考研数学一（高等数学）模拟试卷7（共258题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷7（共9套）（共258题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设则g[f(x)]为A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析2、当x→0时，变量是A、无穷小B、无穷大C、有界的，但不是无穷小D、无界的，但不是无穷大标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设数列xn与yn满足则下列断言正确的是A、若xn发散，则yn必发散B、若xn无界，则yn必无界C、若xn有界，则yn必为无穷小D、若为无穷小，则yn必为无穷小标准答案：D知识点解析：暂无解析4、设f(x)=2x+3x一2，则当x→0时A、f(x)与x是等价无穷小B、f(x)与x是同阶但非等价无穷小C、f(x)是比x较高阶的无穷小D、f(x)是比x较低阶的无穷小标准答案：B知识点解析：暂无解析5、设x→0时，etanx一en是与xn同阶的无穷小，则n为A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：暂无解析6、设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则A、存在且一定等于零B、存在但不一定为零C、一定不存在D、不一定存在标准答案：D知识点解析：暂无解析7、设函数在(一∞，+∞)内连续，且则常数a，b满足A、a＜0，b＜0B、a＞0，b＞0C、a≤0，b＞0D、a≥0，b＜0标准答案：D知识点解析：暂无解析8、设f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则A、φ{f(x)]必有间断点B、[φ(x)]2必有间断点C、f[φ(x)]必有间断点D、必有间断点标准答案：D知识点解析：暂无解析9、设函数讨论函数f(x)的间断点，其结论为A、不存在间断点B、存在间断点x=1C、存在间断点x=0D、存在间断点x=一1标准答案：B知识点解析：暂无解析10、设则f(x)在点x=0处A、极限不存在B、极限存在但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案：C知识点解析：暂无解析11、设则在点x=1处函数f(x)A、不连续B、连续但不可导C、可导，但导数不连续D、可导且导数连续标准答案：B知识点解析：暂无解析12、设f(x)在x=a的某邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充要条件是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析13、若f(x+1)=af(x)总成立，且f’(0)=b(a，b为非零常数)，则f(x)在x=1处A、不可导B、可导且f(1)=aC、可导且f’(1)=bD、可导且f’(1)=ab标准答案：D知识点解析：暂无解析14、设函数f(x)在点x=a处可导，则函数|f(x)|在点x=a处不可导的充分条件是A、f(a)=0且f’(a)=0B、f(a)=0且f’(a)≠0C、f(a)＞0且f’(a)＞0D、f(a)＜0且f’(a)＜0标准答案：B知识点解析：暂无解析15、设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且对任意的x1和x2，当x1>x2时都有f(x1)>f(x2)，则A、对任意x，f’(x)＞0B、对任意x，f’(一x)≤0C、函数f(一x)单调增加D、函数一f(一x)单调增加标准答案：D知识点解析：暂无解析16、设f(x)的导数在x=a处连续，则A、x=a是f(x)的极小值点B、x=a是f(x)的极大值点C、(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点D、x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：暂无解析17、设y=f(x)满足y"+y’一esinx=0，且f’(x0)=0，则f(x)在A、x0某邻域内单调增加B、x0某邻域内单调减少C、x0处取得极小值D、x0处取极大值标准答案：C知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)满足关系式f"(x)+[f’(x)2=x且f’(0)=0，则A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、点(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：暂无解析19、曲线的渐近线有A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：暂无解析20、若则为()A、0B、6C、36D、∞标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)21、已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1一x2，则φ(x)=_____________的定义域为______________．标准答案：arcsin(1一x2)，知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、设函数f(x)=ax(a＞0，a≠1)，则标准答案：知识点解析：暂无解析24、标准答案：知识点解析：暂无解析25、标准答案：2知识点解析：暂无解析26、若在(一∞，+∞)上连续，则a=___________．