考研数学一（高等数学）模拟试卷10（共266题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷10（共9套）（共266题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+｜sinx｜)，若使F(x)在x=0处可导，则必有()A、f(0)=0B、f’(0)=0C、f(0)+f’(0)=0D、f(0)－f’(0)=0标准答案：A知识点解析：由于=f+’(0)+f(0)．同理，=f－’(0)－f(0)．要求F+’(0)=F－’(0)，可得A．2、设f(x)在[a，b]上可导，f’(a)f’(b)＜0．下述命题：①至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(a)；②至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)＞f(x)；③至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)=0；④至少存在一点x0∈(a，b)使f(x0)=[f(a)+f(b)]．正确的个数为(A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：只有③是正确的．其证明如下：设f’(a)＜0，f’(b)＞0．由以及保号性，则存在点x1∈(a，b)使f(x1)－f(a)＜0及x2∈(a，b)使f(x2)－f(b)＜0．因此f(a)与f(b)都不是f(x)在[a，b]上的最小值，从而f(x)在[a，b]上的最小值必在(a，b)内部，故知存在x0∈(a，b)使f’(x0)=0．若f’(a)＞0，f’(b)＜0，其证明类似．①，②与④的反例：f(x)=x2－x，当x∈[0，1]时，有f’(0)=－1，f’(1)=1，f’(0)f’(1)＜0．但当x∈(0，1)时，f(x)＜f(0)=f(1)=0．3、积分()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：4、设Ω为x2+y2+z2≤1，则三重积分等于()A、0B、πC、D、2π标准答案：A知识点解析：积分区域Ω关于xOy面对称，被积函数关于变量z为奇函数，故I=0．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)5、给出以下5个函数：100x，log10x100，e10x，x1010，，则对充分大的一切x，其中最大的是______．标准答案：知识点解析：100x=exln100，log10x100=100logl10x．当x充分大时，有重要关系：eαx》eβ》lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填．6、若是(－∞，+∞)上的连续函数，则a=______．标准答案：1知识点解析：f(x)在x=0处连续，可得7、设曲线y=(ax3+bx2+cx+d经过(－2，44)，x=－2为驻点，(1，一10)为拐点，则a，b，c，d分别为______．标准答案：1；－3；－24；16知识点解析：由条件解方程可得a=1，b=－3，c=－24，d=16．8、∫(arcsinx)2dx=______．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：9、∫x3ex2dx=_____．标准答案：e∫x∫1ee(x∫1e－1)+C，其中C为任意常数知识点解析：原式=∫x2ex2d(x2)=∫x2dex2=[x2ex2－∫ex2d(x2)]=(x2ex2－ex2)+C=ex2(x2－1)+C．10、点(1，2，3)到直线的距离为______．标准答案：知识点解析：记点M0(1，2，3)，M(0，4，3)，方向向量S=(1，－3，－2)，11、函数的定义域为______．标准答案：知识点解析：由z≠0及可得．12、若f(x，y)为关于x的奇函数，且积分区域D关于Y轴对称，则当f(x，y)在D上连续时，必有f(x，y)dxdy=______．标准答案：0知识点解析：若连续函数z=f(x，y)关于x为奇函数，即f(－x，y)=－f(x，y)；若关于x为偶函数，即f(－x，y)=f(x，y)．设积分区域D关于y轴对称，D1表示D的位于y轴右方的部分．则有同理当z=f(x，y)关于y为奇函数或偶函数，积分区域D关于x轴对称时也有类似的结论．13、曲面积分x3dxdy=______，其中S为球面x2+y2+z2=1的外侧．标准答案：知识点解析：原式==3∫02πdθ∫0πdφ∫01ρ2cos2φρ2sinφdρ=3∫02πdθ∫0πcos2φsinφdφ∫01ρ4d14、设的敛散性为______．标准答案：发散知识点解析：由发散．15、ex展开成的x－3的幂级数为______．标准答案：知识点解析：ex=e3+(x－3)=e3.ex－3，因从而ex=e3.ex－3=e3(x－3)n(－∞＜x－3＜+∞即一∞＜x＜+∞)．16、设x1=r＞0，xn+1=xn+xn3，n=1，2，3，…．则数项级数=______．标准答案：知识点解析：由xn+1=xn+xn3，xn=r＞0，所以{xn}严格单调增加．若显然有A＞r＞0．令n→∞，xn+1=xn+xn3，两边取极限，得A=A+A3，即A=0，矛盾，所以由xn+1=xn+xn3，有三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)17、求标准答案：由拉格朗日中值定理，得tan(tanx)－tan(sinx)=sec2ξ.(tanx－sinx)，sinx＜ξ＜tanx，其中=sec20=1．于是知识点解析：暂无解析18、证明：方程xa=Inx(a＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．标准答案：令f(x)=lnx－xα(α＜0)，则f(x)在(0，+∞)上连续，且f(1)=－1＜0，+∞，故任意M＞0，存在X＞1，当x＞X时，有f(x)＞M＞0．任取x0＞X，则f(1).f(x0)＜0，根据零点定理，至少存在ξ∈(1，x0)，使得f(ξ)=0，即方程xα=lnx在(0，+∞)上至少有一实根．又lnx在(0，+∞)上单调增加，因α＜0，－xα也单调增加，从而f(x)在(0，+∞)上单调增加，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一个实根，即方程xα=lnx在(0，+∞)上只有一个实根．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在x0处n阶可导，且f(m)(x0)=0(m=1，2，…，n－1)，f(n)(x0)≠0(n≥2)，证明：(1)当n为偶数且f(n)(x0)＜0时，f(x)在x0取得极大值；(2)当n为偶数且f(n)(x0)＞0时，f(x)在x0取得极小值．标准答案：n为偶数，令n=2k，构造极限(1)当f(2k)(x0)＜0时，由极限保号性=>存在x0的某个去心邻域=>f(x)＜f(x0)，故x0为极大值点．(2)当f(2k)(x0)＞0时，由极限保号性=>存在x0的某个去心邻域=>f(x)＞f(x0)，故x0为极小值点．知识点解析：暂无解析20、计算定积分标准答案：令1～x=sint，则知识点解析：暂无解析21、求定积分标准答案：用变量代换可得知识点解析：暂无解析22、设f(x)在区间(－∞，+∞)内具有连续的一阶导数，并设f(x)=2∫0xf’(x－t)t2dt+sinx，求f(x)．标准答案：f(x)=2∫0xf’(x－t)t2dt+sinx=－2∫0xt2d[f(x－t)]+sinx=－2[t2f(x－t)｜0x－2∫0xtf(x－t)dt]+sinx=－2[x2(0)－0－2∫x0(x－u)f(u)(－du)]+sinx=－2x2(0)+4x∫0xf(u)du－4∫0xuf(u)du+sinx，f’(x)=－4xf(0)+4∫0xf(u)du+4xf(x)－4xf(x)+cosx=－4xf(0)+4∫0xf(u)du+cosx，f’’(x)=－4f(0)+4f(x)－sinx．由上述表达式可见有f(0)=0，f’(0)=1．所以由f’’(x)－4f(x)=－sinx，解得f(x)=C1e2x+C2e－2x+sinx．由f(0)=0，f’(0)=1，得C1+C2=0，2C1－2C2+=1，所以知识点解析：暂无解析23、设a=3i+4k，b=－i+2j－2k，求与向量a和b均垂直的单位向量．