因为由A与B相似不能推得A=B，所以A选项不正确。相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故B选项也不正确。对于选项C，因为根据题设不能推知A，B是否相似于对角阵，故C选项也不正确。综上可知D选项正确。事实上，因A与B相似，故存在可逆矩阵P，使P—1AP=B，于是P—1(tE—A)P=tE—P—1AP=tE—B，可见对任意常数t，矩阵tE—A与tE—B相似，故选D。6、下列选项中矩阵A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：选项A中，r(A)=1，r(B)=2，故A和B不相似。选项B中，tr(A)=9，tr(B)=6，故A和B不相似。选项D中，矩阵A的特征值为2，2，—3，而矩阵B的特征值为1，3，—3，故A和B不相似。由排除法可知应选C。事实上，在选项C中，矩阵A和B的特征值均为2，0，0。由于A和B均可相似对角化，也即A和B均相似于对角矩阵，故由矩阵相似的传递性可知A和B相似，故选C。7、已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3—2A2，则r(B)=()A、1。B、2。C、3。D、不能确定。标准答案：A知识点解析：因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得P—1AP=Λ=，于是P—1BP=P—1(A3—2A2)P=P—1A3P—2P—1A2P=(P—1AP)3—2(P—1AP)2则矩阵B的三个特征值分别为0，0，—1，即r(B)=1，故选A。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、已知矩阵A=的特征值的和为3，特征值的乘积是—24，则b=________。标准答案：—3知识点解析：矩阵的所有特征值的和等于该矩阵对角线元素的和，即a+3+(—1)=3，所以a=1。又因为矩阵所有特征值的乘积等于矩阵对应行列式的值，因此有所以b=—3。9、设A为二阶矩阵，α1，α2为线性无关的二维列向量，Aα1=0,Aα2=2α1+α2，则A的非零特征值为________。标准答案：1知识点解析：根据题设条件，得A(α1，α2)=(Aα1，Aα2)=(α1，α2)。记P=(α1，α2)，因α1，α2线性无关，故P=(α1，α2)是可逆矩阵。由AP=，可得P—1AP=。记B=，则A与B相似，从而有相同的特征值。所以A的非零特征值为1。10、已知矩阵A=只有一个线性无关的特征向量，那么A的三个特征值是________。标准答案：2，2，2知识点解析：因为矩阵A只有一个线性无关的特征向量，所以A的特征值必定是三重根，否则A至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。由主对角元素的和等于所有特征值的和可知1+2+3=3λ，故λ1=λ2=λ3=2。11、若三维列向量α，β满足αTβ=2，其中αT为α的转置，则矩阵βαT的非零特征值为________。标准答案：2知识点解析：因为αTβ=2，所以(βαT)β=β(αTβ)=2β，故βαT的非零特征值为2。12、设α=(1，—1，a)T是A=的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则a=________。标准答案：—1知识点解析：α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=λ0α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展开成方程组的形式为因为r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=—1。13、设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P—1AP=________。标准答案：知识点解析：因为3α3，α1，2α2分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以P—1AP=。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、已知A=是n阶矩阵