标准答案：一2知识点解析：暂无解析27、已知f’(x0)=-1标准答案：1知识点解析：暂无解析28、设f(1+x)一3f(1一x)=8x(1+|sinx|)，其中f(x)连续，则f’(1)=__________．标准答案：2知识点解析：暂无解析29、设f’(1)=2，极限存在，则标准答案：一2知识点解析：暂无解析30、已知f’(x)=arctanx2，则标准答案：知识点解析：暂无解析31、设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则标准答案：1知识点解析：暂无解析32、设其中f(x)可导且f’(0)≠0，则标准答案：3知识点解析：暂无解析33、标准答案：知识点解析：暂无解析34、设f(x)=x(x一1)(x一2)…(x一n)，则f’(0)=_______________，f(n+1)(x)=___________．标准答案：(一1)nn!，(n一1)!知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、若函数f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，且f(0)＜0，f’(x)≥k＞0，则在(0，+∞)内f(x)A、没有零点．B、至少有一个零点．C、只有一个零点．D、有无零点不能确定．标准答案：C知识点解析：讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理．根据拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f’(ξ)x(0＜ξ＜x)，得f(x)≥f(0)+kx．显然当x足够大时f(x)＞0(事实上只需x＞－f(0)／k)，又f(0)＜0，这就表明在(0，x)内存在f(x)的零点，又f’(x)＞0，即有f(x)单调增加，从而零点唯一，故选(C)．2、设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=0的两个特解，则C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为A、y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)=0．B、y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)≠0．C、y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)=0．D、y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)≠0．标准答案：B知识点解析：根据题目的要求y1(x)与y2(x)应该线性无关，即y1(x)／y2(x)≠λ(常数)．反之，若这个比值为常数，即y1(x)=λy2(x)，那么y1’(x)=λy2’(x)，利用线性代数的知识，就有y1(x)y2’(x)－y2(x))，y1’(x)=0．所以，(B)成立时，y1(x)，y2(x)一定线性无关，应选(B)．3、设f(x，y)在(x0，y0)邻域存在偏导数且偏导数在点(x0，y0)处不连续，则下列结论中正确的是A、f(x，y)在点(x0，y0)处可微且dB、f(x，y)在点(x0，y0)处不可微．C、f(x，y)在点(x0，y0)沿方向ヨ方向导数．D、标准答案：D知识点解析：当f(x，y)在(x0，y0)邻域ヨ偏导数，而在(x0，y0)不连续时，不能确定f(x，y)在(x0，y0)是否可微，也不能确定它在(x0，y0)是否存在方向导数．故(A)，(B)，(C)不正确，只有(D)正确．或直接考察曲线它在点(x0，y0，f(x0，y0))处的切向量是故(D)正确．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、1+x2－当x→0时是x的_______阶无穷小(填数字)．标准答案：4知识点解析：由于因此当x→0时1+x2－是x的4阶无穷小．5、设y=f()且f’(x)=arctanx2，则dy／dx|x=0=_______．标准答案：3／4π知识点解析：y=f(u)，u=u|x=0=－1．6、曲线上对应点t=2处的切线方程为_______．标准答案：y=3x－7知识点解析：t=2时(x，y)=(5，8)，切线方程为y－8=3(x－5)，即y=3x－7．7、∫(lnlnx+)dx=_______.标准答案：xlnlnx+C知识点解析：原式=∫(lnlnx+x．)dx=∫lnlnxdx+xd(lnlnx)=∫d(xlnlnx)=xlnlnx+C．8、∫0+∞x7dx=_______．标准答案：3知识点解析：令x2=t，财原式=1／2∫0+∞t3e－tdt．令∫t3e－tdt=e－t(at3+bt2+dt+e)+C，两边求导得t3e－t=e－t[－at3+(3a－b)t2+(2b－d)t+d－e]，比较两边t的同次幂项的系数得a=－1，b=－3，d=－6，e=－6．于是原式=1／2．|0+∞=3．9、标准答案：知识点解析：考察部分和三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、求d／dx∫0φ(x)[φ(x)－t]f(t)dt，其中f(t)为已知的连续函数，φ(x)为已知的可微函数．标准答案：d／dx∫0φ(x)[φ(x)－t]f(t)dt=d／dx[φ(x)∫0φ(x)f(t)dt]－[∫0φ(x)tf(t)dt]=φ’(x)∫0φ(x)f(t)dt+φ(x)f[φ(x)]φ’(x)－φ(x)f[φ(x)]φ’(x)=φ’(x)∫0φ(x)f(t)dt．知识点解析：暂无解析求下列旋转体的体积V：11、由曲线y=x2，x=y2所围图形绕x轴旋转所成旋转体；标准答案：如图3．