标准答案：由向量的向量积定义可知a×b既垂直于a又垂直于b，所以与a，b均垂直的单位向量为而所以与a，b均垂直的单位向量为知识点解析：暂无解析24、设函数f(x，y)及它的二阶偏导数在全平面连续，且f(0，0)=0，求证：｜f(5，4)｜≤1．标准答案：因与路径无关．设0(0，0)，A(4，4)，B(5，4)，由条件知在直线OA：y=x上，所以而f(0，0)=0，故f｜(5，4)｜=≤∫452｜x－4｜dx=1．知识点解析：暂无解析25、已知平面区域D={(x，y)｜x2+y2≤1)，L为D的边界正向一周．证明：标准答案：(格林公式法)知识点解析：暂无解析26、设L是平面上包含原点的单连通有界区域σ的正向边界线，n0是L上任一点(x，y)处的单位外法向量．设平面封闭曲线L上点(x，y)的矢径r=xi+yj，r=｜r｜，θ是n0与r的夹角，试求标准答案：本题考查第一型和第二型曲线积分之间的转化关系．注意到第二型曲线积分要考虑曲线L在其上点(x，y)处的单位切向量，设其为τ0=cosαi+cosβj．因为曲线L在其上点(x，y)处的法向量n0。与切线向量τ0互相垂直，并使闭曲线L取正向，故取n0=cosβi－cosαj．根据两向量内积的定义及dx=cosαds，dy=cosβds，得于是，原曲线积分此处ε为任一含于L的圆的半径．知识点解析：暂无解析27、已知曲线y=y(x)经过点(1，e－1)，且在点(x，y)处的切线在Y轴上的截距为xy，求该曲线方程的表达式．标准答案：本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式．曲线y=f(x)在点(x，y)处的切线方程为Y－y=y’(X－x)，令X=0，得到切线在y轴截距为xy=y－xy’，即xy’=y(1－x)．此为一阶可分离变量的方程，于是两边积分有ln｜y｜=lnC1x－x，得到又y(1)=e－1，故C=1，于是曲线方程为知识点解析：暂无解析28、设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界，证明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．标准答案：原方程的通解为y(x)=e－ax[C+∫0xf(t)eatdt]，其中C为任意常数．设f(x)在[0，+∞)上的上界为M，即｜f(x)｜≤M，则当x≥0时，有｜y(x)｜=｜e－ax[C+∫0xf(t)eatdt]｜≤｜Ce－ax｜+eax｜∫0xf(t)eatdt｜≤｜C｜+Me－ax∫0xeatdt=即y(x)在[0，+∞)上有界．知识点解析：暂无解析29、求方程的通解．标准答案：此为欧拉方程，按解欧拉方程的办法解之．当x＞0时，令x=et，有t=lnx，经计算化原方程为得通解为当x＜0时，令x=－u，原方程化为y关于u的方程合并两种情形得原方程的通解为其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、当x→0时，下列无穷小量中阶数最高的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：当x→0时与u=1一cosx复合而成．当x→0时，与x2同阶，是x的2×2=4阶无穷小．故选D．2、设则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但f’(x)在x=0不连续D、可导且f’(x)在x=0连续标准答案：D知识点解析：f(x)在x=0处连续，排除A．f(x)在x=0处可导，排除B．所以，f’(x)在x=0处连续．故选D．3、已知f(π)=2，∫0π[f(x)+f’’(x)]sinxdx=5，则f(0)等于()．A、2B、3C、5D、不确定标准答案：B知识点解析：用分布积分法，得∫0π[f(x)+f’’(x)]sinxdx=一∫0πf(x)cosx+∫0πdf’(x)=一f(x)cosx｜0π+∫0πcosx．f’(x)dx+f’(x)sinx｜0π一∫0πf’(x)cosxdx=2+f(0)．所以，2+f(0)=5，即f(0)=3．故选B．利用分部积分法可升高或降低被积函数导数的阶数．4、设的值为()．A、(1一cos2)2B、(1+cos2)2C、(1+sin2)2D、(1一sin2)2标准答案：A知识点解析：因为f(x)f(y—x)仅在区域D1：x≤y≤x+2，0≤x≤2内非零，所以故选A．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)5、设y=y(x)二阶可导，且若y=y(x)的一个拐点是(x0，3)，则β=______．标准答案：应填3．知识点解析：由于y(x)二阶可导，(x0，3)是拐点，则y(x0)=3，y’’(x0)=0．得[4－y(x0)]β－y(x0)=0，即β=3．6、函数u=ln(x2+y2+z2)在点M(1，2，一2)处的梯度gradu｜M=______．标准答案：应填．知识点解析：本题主要考查函数在某一点的梯度的计算方法．由若函数u=f(x，y，z)在空间区域Ω内具有连续的一阶偏导数，则函数u=f(x，y，z)在区域Ω内任意一点M(x，y，z)处的梯度为7、已知幂级数的收敛域为______．标准答案：应填(1，5]．知识点解析：由于在x0=0处收敛，所以对一切满足｜x+2｜＜｜0+2｜=2的x也收敛；又它在x1=一4处发散，所以对一切满足｜x+2｜＞｜4+2｜=2的x也发散．所以该级数的收敛区间为｜x+2｜＜2，即一2＜x+2＜2，从而其收敛区域为一2＜x+2≤2．又x一3=(x一5)+2，所以的收敛域为一2＜(x一5)+2≤2，即1＜x≤5，即(1，5]．8、y(4)一y=0的通解是______．标准答案：应填y=c1et+c2e－t+c3cost+c44sint．知识点解析：本题主要考查高阶常系数齐次方程的解法．此方程的特征方程为λ4一1=0，它有四个单根λ1,2=±1，=λ3,4±i．于是该方程有四个线性无关的解et，e－t，cost，sint，方程的通解为y(t)=c1et+c2e－t+c3cost+c44sint．三、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)9、求极限标准答案：方法一：原式方法二：由台劳公式(麦克劳林公式)，当x→0时，有于是，原式知识点解析：直接用洛必塔法则将会导致复杂的计算，所以，该题用恒等变形或用台劳公式进行化简．(1)极限中的函数若具有二阶以上的导函数，可直接用台劳公式进行简化．(2)该题也可以用如下方法求解：当u→0时，于是尽管用这种方法得到了与前面相同的结果，但必须指出，在和、差中用等价无穷小量作代换时，一定要非常谨慎．若当x→口时，α(x)～u(x)，β(x)～v(x)，则只有当时，才能用这是因为将α(x)+β(x)用u(x)+v(x)替代后所产生误差之大小，只有用台劳公式才能说清楚．10、已知抛物线Y=px2(p>0)．(1)计算抛物线在直线Y=1下方的弧长l．(2)求极限标准答案：(1)抛物线y=px2与直线y=1的交点为弧微分ds=于是由弧长公式得(2)知识点解析：暂无解析11、设f(x)在x=0处二阶可导，且求f(0)，f’(0)，f’’(0)．标准答案：知识点解析：由已知极限存在，可知．f(0)=0．于是可用定义求f’(0)，f’’(0)．12、设f(x)可导，且它的任何两个零点的距离都大于某一个正数(称零点是孤立的)，g(x)连续，且当f(x)≠0时g(x)可导，令φ(x)=g(x)｜f(x)｜，讨论φ(x)的可导性．标准答案：设x0为分段点．若f(x0)≠0，则由题设可知，存在δ>0，使得当｜x－x0｜<δ时，f(x)与f(x0)同号，于是在该邻域内必有φ(x)=f(x)g(x)或φ(x)=－f(x)g(x)之一成立，所以φ(x)在点x0处必可导．若f(x0)=0，不妨假设由φ(x0)=f(x0)=0，可得所以，φ(x)在x0处可导<=>f’(x0)g(x0)=0．且当f’(x0)g(x0)=0时，φ’(x0)=0．知识点解析：这是分段函数的可导性问题．只需讨论在分段点Xo处是否可导．分f(x0)≠0与f(x0)=0两种情形讨论．13、设f(x)在[0，1]上连续，∫01f(x)dx=0，g(x)在[0，1]上有连续的导数，且在(0，1)内g’(x)≠0，∫01f(x)g(x)dx=0，试证：至少存在两个不同的点ξ1,ξ2∈(0，1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0．