2，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为V=∫01π[()2－(x2)2]dx=π∫01(x－x4)dx知识点解析：暂无解析12、由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)，y=0所围图形绕y轴旋转的旋转体．标准答案：如图3．3，所求体积为V=2π∫02πayxdx=2π∫02πa(1－cost)a(t－sint)a(1－cost)dt=2πa3∫02π(1－cost)2(t－sint)dt=2πa3∫02π(1－cost)2tdt－2πa3∫－ππ(1－cost)2sintdt=2πa3∫02π(1－cost)2tdt2πa3∫－ππ[1－cos(u+π)]2(u+π)du=2πa3∫－ππ(1+cos)2udu+2π2a3∫－ππ(1+cosu)2du=4π2a3∫02π(1+cosu)2du=4π2a3∫02π(1+2cosu+cos2u)du=4π2a3(π+)=6π3a3．知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，b]连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点ξ，使得f’(ξ)＞0．标准答案：若不然x∈(a，b)，f’(x)≤0f(x)在[a，b]单调不增x∈[a，b]，f(a)≥f(x)≥f(b)f(x)≡f(a)=f(b)在[a，b]为常数，矛盾了．知识点解析：暂无解析求下列微分方程的通解：14、(x－2)dy=[y+2(x－2)3]dx；标准答案：原方程改写成=2(x－2)2．(一阶线性方程)积分得=(x－2)2+C．通解y=(x－2)3+C(x－2)，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析15、y2dx=(x+y2e(y－1)／y)dy；标准答案：原方程改写成(以y为自变量，是一阶线性的)通解x=，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析16、(3y－7x)dx+(7y－3x)dy=0；标准答案：原方程改写成积分得－1／7(ln|1－u|2+ln|1+u|5)=ln|x|+C’1，通解为(x－y)2(x+y)5=C，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析17、－3xy=xy2．标准答案：这是伯努利方程．将原方程改写成故通解为其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析18、5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1kg肥皂．标准答案：设t时刻水中含的肥皂量为Q(t)kg，任取[t，t+dt]，这段时间内肥皂含量的减少量=抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得因此，当t=T=301n5时肥皂水中只有1kg肥皂．知识点解析：暂无解析19、已知α，β，γ不共线，证明α+β+γ=0的充要条件是α×β=β×γ=γ×α．标准答案：设α+β+β=0α×β+γ×β=0α×β－β×γ=0α×β=β×γ．同理，由α+β+γ=0α×γ+β×γ=0β×γ=γ×α．设α×β=β×γ=γ×α，则(α+β+γ)×α=β×α+γ×α=0，(α+β+γ)×β=α×β+γ×β=0，(α+β+γ)×γ=α×γ+β×γ=0．α，β，γ均与α+β+γ，共线α+β+γ=0．知识点解析：暂无解析20、设u=f(x／z，y／z)，求du及标准答案：u是u=f(s，t)与s=x／z，t=y／z复合而成的x，y，z的三元函数．先求du．由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得du=f’1d(x／z)+f’2d(y／z)知识点解析：暂无解析21、求椭球面S：x2+y2+z2－yz－1=0上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y，z)的切平面与Oxy，平面垂直．标准答案：椭球面S上点(x，y，z)处的法向量n={2x，2y－z，2z－y}．点(x，y，z)处切平面⊥Oxy平面，则n．k=0，即2z－y=0．又(x，y，z)在S上x2+y2+z2－yz－1=0．因此所求点的轨迹：它是圆柱面x2+y2=1与平面2z－y=0的交线．知识点解析：暂无解析求下列二重积分的累次积分22、I=∫01dxsiny／ydy；标准答案：如图9．15所示．=∫01siny／y(y－y2)dy=∫01sinydy+∫01ydcosy=－cosy|01+cos1－∫01cosydy=1－siny|01=1－sin1．知识点解析：暂无解析23、I=∫0Rdxln(1+x2+y2)dy(R＞0)．标准答案：如图9．16所示．=π／4[R2ln(1+R2)－R2+ln(1+R2)]=π／4[(1+R2)ln(1+R2)－R2]．知识点解析：暂无解析24、标准答案：Ω：1≤z≤1+，(x，y)∈Dxy如图9．21—(a)．它是由半球面：(z－1)2=1－x2－y2(z≥1)与平面z=1所围成的y≥0部分．作球坐标变换．z=1对应ρ=1／cosφ，半球面对应ρ=2cosφ．Ω的球坐标表示(如图9．21—(b))知识点解析：暂无解析25、求，其中L：x2+y2=R2的正方向．标准答案：将L表成参数方程的形式，即x=Rcosθ，y=Rsinθ(0≤θ≤2π)，于是注意到右端积分存在且为一常数，所以知识点解析：暂无解析判断下列曲线积分在指定区域D是否与路径无关，为什么?26、∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)，其中f(u)为连续函数，D：全平面.标准答案：f(x2+y2)(xdx+ydy)=f(x2+y2)d[1／2(x2+y2)]=d[1／2(∫0uf(t)dt)]，即被积表达式f(x2+y2)(xdx+ydy)ヨ原函数，因此该线积分在全平面与路径无关．知识点解析：暂无解析27、∫L，D={(x，y)|全平面除去－∞＜x≤0，y=0}．标准答案：如图10．9，L=∫LPdx+Qdy，则，(x，y)∈D．D为单连通区域，因此积分在D与路径无关．知识点解析：暂无解析28、设φ(x)在(0，+∞)有连续导数，φ(π)=1．试确定φ(x)，使积分在x＞0与路径无关，并求当A，B分别为(1，1)，(π，π)时的积分值．标准答案：记I=Pdx+Qdy，在单连通区域D：x＞0上该积分与路径无关两边乘μ(x)xφ(x)=－cosx+C．由φ(π)=1得C=π－1，因此φ(x)=下求积分值I．注意=φ’(x)，代入得=yφ(x)|(1，1)(π，π)=πφ(π)－φ(1)=π－φ(1)=1+cos1．知识点解析：暂无解析29、设f(x)是区间[－π，π]上的偶函数，且满足f(－x)．证明：f(x)在[－π，π]上的傅里叶级数展开式中系数a2n=0，n=1，2，…．标准答案：由于f(x)为偶函数，所以a2n=2／π∫0πf(x)cos(2nx)dx=2／π[∫0π／2f(x)cos(2nx)dx+∫π／2πf(x)cos(2nx)dx]．对于右端前一个积分，令x=－t，后一个积分，令x=+t，则根据假设f(+t)=0，所以a2n=0，n=1，2，…．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、A、等于e－1／6．B、等于e1／6．C、等于e－6．D、不存在．标准答案：A知识点解析：注意到sinx／x=1，本题为1∞型．设f(x)=sinx／x，则原极限故原极限=e－1／6，应选(A)．2、曲线y=arctan渐近线的条数是A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：A知识点解析：令f(x)=aretan，f(x)的定义域是(－∞，－2)∪(－2，1)∪(1，+∞)，因|f(x)|＜π／2，从而x=1与x=－2不是曲线y=f(x)的渐近线．又因故y=π／4是曲y=f(x)的水平渐近线．综合知曲线y=f(x)有且只有一条渐近线．选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)3、已知=9，则a=_______．标准答案：ln3知识点解析：4、r=a(1+cosθ)在点(r，θ)=(2a，0)，(a，π／2)，(0，π)处的切线方程分别为_______．标准答案：x=2a(dy／dx=∞)；y－a=x；y=0知识点解析：(I)在点(r，θ)=(2a，0)处，(x，y)=(2a，0)，切线x=2a(dy／dx=∞)．(1I)在点(r，θ)=(a，π／2)处，(x，y)=(0，a)，dy／dx=1，切线y－a=x．(Ⅲ)在点(r，θ)=(0，π)处，(x，y)=(0，0)，dy／dx=0，切线y=0．5、∫(cosx－sinx)dx=_______．标准答案：知识点解析：6、设z=f(t，et)dt，其中f是二元连续函数，则dz=_______．标准答案：f(x2y，)(2xydx+x2dy)知识点解析：dz=f(x2y，)d(x2y)=f(x2y，)(2xydx+x2dy)．7、设L是区域D：x2+y2≤－2x的正向边界，则I=∫L(x3－y)dx+(x－y3)dy=_______．标准答案：2π知识点解析：把线积分表成∫LPdx+Qdy，则=1－(－1)=2，D是圆域：(x+1)2+y2≤1，于是由格林公式I=2dxdy=2π．8、幂级数xn－1／n2n的收敛区间是_______．标准答案：(－2，2)知识点解析：先求收敛半径R：有相同的收敛半径R，R=2，收敛区间为(－2，2)．三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)求下列极限：9、标准答案：属0／0型．利用洛必达法则．知识点解析：暂无解析10、标准答案：记pn=则原式=(－npn)=－t，因此，原式=e－t．知识点解析：暂无解析求下列极限：11、标准答案：注意立方和公式13+23+…+n3=(1+2+…+n)2=[]2，则知识点解析：暂无解析12、标准答案：注意2×=x／2n－1，为利用倍角公式化简xn，两边同乘sinx／2n，得x=0时，xn=1，则xn=1．知识点解析：暂无解析13、标准答案：分别求左、右极限：知识点解析：暂无解析14、设f(x)在(a，b)连续，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn为任意n个正数，求证：ヨξ∈(a，b)，使得标准答案：依题设n个函数值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨设min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(xn)}=f(xn)，记η=αif(xi)，若η=f(x1)，则ヨξ=x1∈(a，b)，f(ξ)=η；若η=f(xn)，则ヨξ=xn∈(a，b)，f(ξ)=η．若f(x1)＜η＜f(xn)，由定理，ヨξ在x1与xn之间，即ξ∈(a，b)，f(ξ)=η．知识点解析：暂无解析15、设函数f(x)有反函数g(x)，且f(a)=3，f’(a)=1，f"(a)=2，求g"(3)．标准答案：记y=f(x)．应注意到，g(x)为f(x)的反函数，已经改变了变量记号，为了利用反函数导数公式，必须将g(x)改写为g(y)．由反函数求导公式有f’(x)g’(y)=1，将该等式两边关于x求导得f"(x)g’(y)+f’(x)g"(y)y’x=0，或f"(x)g’(y)+[f’(x)]2g"(y)=0．注意到g’(3)=1／f’(a)=1，在上式中令x=a，应有y=3，因此得到g"(3)=－f"(a)g’(3)=－2．