标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，则F(0)=F(1)=0．又0=∫01f(x)g(x)dx=∫01g(x)dF(x)=g(x)F(x)｜01－∫01F(x)g’(x)dx=－∫01F(x)g’(x)dx即有∫01F(x)g’(x)dx=0，由积分中值定理，存在点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)g’(ξ)=0，由g’(x)≠0知F(ξ)=0，0<ξ<1．即F(0)=F(ξ)=F(1)=0，由洛尔定理，存在点ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，1)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0．知识点解析：在f(x)连续的条件下，欲证f(x)存在两个零点f(ξ1)=0，f(ξ2)=0，可构造辅助函数F(x)=∫0xf(t)dt，用洛尔定理证明．因已知F(0)=F(1)=0．于是，问题的关键是再找一点ξ，使得F(ξ)=0，这样的点ξ可由已知条件得到．在只知函数f(x)连续的条件下，证明f(x)在[a，b]内存在零点的问题，可以对f(x)用介值定理证明，也可对f(x)的原函数F(x)=∫axf(t)dt用洛尔定理证明．14、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，又b>a>0，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．标准答案：作辅助函数g(x)=lnx，则f(x)、g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．由柯西定理，存在点η∈(a，b)，使得即f’(ξ)(b一a)=ηf’(η)(lnb—lna)．知识点解析：15、计算标准答案：令x=π—t，则dx=一dt．于是，知识点解析：(1)用本题的求解思路可证明∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx．这里，被积函数f(x)满足f(x)=f(π—x)，x∈[0，π]．将它一般化可得到如下结果：设f(x)，g(x)在[0，a]上连续，且对x∈[0，a]，有f(x)=f(a—x)，g(x)+g(a－x)=k(k为常数)，则有公式∫0af(x)g(x)dx=∫0af(x)dx成立．证：∫0ag(x)dx∫0af(a－t)g(a－t)dt=∫0af(t)[k一g(t)]dt=k∫0af(t)dt一∫0af(t)g(t)dt，所以，∫0af(x)g(x)dx=∫0af(x)dx．(2)将本题的解题思路一般化，可得∫abf(x)dx∫abf(a+b一t)dt=∫abf(a+b一x)dx＝＞∫abf(x)dx=∫ab[f(x)+f(a+b一x)]dx．特别地，有：16、设标准答案：知识点解析：是一个瑕积分，用分部积分法．17、求曲线y=ex曲率的最大值．标准答案：由曲率公式于是，求k的最大值就转化为求的最小值．因为所以，x0为φ(x)的极小值点．又驻点唯一，因此φ(x0)为最小值．故当知识点解析：先求曲线的曲率，再求最大值．求函数最大值和最小值的方法．一般方法：若f(x)在[a，b]上连续，则比较f(x)在驻点、f’(x)不存在的点和区间端点的函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值．特殊方法：当f(x)在(a，b)内可导，且驻点x0唯一时，若f(x0)为极小值，则f(x0)即为f(x)在[a，b]上的最小值；若f(x0)为极大值，则f(x0)即为f(x)在[a，b]上的最大值．若实际问题存在最大值(或最小值)，而由实际问题建立的函数f(x)可导，且驻点x0唯一，则f(x0)就是所求的最大值(或最小值)．18、设f(x)在区间[0，+∞)内二阶可导，且在x=1处与曲线y=x3一3相切，f(x)在(0，+∞)内与曲线y=x3一3有相同的凹向，求方程f(x)=0在(1，+∞)内实根的个数．标准答案：由y’=3x2，y’(1)=3，及曲线y=f(x)与y=x3一3相切可知，f’(1)=3，f(1)=y(1)=一2．由曲线y=f(x)与y=x3一3在(0，+∞)内有相同的凹向，以及y’’=6x>0，可知，f’’(x)>0，x∈(0，+∞)．由台劳公式即存在M＞0，当x0＞M时，使得f(x0)＞0．于是，f(x)在[1，x0]上连续，且f(1)=－2<0，f(x0)>0．由零值定理，在(1，x0)内至少存在一点ξ，使f(ξ)=0．由f’’(x)>0,x∈(0，+∞)，可知在(0，+∞)内f’(x)单调增加．再由f’(x)＞f’(0)=0，知f(x)在(0，+∞)内单调增加，故f(x)=0在(0，+∞)内仅有一个根．知识点解析：由f(x)二阶可导及台劳公式可得f(x)的解析式，然后用零值定理．若f(n)(x)>0，x∈(a，b)，则f(n－1)(x)在(a，b)内单调增加．19、设D是由曲线围成的平面区域．求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积．标准答案：注意第一象限的两条曲线，一条是圆，一条是星形线，且后者位于前者的下方．于是旋转体的体积为知识点解析：暂无解析20、已知单位向量的三个方向角相等，点B与点M(1，一3，2)关于点N(一1，2，1)对称，求．标准答案：设因为cos2α+cos2β+cos2γ=1，且α=β=γ，再设点B为B(x,y,z)，根据题意可知，点N(－1,2,1)为线段BM的中点，所以知识点解析：本题主要考查方向角的概念、关于点对称的概念、对称点的求法、向量积的概念与计算．21、设函数y=f(r)，而试求函数u．标准答案：利用分离变量解微分方程．知识点解析：本题得到的是一个二阶的微分方程，但不是线性的常系数的二阶微分方程．因此，不能用常系数的线性微分方程的特征值的方法去求解．22、求当x>0，y>0，z>0时，函数f(x，y，z)=lnx+21ny+3lnz在球面x2+y2+z2=6λ2上的最大值．并证明：对任何正实数a、b、c，不等式ab2c3≤成立．标准答案：为求在条件x2+y2+z2=6r2下函数f(x，y，z)=lnx+2lny+3lnz的最大值，不妨设L(x，y，z，λ)=lnx+2lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一6r2)(x>0，y>0，z>0)．由方程组因为驻点(x，y，z)在球面x2+y2+z2=6r2的第一卦限部分上，则点是唯一的驻点．另一方面，当点趋于球面(第一卦限部分)与坐标平面的交线时，函数f(x，y，z)便趋于一∞，所以函数f(x，y，z)在指定的区域内部取得最大值，从而此唯一的驻点便是最大值点，即知识点解析：本题第一部分是求条件极值，利用拉格朗日乘子法解答．本题第二部分是利用第一部分得到的结果来证明不等式．(1)本题的目标函数亦可取为f(x，y，z)=xy2z3，同样有效．(2)由本题的目标函数与约束条件在形式上的对称性，还可以将上面的条件极大值问题改为如下的条件极小值问题：求目标函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在条件xy2z3=6r2约束下的最小值．只是具体求解起来不如上述方法简单．23、设积分区域D=((x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π)，计算二重积分I=标准答案：因为故设积分区域D1={(x，y)｜y≥x，0≤y≤π}，D2={(x，y)｜x>y，0≤x≤π}．于是，知识点解析：首先应设法去掉最大值符号max，为此将积分区域分为两部分即可．对于二重积分(或三重积分)的计算问题，当被积函数为分段函数时，应利用积分的可加性分区域进行积分．而在实际考题中，被积函数经常为隐含的分段函数，例如：取绝对值函数｜(x，y)｜、取极值函数max{f(x，y)，g(x，y)}，min{f(x，y)，g(x，y)}，符号函数sgn{f(x，y)一g(x，y)}以及取整函数[f(x，y)]等等．24、计算三重积分绕z轴旋转一周所形成的曲面与两平面z=2，z=8所围成的空间闭区域．标准答案：利用“先二后一”的柱坐标公式．由于垂直于坐标x轴的平面(2≤x≤4)与空间区域Ω的截面为圆，则积分区域Ω可以表示为Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤2x，2≤x≤8}，即固定2≤x≤8，垂直于坐标z轴的平面Z=z与Ω的截面为圆域D(x)：x2+y2≤2z．