知识点解析：暂无解析16、设x∈[0，a]时f(x)连续且f(x)＞0(x∈(0，a])，又满足f(x)=求f(x)．标准答案：由f(x)连续及x2可导知f2(x)可导，又f(x)＞0，从而f(x)可导，且[f2(x)]’=2f(x)f’(x)，故将上式两边对x求导，得2f(x)f’(x)=f(x)．2xf’(x)=x.在(*)式中令x=0可得f(0)=0．于是(*)式两边积分(∫0x)得∫0xf’(t)dt=∫0xtdt，f(0)=0f(x)x2／2，x∈[0，a]知识点解析：暂无解析求功：17、设半径为1的球正好有一半沉入水中，球的比重为1，现将球从水中取出，问要做多少功?标准答案：把球的质量4／3π集中于球心．球从水中取出作的功问题可以看成质量为4／3π的质点向上移动距离为1时变力的做功．问题归结为求变力F．(重力与浮力的合力)球受的重力=球的体积，球受的浮力=沉在水中的球的体积，它们的合力=球露出水面部分的体积．当球心向上移距离h(0≤h≤1)时，球露出水面部分的体积：因此，取出球时需做功知识点解析：暂无解析18、半径为R的半球形水池，其中充满了水，要把池内的水全部取尽需做多少功?标准答案：建立坐标系如图3．6．取x为积分变量，x∈[0，R]．[x，x+dx]相应的水薄层，看成圆柱体，其体积为π(R2－x2)dx，又比重ρ=1，于是把这层水抽出需做功dw=πx(R2－x2)dx．因此，所求的功w=∫0Rπx(R2－x2)dx=π(R2．)=R4／4π．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上连续，f(x)≥0且∫abf(x)dx=0，求证：在[a，b]上f(x)≡0．标准答案：由定积分的性质0≤∫axf(t)dt≤∫abf(x)dx=0(x∈[a，b])∫axf(t)dt=0(z∈[a，b])=[∫abf(t)dt]’=f(x)=0(x∈[a，b])．知识点解析：暂无解析20、证明：x－x2＜ln(1+x)＜x(x＞0)．标准答案：(Ⅰ)对F(t)=ln(1+t)在[0，x]区间用拉格朗日中值定理得其中c∈(0，x)．因此ln(1+x)＜x(x＞0)．(Ⅱ)对f(t)=ln(1+t)与g(t)=tt2在[0，x]区间用柯西中值定理得其中c∈(0，x)．当x＞0且x－x2＞0时，1＞1－c2＞0＞1ln(1+x)＞x－x2．若x＞0，x－x2≤0，上式显然成立．因此ln(1+x)＞x－x2(x＞0)．知识点解析：暂无解析21、求函数f(x)=x(x∈(－∞，+∞))的最小值．标准答案：先求导数并得驻点．由f’(x)=0即2x－=0得唯一驻点x=方法再考察于是可导函数f(x)在(－∞，+∞)ヨ最小值，最小值点必是驻点，又驻点唯－(x=)，因此f(x)的最小值为知识点解析：暂无解析22、确定常数a和b的值，使得=6．标准答案：(用泰勒公式)因为ln(1－2x+3x2)=－2x+3x2－(－2x+3x2)2+o((－2x+3x2)2)=－2x+3x2－2x2+o(x2)=－2x+x2+o(x2)，由此即得a－2=0，b+1=6，故a=2，b=5．知识点解析：暂无解析23、求方程y"+2my’+n2y=0的通解；又设y=y(x)是满足y(0)=a，y’(0)=b的特解，求∫0+∞y(x)dx，其中m＞n＞0，a，b为常数．标准答案：特征方程λ2+2mλ+n2=0，特征根λ=－m±，通解为注意：指数均为负的将方程两边积分y’|0+∞+2my|0+∞+n2∫0+∞y(x)dx=0，即－b－2ma+n2∫0+∞y(x)dx=0∫0+∞y(x)dx=知识点解析：暂无解析24、把直线L的方程化为对称方程．标准答案：先求L的方向向量={－4，8，－4}=－4{1，－2，1}．再求一交点．令x=0得y=1，z=－2．因此直线L的方程为知识点解析：暂无解析25、与直线L1：及直线L2：都平行且经过坐标原点的平面方程是_______．标准答案：直线L1，L2的方向向量分别是S1={0，1，1}与S2={1，2，1}，设P(x，y，z)是平面П上任一点，则，S1，S2共面，故混合积(，S1，S2)=0，即=－x+y－z=0，亦即x－y+z=0．知识点解析：暂无解析26、过球面x2+y2+z2=169上点M(3，4，12)分别作垂直于x轴与y轴的平面，求过这两平面与球面的截线的公共点的两截线的切线方程，并求通过这两条切线的平面方程．标准答案：过M点分别与x、y轴垂直的平面是x=3与y=4，与球面的截线它们的交点是M1(3，4，12)，M2(3，4，－12)．Г1在M1的切向量={0，24，－8}=8{0，3，－1}，Г2在M1的切向量={－24，0，6}=6{－4，0，1}．Г1，Г2在M1点的切线方程分别为即3(x－3)+4(y－4)+12(z－12)=0．又Г1在M2的切向量={0，－24，－8}=8{0，－3，－1}，Г2在M2的切向量τ={－2z，0，2x={24，0，6}=6{4，0，1}，Г1，Г2在M2点的切线方程分别为过两条切线的平面方程是即3(x－3)+4(y－4)－12(z+12)=0．知识点解析：暂无解析计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分27、I=x2y2zdV，其中Ω是由x=1，x=2，y=0，y=x2，z=0及z=1／x所围成的区域．标准答案：(Ⅰ)区域Ω由平面x=1，x=2，y=0，z=0及抛物柱面y=x2与双曲柱面z=1／x围成，易求出Ω在xy平面(或zx平面)上的投影区域Dxy(或Dzx)．Dxy由x=1，x=2，y=0，y=x2围成，Dxy={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤x2}，见图9．17—(a)．Dzx由x=1，x=2，z=0，z=1／x围成，即Dzx={(z，x)|1≤x≤2，0≤z≤1／x}，见图9．17—(b)．于是Ω={(x，y，z)|0≤z≤1／x，(x，y)∈Dxy}，或Ω={(x，y，z)|0≤y≤x2，(z，x)∈Dzx}．(Ⅱ)根据Ω的表示，宜选择先对z(或y)积分后对xy(或zx)积分的顺序．若先对z积分得若先对y积分得=1／3∫12dx∫01／xx9zdz=1／6∫12x7dx=85／16．知识点解析：暂无解析28、I=(lx2+my2+nz2)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤a2，l，m，n为常数．标准答案：由变量的轮换对称性，可得用球坐标变换求I=(l+m+n)．1／3I’=4／15(l+m+n)πa5．知识点解析：暂无解析29、(Ⅰ)设L为抛物线y=x2上，从点A(－1，1)到B(1，1)的一段，求I=∫L(x2－2xy)dx+(y2－2xy)dy．(Ⅱ)求积分I=∫Cdy，其中C：y=1，x=4，y=逆时针一周．标准答案：(Ⅰ)L：y=x2，x∈[－1，1]．I=∫－11[(x2－2x3)+(x4－2x3)2x]dx=∫－11(x2－4x4)dx+0=2∫01(x2－4x4)dx=2()=－14／15．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、下列函数在点(0，0)处不连续的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：直接证(C)中f(x，y)在点(0，0)处不连续．当(x，y)沿直线y＝x趋于点(0，0)时因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故选(C)．2、设z＝f(x，y)＝，则f(x，y)在点(0，0)处A、可微．B、偏导数存在，但不可微．C、连续，但偏导数不存在．D、偏导数存在，但不连续．标准答案：B知识点解析：设△z＝f(x，y)一f(0，0)，则可知△z＝，因此△z＝0·这表明f(x，y)＝在点(0，0)处连续．因f(x，0)＝0，所以f’x(0，0)＝f(x，0)｜x＝0，同理f’y(0，0)＝0令α＝Δz—f’x(0，0)Δx—f’y(0，0)，当(Δx，Δy)沿y＝x趋于点(0，0)时即α不是β的高阶无穷小，因此f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选(B)·3、设则f(x，y)在点(0，0)处A、偏导数存在且连续．B、偏导数不存在，但连续．C、偏导数存在，可微．D、偏导数存在，但不可微．标准答案：C知识点解析：由偏导数定义可知这说明f’x(0，0)存在且为0，同理f’y(0，0)存在且为0·所以f(x，y)在点(0，0)处可微分．故选(C)．4、设f(x，y)＝｜x一y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处连续且φ(0，0)＝0，则f(x，y)在点(0，0)处A、连续，但偏导数不存在．B、不连续，但偏导数存在．C、可微．D、不可微．标准答案：C知识点解析：逐项分析：(I)｜x一y｜在(0，0)连续，φ(x，y)在点(0，0)处连续f(x，y)在点(0，0)处连续．f(x，y)在点(0，0)处可微．选(C)．5、在下列二元函数中，f’’xy(0，0)≠f’’yx(0，0)的二元函数是A、f(x，y)＝x4＋2x22＋y10．B、f(x，y)＝ln(1＋x2＋y2)＋cosxy．C、D、标准答案：C知识点解析：对于(A)，(B)：f(x，y)均是二元初等函数，均连续，所以．因而(C)，(D)中必有一个是f’’xy(0，0)＝f’’yx(0，0)，而另一个是f’’xy(0，0)≠f’’xy(0，0)．现考察(C)．(x，y)≠(0，0)时，(x，y)≠(0，0)时，f(x，y)＝利用对称性(x，y)＝(0，0)时，因此，f’’xy(0，0)≠f’’yx(0，0)．选(C)．6、设u(x，y)在M0取极大值，且，则A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值．由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论．令f(x)＝u(x，y0)x＝x0是f(x)的极大值点(若＞0，则x＝x0是f(x)的极小值点，于是得矛盾)．同理，令g(y)＝u(x0，y)y＝y0是g(y)的极大值点二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)7、设f(x，y)在(x0，y0)邻域存在偏导数且偏导数在点(x0，y0)处不连续，则下列结论中正确的是A、f(x，y)在点(x0，y0)处可微且B、f(x，y)在点(x0，y0)处不可微．C、f(x，y)在点(x0，y0)沿方向方向导数．D、曲线在点(x0，y0，f(x0，y0))处的切线的方向向量是标准答案：D知识点解析：当f(x，y)在(x0，y0)邻域偏导数，而在(x0，y0)不连续时，不能确定f(x，y)在(x0，y0)是否可微，也不能确定它在(x0，y0)是否存在方向导数．故(A)，(B)，(C)不正确，只有(D)正确．或直接考察曲线参数方程为它在点(x0，y0，f(x0，y0))处的切向量是8、设，其中f是二元连续函数，则dz＝______．标准答案：f(x2y，ex2y)(2xydx＋x2dy)知识点解析：先求偏导数．9、设z＝z(x，y)满足方程2z—ez＋2xy＝3且z(1，2)＝0，则＝______·标准答案：-4dx-2dy知识点解析：将方程分别对x，y求偏导数，得令x＝1，y＝2，z＝0得10、设z＝yf(x2—y2)，其中f(u)可微，则＝______．标准答案：知识点解析：11、设f(x，y)有连续偏导数，满足f(1，2)＝1，f’x(1，2)＝2，f’y(1，2)＝3，(x)＝f(x，2f(x，2f(x，2x)))，则(1)＝______．