于是，知识点解析：本题主要考查三重积分在直角坐标系下的计算方法．当积分区域Ω的边界曲面方程容易用极坐标表示，且积分区域Ω为柱体，或被积函数为f(x2+y2)时，三重积分应采用柱坐标变换的换元公式此时，应注意确定变量r、φ、θ的取值范围．已知曲线积(A为常数)，其中φ(y)具有连续的导数，且φ(1)=1．L是围绕原点O(0，0)的任意分段光滑简单正向闭曲线．25、证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有标准答案：如图1—9—4所示，将曲线C分解为C=L1+L2．再作另一条曲线L2围绕原点且与C相接，则知识点解析：暂无解析26、求函数φ(y)的表达式，及常数A的值．标准答案：设且P、Q在单连通区域x＞0内具有连续的偏导数，由上一题知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有于是，xφ(x)=2φ(x)．这是可分离变量的微分方程．解微分方程，得φ(x)=cx2．由条件φ(1)=1，得c=1，从而φ(x)=x2．由于曲线积分与路径无关，故可取闭曲线L：x2+y2=1．根据格林公式，得知识点解析：证明第一题的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而第二题中求φ(y)的表达式，显然应用曲线积分与路径无关即可．本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形．27、计算曲线积分其中г是依参数t增大的方向通过的椭圆：x=asin2t，y=2asintcost，z=acos2t，0≤t≤π．标准答案：利用斯托克斯公式．知识点解析：本题主要考查第一类型曲线积分的求解方法．28、已知{an)是单调增加且有界的正数列，证明：级数收敛．标准答案：由于{an}是单调增加且有界的正数列，则由于{an}有界，所以{Sn}有界，故是正项级数，且其部分和数列有界，因此它收敛．知识点解析：暂无解析29、将函数展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析30、求解微分方程标准答案：将原微分方程化为两边积分得sinu=—ln｜x｜+c．再将变量代换代回到上式中，得原微分方程的通解为其中c为任意常数．知识点解析：本题主要考查齐次微分方程的求解方法．31、求解微分方程xy’sinylnx+(1一xcosy)cosy=0．标准答案：设变量代换u=cosy，则原微分方程就化为这是n=2时的伯努利方程．令z=u－1，代入到上式中，得这是线性微分方程．利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为其中c为任意常数．利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为代入到线性微分方程中，得c(x)=x+c．于是，线性微分方程的通解为其中c为任意常数．最后，再将变量代换z=u－1代回到原微分方程中去，即得原微分方程的通解为其中c为任意常数．另外，当u=0时，(n取整数)也是原微分方程的解．知识点解析：本题主要考查伯努利方程的求解方法．在求解微分方程的通解时，有时有的特解并不在其通解中．这时，就需要按原微分方程的结构来判定．32、求解微分方程y’’一y=ex+4cosx．标准答案：设该微分方程的特解为y*=y1*(x)+y2*(x)=Axex+(Bcosx+Csinx)，代入到微分方程中，得B=一2，c=0，从而微分方程的通解为：其中c1，c2为任意常数．知识点解析：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程的通解的结构以及解的叠加原理．若yi*(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+ay’+by=fi(x)的特解(i=1，2)，则y*=y1*(x)+y2*(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+ay’+by=f1(x)+f2(x)的特解．考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设y=f(x)是微分方程y’’一2y’+4y=一esinx的一个解，若f(x0)＞0，f’(x0)=0，则函数f(x)在点x0()．A、取得极大值B、某邻域内单调增加C、取得极小值D、某邻域内单调减少标准答案：A知识点解析：由题设可知f’’(x0)一2f’(x0)+4f(x0)=又f’(x0)=0，所以，f(x)在x0处取得极大值，故选A．当函数f(x)二阶可导时，驻点x0是否是极值点可用f’’(x0)的符号判定：若f’’(x0)>0，则x0为极小值点；若f’’(x0)<0，则x0为极大值点．这称为极值的第二充分条件，它可以表示为极限形式：若x0为f(x)的驻点，则当A>0时，f(x0)为极小值；当A<0时，f(x0)为极大值．2、已知曲面z=4一x2一y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z一1=0，则点P的坐标是()．A、(1，一1，2)B、(一1，1，2)C、(1，1，2)D、(一1，一1，2)标准答案：C知识点解析：本题考查曲面的切平面的求法以及两个平面平行的充要条件．设切点是P0(x0，y0，z0)，则切平面的法向量是，n={2x0，2y0，1}，它与平面2x+2y+z一1=0的法向量平行，故有由此可得：x0=1，y0=1，z0=4一x02一y02=2，故选C．3、下列选项正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为所以存在N＞1，当n≥N时，0≤从而由正项级数的比较判别法知道收敛．故选D．4、微分方程y’’一y=ex+1的一个特解应具有形式()．A、aex+bB、aex+bxC、axex+bD、axex+bx标准答案：C知识点解析：原方程对应的齐次方程y’’一y=0的两个特征根分别为1，一1，所以y’’一y=1的一个特解形式为b，而y’’一y=e的一个特解形式为axex．根据叠加原理，方程的一个特解形式为b+axex．故选C．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)5、∫－11(1+x2009)(ex—e－x)dx=______．标准答案：应填知识点解析：原式=∫－11x(ex—e－x)dx+∫－11x2010(ex—e－x)dxex—e－x为奇函数，x(ex—e－x)为偶函数，x2010(ex—e－x)为奇函数所以∫－11x2010(ex+e－x)dx=0∫－11x(ex—e－x)dx=2∫01xd(ex+e－x)=2[x(ex+e－x)｜01－∫01(ex+e－x)dx]6、过点P(1，2，一1)且与直线垂直的平面π的方程是______．标准答案：应填x一3y—z+4=0．知识点解析：本题主要考查直线的参数方程及平面的点法式方程．由于所求平面丌与直线L垂直，且直线L的方向向量为s={一1，3，1)，故所求平面π的法向量为，n={一1，3，1}．又因为平面π过点P(1，2，一1)，所以平面π的点法式方程为(一1)(x一1)+3(y一2)+1(z+1)=0，即x一3y—z+4=0．(1)若空间直线方程的参数方程为x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt，则该直线的方向向量为s={m，n，p)．(2)空间直线与平面互相垂直的充分必要条件是其中平面π的法向量为n={A，B，C}．三、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)7、讨论函数f(x)=在(一∞，+∞)上的有界性．标准答案：由f(一x)=可知：f(－x)=f(x)．所以，f(x)是偶函数．只需证明f(x)在[0，+∞)上有界．又于是，对于存在A>0，当x>A时，有即当x>A时，有0x∈[0，A]，有0≤f(x)≤M1．取M=max{1，M1}，则对x∈[0，+∞)，有0≤f(x)≤M从而可知，对x∈(一∞，+∞)，有0≤f(x)≤M．知识点解析：因为f(x)为偶函数，所以只需证明f(x)在[0，+∞)上有界．要证f(x)在[0，+∞)上有界，只要证明存在．(1)要判断函数f(x)在(一∞，+∞)上的有界性，需考察f(x)在间断点x0及在无穷远点的极限．若存在，则f(x)在x0附近有界，若存在，则f(x)在x0的左邻域内有界，若存在，则f(x)在x0的右邻域内有界．若f(x)在(a，b)内连续，又均存在，则f(x)在(a，b)内有界．在闭区间上连续函数一定有界，但在开区间上不连续的函数也可能有界．例如：f(x)在x=0处不连续，但f(x)在(一1，1)内有界．(2)在本题的证明中取(或取其他一个确定的正数)是非常必要的．如果用来证明f(x)在[A，+∞)上有界就是错误的，因为此时的“界”不确定．(3)用变量替换可证明f(x)与其原函数的奇偶性有着密切的联系：若f(x)连续，则1)为奇(偶)函数<=>f(x)为偶(奇)函数．2)为偶函数<=>f(x)为奇函数．8、求极限(用定积分求极限)．标准答案：因为知识点解析：将n项的和转化为积分和，从而可以用定积分计算这种类型的极限．利用定积分求n项和式的极限，关键在于找出定积分中的被积函数f(x)和积分区间[a，b]的n等份之一．当n项和不能直接视为某个定积分对应的积分和时，可通过放缩法将和式转化为某定积分对应的积分和，再利用夹逼定理求解．9、设f(x)在x=0处连续，且求f’(0)．标准答案：即f(0)+2=1，得f(0)=一1．又当x→0时，ln[f(x)+2]=ln[1+f(x)+1]～f(x)+1，所以知识点解析：这是抽象函数求导数值的问题，利用定义在计算极限时，经常要用到下面的结论：(1)若limf(x)g(x)=A，且limg(x)=∞，则limf(x)=0．(2)若limf(x)／g(x)一A≠0，且limf(x)=0，则limg(x)=0．(3)若limf(x)／g(x)=A，且limg(x)=0，则limf(x)=0．10、设f(x)在(一∞，+∞)上有定义，且f’(0)=1，又f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，求f(x)．标准答案：令z=y=0得f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0．即f’(x)一f(x)=ex，f(0)=0，这是一阶非齐次线性微分方程，通解为：f(x)=e∫dx(∫exe－∫dx+c)=cex+xex由f(0)=0，得c=0，所以，f(x)=xex．知识点解析：由已知条件f(x+y)一f(x)=f(x)ey+f(y)ex一f(x)，建立f(x)应满足的微分方程，然后解方程求出f(x)．11、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)一1，试证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=一k．标准答案：作辅助函数F(x)=f(x)+kx，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F’(x)=f’(x)+k．由f(0)=f(1)一1，F(1)=1+k，所以，＜F(0)＜F(1)．由介值定理，存在点c∈使得F(c)=F(0)．因此，F(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导，且F(0)=F(c)．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，c)(0，1)，使得F’(ξ)=f’(ξ)+k=0，即f’(ξ)=一k．知识点解析：这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为导函数的存在性问题．f’(ξ)=一k<=>f’(ξ)+k=0<=>[f(x)+kx]’｜x=ξ=0<=>F(x)=f(x)+kx的导数在(0，1)内有零点．于是，我们只要验证F(x)在[0，1]上或其子区间上满足洛尔定理的全部条件．在本题的证明过程中综合运用了辅助函数法和辅助区间法，构造辅助函数的方法是：将待证的结论变形为f’(ξ)+k=0，即函数F(x)=f(x)+kx的导函数在(0，1)内存在零点的形式．然后取该函数作为用洛尔定理证明本题的辅助函数．由于F(x)在区间[0，1]的端点的值不相等，再由已知条件和介值定理构造使F(x)在端点值相等的辅助区间[0，c]，c∈然后应用洛尔定理得到要证明的结论．12、设不恒为常数的函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(c)=f(b)．其中c为(a，b)内的一点，试证：存在点ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)<0．标准答案：由题设知，f(x)在[a，c]和[c，d]上分别满足洛尔定理的全部条件，由洛尔定理，存在点a1∈(a，c)，b1∈(c，b)，使得f’(a1)=f’(b1)=0．又f’(x)在[a1，b1]上可导且不恒等于零，所以，必存在点a2∈(a1，b1)，使得f’(a2)＞0，或存在点a3∈(a1，b1)，使得f’(a3)＜0．当存在a2∈(a1，b1)，使f’(a2)＞0时，由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a2，b1)，使得当存在a3∈(a1,b1)，使f’(a3)＜0时，由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a3，b1)，使得综上可知，存在点ξ∈(a1，b1)(a，b)，使得f’’(ξ)<0．知识点解析：由题设知，可在[a，c]，[c，b]上分别对f(x)用洛尔定理，存在点a1∈(a，c)，b1∈(c，b)，使得f’(a1)=f’(b1)=0．但f(x)不恒等于常数，可知f’(x)≠0．从而可知，f’(x)在[a1，b1]上可导，不恒等于零，且f’(a1)=f’(b1)=0．然后可用拉格朗日中值定理证明存在点ξ∈(a1，b1)，使得f’’(ξ)<0．为了证明存在点ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)<0，我们可对f(x)应用拉格朗日中值定理和洛尔定理，再对f’(x)应用拉格朗日中值定理．一般来说，若要从函数f(x)的性质出发去证明其k阶导数f(k)(x)在某点满足指定的要求，需要对f(x)，f’(x)，…，f(k－1)(x)依次运用微分中值定理．13、求标准答案：原式知识点解析：14、设f’(x)=arcsin(x一1)2及f(0)=0，求∫01f(x)dx．标准答案：∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x－1)=(x－1)f(x)｜01－∫01f’(x)(x－1)dx=—∫01(x－1)arcsin(x－1)2dx知识点解析：若已知f(a)=0或f(b)=0时，则在分部积分时可用下面的小技巧简化计算．若已知f(a)=0，则∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)=一∫ab(x一b)f’(x)dx．若已知f(b)=0，则∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一a)=一∫ab(x一a)f’(x)dx．15、计算标准答案：知识点解析：对于广义积分只有在已知收敛的前提下，才能考虑利用被积函数的奇、偶性简化计算．16、求曲线的渐近线．标准答案：所以x=一1，x=0是曲线的铅直渐近线．知识点解析：．需注意的是：若曲线在一个方向上有水平渐近线，则在此方向上一定没有斜渐近线，同一条曲线最多有两条水平渐近线，但可能有多条铅直渐近线．17、过曲线上点M作切线，使该切线和曲线及x轴所围成的平面图形的面积为,求切点M的坐标．标准答案：设M(x0,y0)是曲线上一点，则过点M(x0,y0)的切线方程为它在x轴上的截距为x=－x0．于是，由切线、曲线和x轴所围成的平面图形的面积S为知识点解析：暂无解析18、设空间中一个平面π与坐标轴z、y、z的交点分别为P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)，求该平面π的方程，其中abc≠0．标准答案：设所求平面π的方程为Ax+By+Cz+D=0，将点P，Q，R分别代入，得知识点解析：本题主要考查空间平面的截距式方程．空间平面方程的表达式主要有：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0．(2)点法式方程：A(x—x0)+B(y一y0)+C(z—z0)=0．