标准答案：302知识点解析：Ф(x)＝f(x，u(x))，u(x)＝2f(x，v(x))，v(x)＝2f(x，2x)，v(1)＝2f(1，2)＝2，u(1)＝2f(1，v(1))＝2f(1，2)＝2，Ф’(1)＝f1’(1，2)＋f2’(1，2)u’(1)＝2＋3u’(1)，u’(1)＝2[f1’(1，2)＋f2’(1，2)v’(1)]＝2[2＋3v’(1)]v’(1)＝2[f1’(1，2)＋2f2’(1，2)]＝2(2＋2·3)＝16往回代u’(1)＝2(2＋3·16)＝100，Ф’(1)＝2＋3·100＝302．12、设x＝x(y，z)，y＝y(z，x)，z＝z(x，y)都是由方程F(x，y，z)＝0所确定的隐函数，并且F(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则＝______．标准答案：-1知识点解析：由隐函数求导法知(如，由F(x，y，z)＝0确定x＝x(y，z)，将方程对y求偏导数得其余类似)．将这三式相乘得13、函数z＝1—(x2＋2y2)在点处沿曲线C：x2＋2y2＝1在该点的内法钱方向n的方向导数为______．标准答案：知识点解析：C在M0的内法线方向n正是gradz｜M0，按梯度向量的性质，Z沿梯度方向时方向导数取最大值，就是｜gradzM0｜．因此，14、过曲面z—ez＋2xy＝3上点M0(1，2，0)处的切平面方程为______·标准答案：0知识点解析：曲面方程F(x，y，z)＝0，F(x，y，z)＝z一ex＋2xy一3，gradF＝＝{2y，2x，1—ez}，gradF＝｛4，2，0｝＝2｛2，1，0｝.点M0的切平面方程为2(x一1)＋(y一2)＝0，即2x＋y一4＝0．15、过曲面z＝4一x2一y2上点P处的切平面平行于2x＋2y＋z一1＝0，则P点的坐标为______．标准答案：(1，1，2)知识点解析：P(x，y，z)处一个法向量n＝{2x，2y，1}，平面2x＋2y＋z一1＝0的法向量n0＝{2，2，1}，由n＝λn0x＝λ，y＝λ，λ＝1λ＝1，y＝1，z＝4—1—1＝2，因此P点是(1，1，2)．16、曲线在M0(1，1，2)处的切线方程为______，法平面方程为______．标准答案：0知识点解析：M0在曲线上，M0处的切向量M0处切线方程法平面方程一(x一1)＋(y一1)＝0，即y一x＝0．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)17、直线L1：x一1＝，L2：x＋l＝y一1＝z，(I)若L1⊥L2，求λ；(Ⅱ)若L1与L2相交，求λ．标准答案：(I)｛1，2，λ｝·｛1，1，1｝＝01＋2＋λ＝0λ＝一3．(II)L1通过点(1，1，1)，以(1，2，λ)为方向向量，L2通过点(一1，1，0)，以(1，1，1)为方向向量，则L1与L2共面此时L1与L2不平行．因此，．知识点解析：暂无解析18、与直线，及直线都平行且经过坐标原点的平面方程是______．标准答案：同前，平面Ⅱ的法向量，n＝S1×S2，而用点法式，n·＝0，可得x一y＋z＝0．知识点解析：暂无解析19、设平面Ⅱ经过平面Ⅱ1：3x一4y＋6＝0与Ⅱ2：2y＋z一11＝0的交线，且和Ⅱ1垂直，求Ⅱ的方程．标准答案：先求Ⅱ1与Ⅱ2交线的方向向量Ⅱ1的法向量为｛3，一4，0｝，Ⅱ过Ⅱ1与Ⅱ2交线上的点(一2，0，11)与向量｛一4，一3，6｝，｛3，一4，0｝平行Ⅱ的方程知识点解析：暂无解析20、已知平面Ⅱ：x一4y＋2z＋9＝0，直线，试求在平面Ⅱ内，经过L与Ⅱ的交点且与L垂直的直线方程．标准答案：(I)先求L的方向向量(Ⅱ)求L与Ⅱ的交点M0．由(Ⅲ)所求直线的方向向量所求直线方程为或求出过L与Ⅱ的交点M0且与L垂直的平面方程，它是2(x＋3)＋3(y＋1)＋2(z＋5)＝0，即2x＋3y＋2z＋19＝0于是，所求直线方程为知识点解析：暂无解析21、求点M1(1，2，3)到直线的距离．标准答案：直线L过M0点(0，4，3)，以l＝｛1，一3，一2｝为方向向量，则点M1到直线L的距离为其中＝｛1，一2，0｝，知识点解析：暂无解析22、求点M1(2，1，3)到平面Ⅱ：2x一2y＋z一3＝0的距离与投影．标准答案：点M1到平面Ⅱ的距离平面Ⅱ的法向量，n＝{2，一2，1}，过M1点以n为方向向量的直线L的方程为代入Ⅱ的方程2(2＋2t)一2(1—2t)＋(3＋t)一3＝0，解得，代入L的方程得L与Ⅱ的交点即点M1到平面Ⅱ的投影点．知识点解析：暂无解析23、求直线绕z轴旋转一周所得旋转面的方程．标准答案：先写出L的参数方程，于是易得该旋转面的参数方程，消去参数t与θ得x2＋y2＝4(1＋t2)，即知识点解析：暂无解析24、求以曲线为准线，｛l，m，n｝为母线方向的柱面方程．标准答案：曲线г的参数方程为以｛l，m，n｝为方向向量的直线方程为由③得，代入②得，最后代入①得该柱面方程知识点解析：暂无解析25、求曲线在yOz平面上的投影方程．标准答案：将方程组消去x．先化简成代入原方程得即(x2＋y2)2＋32(y2—x2)＝0因此求得在yOz平面上的投影．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、解答题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)1、求，其中D是由y=x3，y=1，x=一1所围成的区域，f(u)是连续函数．标准答案：知识点解析：暂无解析2、设f(x，y)是定义在区域0≤x≤1，0≤y≤1上的二元连续函数，f(0，0)=-1，求极限标准答案：知识点解析：暂无解析3、设f(x，y)在单位圆x2+y2≤1上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，f(0，0)=2001，试求极限标准答案：2001知识点解析：暂无解析4、计算三重积分绕z轴旋转一周的曲面与平面z=2，z=8所围成的空间区域．标准答案：336π知识点解析：暂无解析5、求积分其中Ω为球面x2+y2+z2=z所围的球体．标准答案：知识点解析：暂无解析6、计算其中Ω由不等式x2+y2+z2≥z和x2+y2+z2≤2z所确定．