(3)截距式方程：19、设二元函数z=z(x，y)是由方程xexy+yz2=yzsinx+z所确定，求二阶偏导数标准答案：由x=0，y=0，得z=0．在方程两边同时对变量z求偏导数，得．知识点解析：暂无解析20、计算二重积分sin(x2+y2)dxdy，其中积分区域D={(x，y}｜x2+y2≤π}．标准答案：作极坐标变换，x=rcosθ，y=rsinθ，则令t=r2，则I=πeπ∫0πe－tsintdt．再令∫0πe－tsintdt=A，则A=－∫0πsint(e－t)=－(e－tsint｜0π—∫0πe－tcostdt)=－∫0πcostd(e－t)=－(e－tcost｜0π+∫0πe－tsintdt)=e－π+1－A．知识点解析：因为被积函数f(x，y)含有x2+y2，且积分区域D为圆，应选用极坐标系计算二重积分．21、交换二重积分的积分次序，其中f(x，y)为连续函数．标准答案：如图1—8—6，由已知二重积分的第一部分得积分区域D1={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x2}．知识点解析：交换二重积分的一般步骤为：(1)根据原有的二重积分的上、下限，画出相应的积分区域的图形；(2)按着新的积分次序写出相应的二重积分．根据原有的二重积分的上、下限，画出相应的积分区域的图形，是解答本类型题的关键所在．22、已知球A的半径为R，另一半径为r的球B的中心在球A的表面上(r≤2R)．(1)求球B被夹在球A内部的表面积．(2)问r的值为多少时，该表面积为最大?并求出最大表面积的值．标准答案：设球B的中心在点(0，0，R)处，球B被球A所割部分的方程为(1)所求曲面面积为(2)本题的关键在于球B的中心位置的设定，亦即坐标系的选取．知识点解析：首先确定表面积的曲面方程，然后再利用表面积的面积公式，求出相应的表面积S，其中曲面在坐标平面xOy上的投影区域为D．23、计算曲线积分其中曲线弧L为；x2+y2=一2y．标准答案：将曲线弧长L所满足的方程转化为参数方程知识点解析：因为曲线弧L是一个圆，故可用极坐标计算曲线积分．设曲线积分其中L为平面上任意一条分段光滑闭曲线，且P(x，y)=2[xφ(y)+ψ(y)]，Q(x，y)=x2ψ(y)+2xy2一2xφ(y)．其中φ(y)、ψ(y)在R'内有连续的导数，且φ(0)=一2，ψ(0)=1．24、试求φ(y)、ψ(y)的表达式．标准答案：因为在平面上任意一条分段光滑闭曲线L上，即积分∫LPdx+Qdy在平面上与路径无关．也即对任意的(x,y)．也即2[xφ’(y)+ψ’(y)]=2xψ(y)+2y2一2φ(y)．也即xφ’(y)+ψ’(y)=xψ(y)+y2一φ(y)．也即于是ψ(y)=φ’(y)=cosy+2y．知识点解析：暂无解析25、求曲线积分标准答案：知识点解析：主要考查曲线积分与路径无关的充分必要条件，二阶线性微分方程的特解以及相应的曲线积分．上一题通过曲线积分与路径无关的条件，得到一个二阶线性微分方程，它是本题解题的关键所在．下一题利用了全微分方程的解题方法．26、设∑是球面x2+y2+z2一2ax一2ay一2az+a2=0(a>0，为常数)，证明：标准答案：因为球面∑可改为(x一a)2+(y一a)2+(z一a)2=2a2，由轮换对称性知：又因为球面∑的球心的z的坐标为知识点解析：暂无解析27、一条鲨鱼在发现血腥味时，总是向着血腥味最浓的方向追寻．在海面上进行试验表明：如果把坐标原点取在血源处，在海面上建立直角坐标系，那么点(x，y)处血液的浓度c(每百万份水中所含血的份数)可以近似地表示为求鲨鱼从点(x0，y0)出发向血液前进的路线．标准答案：设鲨鱼的前进路线为L：y=f(x)．首先，建立f(x)应满足的关系式．由于鲨鱼追踪最强的血腥味，所以它每一瞬间都将按血液浓度增加最快、即按C的梯度方向前进又由于鲨鱼前进的方向即L的切线方向，而切线方向向量又可以表为s={dx,dy}，于是，s的方向和梯度gradC的方向平行，即从而y=f(x)应满足条件为这是一个可分离变量得微分方程．解此微分方程，得鲨鱼的前进路线为知识点解析：本题主要考查梯度与方向导数之间的关系，并由此建立相应的微分方程．梯度的方向就是函数在某点处的方向导数的最大的方向，即梯度的方向=方向导数的最大方向．28、求级数的收敛域．标准答案：设则原级数化为新级数所以新级数的收敛半径R=1．当u=一1时，新级数发散，根据比较判别法的极限形式知，新级数发散．当u=1时，新级数单调有界，则新级数收敛．于是，新级数的收敛域为(一1,1]，从而原级数的收敛域为解此不等式，即得原级数的收敛域为知识点解析：求幂级数的收敛域是基本题型，本题的关键是简化幂级数的一般项．29、试将f(x)=x2，x∈[一π，π]展开为以π为周期的傅里叶级数，并由此求数项级数的“和数”．标准答案：在x∈[一π，π]上，因为f(x)=x2为偶函数，故bn=0(n=1，2，…)，且在端点x=±π处，该傅里叶级数收敛于因此又狄利克雷收敛定理，知识点解析：因为f(x)=x2在x∈[一π，π]为偶函数，故bn=0(n=1，2，…)．因此，所展成的傅里叶级数为余弦级数．30、设f(x)，g(x)满足f’(x)=g(x)，g’(x)=2ex一f(x)，且f(0)=0，g(0)=2．求积分值标准答案：由条件f’(x)=g(x)，得f’’(x)=g’(x)=2ex一f(x)，即求解齐次微分方程：特征方程为λ2+1=0，λ=±n’，通解为非齐次微分方程：因为r=1不是特征方程的解，故设特解f*(x)=Aex，则得A=1．于是，通解为f(x)=c1cosx+c2sinx+ex．将条件f(0)=0，g(0)=2代入到通解中，得特解f(x)=sinx一cosx+ex，其中c1=一1，c2=1．从而知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设函数f(x)在x=0处连续，且则()A、f(0)=0且f－’(0)存在B、f(0)=1且f－’(0)存在C、f(0)=0且f+’(0)存在D、f(0)=1且f+’(0)存在标准答案：C知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，且所以f(0)=0．从而有2、若非零向量a，b满足关系式｜a－b｜=｜a+b｜，则必有()A、a－b=a+bB、a=bC、a.b=0D、a×b=0标准答案：C知识点解析：｜a－b｜2=(a－b).(a－b)=｜a｜2+｜b｜2－2a.b，｜a+b｜2=(a+b).(a+b)=｜a｜2+｜b｜2+2a.b，从｜a－b｜=｜a+b｜即知－2a.b=2a.b，4a.b=0，所以a.b=0．或者由向量加减运算的几何意义，a－b与a+b分别表示以a，b为邻边的平行四边形的两条对角线向量，而平行四边形的丽对角线长度相等时，必是矩形．即知a⊥b，a.b=0．应选C．3、设c=αa+βb，a，b为非零向量，且a与b不平行．若这些向量起点相同，且a，b，c的终点在同一直线上，则必有()A、αβ≥0B、αβ≤0C、α+β=1D、α2+β2=1标准答案：C知识点解析：依题意，αa+βb－b与αa+βb－a平行，从而有(αa+βb－b)×(αa+βb－a)=0，即αβa,×b+αβb×a－βb×a－αb×a+b×a=0．因为a×b=－b×a，所以从上式可得(α+β)b×a=b×a．又a与b不平行，a×b≠0，故得α+β=1．应选C．4、以下4个平面方程：①7x+5y+2z+10=0，②－7y－5y+2z－10=0，③7x－y+14z+26=0，④x－7y+14z－26=0，是平面x+2y－2z+6=0和平面4x－y+8z－8=0的交角的平分面方程的是()A、①②B、②③C、②④D、①④标准答案：D知识点解析：设M(x，y，z)为所求平面上的任一点，根据题意，M到两个已知平面的距离相等，所以即3｜x+2y－2z+6｜=｜4x－y+8z－8｜，因此3x+6y－6z+18=±(4x－y+8z－8)，故所求平面的方程是x－7y+14z－26=0或7x+5y+2z+10=0．故选择D．5、设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的()A、最大值点和最小值点必定都在D的内部B、最大值点和最小值点必定都在D的边界上C、最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D、最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上标准答案：B知识点解析：令由于B2－AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．6、设∑是曲面被平面z=1割下的有限部分，则曲面积分的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：设∑1为∑在第一卦限部分的曲面，∑1：Dxy={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，Y≥0}，用极坐标表示为所以因为∑关于yOz面，zOx面对称，函数｜yz｜关于变量x或y都为偶函数，故7、下列命题中正确的是()A、若un＜vn(n=1，2，3，…)，则B、若un＜vn(n=1，2，3，…)，收敛C、若收敛D、若ωn＜un＜vn(n=1，2，3，…)，收敛标准答案：D知识点解析：因为ωn＜un＜vn，所以0＜un－ωn＜vn－ωn．又因为收敛．因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选A，选项B，C将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对．例如取级数可以说明B不对，取级数就可以说明C不对，故选D．8、方程y(4)－2y’’’－3y’’=e－3x－2e－x+x的特解形式(其中a，b，c，d为常数)是()A、axe－3x+bxe－x+cx3B、ae－3x+bxe－x+cx+dC、ae－3x+bxe－x+cx3+dx2D、axe－3x+be－x+cx3+dx标准答案：C知识点解析：特征方程r2(r2－2r－3)=0，特征根为r1=3，r2=－1，r3=r4=0，对于f1(x)=e－3x，λ1=－3非特征根，y1*=ae－3x；对于f2(x)=－2e－x，λ2=－1是特征根，y2*=bxe－x；对于f3(x)=x，λ3=0是二重特征根，y3*=x2(cx+d)，所以特解y*=y1*+y2*+y3*=ae－3x+bxe－x+cx3+dx2．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设则y’=______．标准答案：知识点解析：用求导法则计算得10、函数F(x)=∫1x(1一)dt(x＞0)的递减区间为_______．标准答案：[e2，+∞)知识点解析：需要考虑F(x)的导函数令F’(x)≤0，即得x≥e2．11、=______．标准答案：ln2(tanx)+C，其中C为任意常数知识点解析：12、二元函数f(x，y)=xy在点(e，0)处的二阶(即n=2)泰勒展开式(不要求写余项)为______．标准答案：知识点解析：由题知f(e，0)=1，fx’(x，y)=yxy－1，fx’(e，0)=0，fy’(x，y)=xylnx，fy’(e，0)=1，fxx’’(x，y)=y(y－1)xy－2，fxx’’(e，0)=0，fxy’’(x，y)=xy－1+yxy－1lnx，fxy’’(e，0)=e－1，fyy’’(x，y)=xy(lnx)2，fyy’’(e，0)=1．因此f(x，y)在点(e，0)处展开的二阶泰勒公式为f(x，y)=f(e，0)+(x－e)fx’(e，0)+(y－0)fy’(e，0)+[(x－e)2fxx’’(e，0)+2(x－e)(y－0)fxy’’(e，0)+(y－0)2fyy’’(e，0)]+R3略去R3，得如上所填．13、微分方程ydx－xdy=x2ydy的通解为______．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：将方程改写为此为全微分方程，即通解为其中C为任意常数．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)14、求极限标准答案：因为x→0时，而故原极限=知识点解析：暂无解析15、设f(x)是三次多项式，且有标准答案：因为所以f(2a)=f(4a)=0，从而得知x=2a，x－4a为f(x)的因式．又因为f(x)为三次多项式，可令f(x)=b(x－2a)(x－4a)(x－c)．于是知识点解析：暂无解析16、设函数f(y)的反函数f－1(x)及f’[f－1(x)]与f’’[f－1(x)]都存在，且f’[f－1(x)]≠0．证明：标准答案：设x=f(y)，则其反函数为y=f－1(x)．对x=f(y)两边关于x求导，得知识点解析：暂无解析17、设求y(n)(n＞1)．标准答案：经计算A=8，B=－1．故知识点解析：暂无解析18、设f(x)在闭区间[一1，1]上具有三阶连续导数，且f(－1)=0，f(1)=1，f’(0)=0．证明：在[一1，1]内存在ξ，使得f’’’(ξ)=3．标准答案：f(x)=f(x0)+f’(x0)(x－x0)+(x0)(x－x0)2+f’’’(η)(x－x0)3，取x0=0，x=1代入，得η1∈(0，1)．①取x0=0，x=－1代入，得η2(－1，0)．②①－②得f(1)－f(－1)=[f’’’(η1)+f’’’(η2)]=1－0=1．③因为f’’’(x)在[－1，1上连续，则存在m和M，使得x∈[－1,1]，m≤f’’’(x)≤M，m≤f’’’(η1)≤M，m≤f’’’(η2)≤M=>m≤[f’’’(η1)+f’’’(η2)]≤M．④③代入④，有m≤3≤M，由介值定理，存在ξ∈[－1，1]，使得f’’’(ξ)=3．知识点解析：暂无解析19、(1)证明如下所述的型洛必达(L’Hospital)法则：设①②存在x0的某去心邻域时，f’(x)与g’(x)都存在，且g’(x)≠0；③(只要求对于x→x0+的情形给出证明)；(2)请举例说明：若条件③不成立，但仍可以存在．标准答案：令在区间[x0，x]上F(x)与G(x)满足柯西中值定理条件，于是有(2)举例：而却不存在，洛必达法则不成立，原因在于条件③不满足．知识点解析：暂无解析20、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析21、对于实数x＞0，定义对数函数依此定义试证：(1)(2)ln(xy)=lnx+lny(x＞0，y＞0)标准答案：(1)(2)令t=xξ，则有知识点解析：暂无解析22、设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．标准答案：由积分中值定理，得f(1)=e1－ξ12f(ξ1)，ξ1∈令F(x)=e1－x2f(x)，则F(x)在[ξ1，1]上连续，在(ξ1，1)内可导，且F(1)=f(1)=e1－ξ12f(ξ1)=F(ξ1)．由罗尔定理，在(ξ1，1)内至少有一点ξ，使得F’(ξ)=e1－ξ2[f’(ξ)－2ξf(ξ)]=0，于是f’(ξ)=2ξf(ξ)，ξ∈(ξ1，1)(0，1)．知识点解析：暂无解析23、求二重积分直线y=2，y=x所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析24、证明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．标准答案：本题看似是二重积分问题，事实上，用代换t=xy可将累次积分化为定积分．在∫01(xy)xydy中，视x为常数，令t=xy，dt=xdy,当y从0变到1时，t从0变到x，则从而∫01dx∫01(xy)xydy==－∫01ttlntdt．于是也就是要证明－∫01ttlntdt=∫01ttdt，移项后就是要证明∫01tt(1+lnt)dt=0．事实上，tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故∫01tt(1+lnt)dt=etlnt｜01=0．知识点解析：暂无解析25、已知∑：z=z(x，y)，(x，y)∈D，求证：标准答案：因曲面z=z(x，y)在任一点(x，y，z)的法线向量为(－zx’，=zy’，1)，故又利用两类曲面积分之间的关系，则得到知识点解析：暂无解析26、设平面区域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1)，求标准答案：将D分成第一、二、三、四象限中的4块，分别记为D1，D2，D3，D4，如图1．6—14所示．用极坐标，其中先对D1进行积分：根据对称性，被积函数关于x，y均为偶函数，且积分区域关于x轴、y轴对称，故知识点解析：暂无解析27、判别级势的敛散性．标准答案：这是交错级数，易见：｜un｜→0，但｜un｜≥｜un－1｜不成立，莱布尼茨判别法失效．分母有理化后，可判定单调减少，因此级数满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的．但级数发散．因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，故原级数发散。知识点解析：暂无解析28、设f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数f’(x)有界，证明：标准答案：(1)其中｜f’(x)｜≤M，M是正常数，所以绝对收敛．(2)由于级数存在．知识点解析：暂无解析29、求(x+2)y’’+xy’2=y’的通解．标准答案：两边同除以P2，化为当C1＞0时，得当C1=0时，得当C1＜0时，得其中C1，C2，C3，C4为任意常数．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、若f(x)在x0点可导，则｜f(x)｜在x0点()A、必可导B、连续，但不一定可导C、一定不可导D、不连续标准答案：B知识点解析：函数f(x)=x在x=0处可导，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0处不可导，排除A．函数f(x)=x2在x=0处可导，｜f(x)｜=｜x2｜在x=0处也可导，排除C，D．关于选项B，因为f(x)在x0点可导，故在x0点连续．当x→x0时，｜｜f(x)｜－｜f(x0)｜｜≤｜f(x)－f(x0)｜→0，故｜f(x)｜也在x0处连续．选B．2、曲面x2+4y2+z2=4与平面x+z=a的交线在yOz平面上的投影方程是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：根据题意，曲面与平面的交线在yOz平面上的投影应在yOz平面上，故x=0，因而选项B和D不对．又曲面与平面的交线在yOz平面上的投影柱面方程应不含变量x，故选项C也不对．应选A．3、曲线S：在点(1，一1，0)处的切线方程为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：曲面x2+y2+z2=2在点(1，－1，0)处的法向量为n1=(2，－2，0)，平面x+y+z=0的法向量为n2=(1，1，1)，于是，曲线在点(1，－1，0)处的切向量为τ=n1×n2=(－2，－2，4)，故所求切线方程为4、设∑为球面x2+y2+z2=1的外侧，则下面4个结论：其中正确的个数为()A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：C知识点解析：由对称性得由高斯公式得(由积分区域的对称性及被积函数的奇偶性)．同理可证5、若an(x－1)2在x=－1处收敛，则在x=2处是()A、条件收敛B、绝对收敛C、发散D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：由an(x－1)n在x=－1处收敛，可知收敛半径R≥｜－1－1｜=2．而x=2处．因｜2－1｜=1＜R，所以x=2在收敛区间内，即原级数在x=2处绝对收敛，故应选B．6、下列结论正确的是()A、anxn在收敛域上必绝对收敛B、anxn的收敛半径为R，则R一定是正常数C、若anxn的收敛半径为R，则其和函数S(x)在(－R，R)内必可微D、都是幂级数标准答案：C知识点解析：由幂级数anxn的和函数S(x)性质可知，命题C正确．命题A错误：如收敛域为(－1，1]，但在x=1处，条件收敛．命题B错误：因为收敛半径可能为R=0或R=+∞．命题D错误：由幂级数的定义可知不是幂级数．7、设线性无关的函数y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3B、C1y1+C2y2－(C1+C2)y3C、C1y1+C2y2－(1－C1－C2)y3D、C1y1+C2y2+(1－C1－C2)y3标准答案：D知识点解析：由于C1y1+C2y2+(1－C1－C2)y3=C1(y1－y3)+C2(y2－y3)+y3，其中y1－y3和y2－y3是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又y3是原方程的一个特解，所以选项(D)是原方程的通解．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设f’’(x0)=2，则=______．标准答案：1知识点解析：9、=_______．标准答案：0知识点解析：被积函数是[－2，2]上的奇函数，故在对称区间[－2，2]上积分为零．10、=______．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：11、设F(u，v)对其变元u，v具有二阶连续偏导数，并设=______．标准答案：知识点解析：12、设y1=ex，y2=x2为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为______．标准答案：知识点解析：由于方程结构已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可．由于y=ex与y：=x2线性无关，故该二阶齐次线性微分方程的通解为y=C1ex+C2x2，y’=C1ex+2C2x，y’’=C1ex+2C2．三式联立消去C1与C2便得如上所填．13、设当x≥0时，f(x)有连续的二阶导数，并且满足f(x)=－1+x+2∫0x(x－t)f(t)f’(t)dt，则f(x)=______．标准答案：知识点解析：两边对x求导两次，得f’’(x)=2f(x)f’(z)．初始条件为f(0)=－1，f’(0)=1．上述方程可改写为f’’(x)=[(f(x))2]’，两边积分得f’(x)=[f(x)]2+C1，由初始条件得出C1=0．于是f’(x)=[f(x)]2．分离变量后积分得再由初始条件得出C2=1，即得解如上．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)14、判断“分段函数一定不是初等函数”是否正确，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系．标准答案：不正确．初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数．分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如φ(x)=｜x｜，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式：它是由初等函数和u=x2复合而来，所以函数φ(x)=｜x｜是初等函数．而不是初等函数．知识点解析：暂无解析15、计算标准答案：知识点解析：暂无解析16、设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与n轴的交点为(x0，0)，计算标准答案：由导数几何意义，曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线斜率k=f’(1)=nxn－1｜xx=1=n，所以切线方程为y=1+n(x－1)，令y=0解得因此知识点解析：暂无解析17、设试确定常数a，b，c，使f(x)在x=0点处连续且可导．标准答案：因为及c为任意值时，f(x)在x=0处连续．又因为令f－’(0)=f+’(0)，可得时，f’(0)存在．故当a=2，时，f(x)在x=0处连续且可导．知识点解析：暂无解析18、在区间[0，a]上｜f’’(x)｜≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．求证：｜f’(0)｜+｜f’(a)｜≤Ma．标准答案：f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设在点x=c处取到，则f’(c)=0．f’(x)在[0，c]与[c，a]上分别使用拉格朗日中值定理，f’(c)－f’(0)=cf’’(ξ1)，ξ1∈(0，c)，f’(a)－f’(c)=(a－c)f’’(ξ2)，ξ2∈(c，a)，所以｜f’(0)｜+｜f’(a)｜=c｜f’’(ξ1)｜+(a－c)｜f’’(ξ2)｜≤cM+(a－c)M=aM．知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．19、叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理；标准答案：拉格朗日中值定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则至少存