标准答案：知识点解析：暂无解析7、设f(x)连续，F(t)=[z2+f(x2+y2)]dxdydz，其中Ω由不等式0≤z≤h，x2+y2≤t2所确定．试求：标准答案：知识点解析：暂无解析8、计算dxdydz，其中Ω由平面z=0，z=1及曲面x2+y2=2围成．标准答案：知识点解析：暂无解析9、计算标准答案：2πa2知识点解析：暂无解析10、计算其中C为双纽线(x2+y2)2=a2(x2一y2)标准答案：知识点解析：暂无解析11、计算(x2+y2+z2)dS，其中S为锥面z2=x2+y2介于z=0及z=1之间的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析12、计算其中S为上半球面标准答案：πa3知识点解析：暂无解析13、计算其中S为球面x2+y2+z2=R2．标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算其中C为以A(1，0)，B(0，1)，C(一1，0)，D(0，-1)为顶点的正方形闭路．标准答案：0知识点解析：暂无解析15、计算曲线积分[(1—cosy)dx一(y—siny)dy]，其中L为区域0＜x＜π，0＜y＜sinx边界的正方向围线．标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算(exsiny—y)dx+(excosy一1)dy，其中C为由点A(2a，0)到点B(0，0)的上半圆周(x一a)2+y2=a2(y≥0)．标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算其中C为从点A(一a，0)到点B(a，0)的上半椭圆(y≥0)．标准答案：一π知识点解析：暂无解析18、计算其中C为抛物线上从点A(1，π)到点B(2，π)的有向曲线段．标准答案：1+π知识点解析：暂无解析19、求曲线积分的值，其中L为(x一a)2+(y一b)2=1的正向．标准答案：当原点不包含在L所限定区域内时，I=0；②当原点包含在L所限定区域内时，I=π；③当原点在L上时，原积分无意义．知识点解析：暂无解析20、计算，若从x轴正向看去，C的方向为逆时针方向．标准答案：—4π知识点解析：暂无解析21、计算其中∑为球面x2+y2+z2=1的外侧位于x≥0，y≥0的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析22、计算+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中∑为半球面的内侧．标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算其中∑为x2+y2+z2=1的外侧．标准答案：12π知识点解析：暂无解析24、计算+8xydzdx一4xzdxdy，其中∑是由曲线x=ey(0≤y≤a)绕x轴旋转而成的旋转面外侧．标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算+y2dxdz+z2dxdy，其中∑为(x一a)2+(y一b)2+(z—c)2=R2的外侧．标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算(1)∑为的上侧．(2)∑为上半椭球面(z≥0)的上侧．标准答案：(1)2π，(2)2π知识点解析：暂无解析27、计算其中∑为区域Ω的外侧，Ω由不等式和x2+y2+z2≤4所确定，f(u)有连续一阶导数．标准答案：知识点解析：暂无解析28、求线密度为常数的摆线x=a(t—sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤π)的重心．标准答案：知识点解析：暂无解析29、求柱面x2+y2=ax(a＞0)位于球面x2+y2+z2=a内的部分的面积．标准答案：4a2知识点解析：暂无解析30、求密度为常数ρ、半径为R的球体对于它的一条切线的转动惯量．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、在下列四个命题中正确的是A、设χ0∈(a，b)，函数f(χ)满足f′(χ)＞0(a＜χ＜χ0)和f′(χ)＜0(χ0＜χ＜b)，则f(χ)在点χ＝χ0处取得它在(a，b)上的最大值．B、设f(χ)在点χ＝χ0取得极大值，则存在正数δ＞0，使函数f(χ)在(χ0－δ，χ0)内单调增加，在(χ0，χ0＋δ)内单调减少．C、设f(χ)在区间(－a，a)内为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则χ＝0必是f(χ)的一个极值点．D、设f(χ)在区间(－a，a)内可导且为偶函数(其中a＞0是一个常数)，则f′(0)＝0．标准答案：D知识点解析：因为f(χ)在区间(－a，a)内可导且为偶函数，故f′(χ)在(－a，a)内必为奇函数，即χ∈(－a，a)有f′(－χ)＝－f′(χ)．特别对χ＝0有f′(0)＝－f′(0)f′(0)＝0．故应选D．2、设函数f(χ)在(－∞，＋∞)连续，其导函数f′(χ)的图形如图(1)所示，则A、函数f(χ)有两个极大值点与一个极小值点，曲线y＝f(χ)有一个拐点．B、函数f(χ)有一个极大值点与两个极小值点，曲线y＝f(χ)有一个拐点．C、函数f(χ)有两个极大值点与一个极小值点，曲线y＝f(χ)有两个拐点．D、函数f(χ)有一个极大值点与两个极小值点，曲线y＝f(χ)有两个拐点．标准答案：C知识点解析：由图(1)知函数f(χ)有三个驻点a，b，d，其导函数f′(χ)有一个驻点c，如图(2)．列表讨论函数f(χ)的单调性与极值，可得由此可见，函数f(χ)有两个极大值点与一个极小值点，于是可排除选项B与选项D．又由导函数f′(χ)的图形知，在区间(－∞，0)内f′(χ)单调减少，在区间(0，c]上f′(χ)单调增加，在区间[c，＋∞)上f′(χ)单调减少．由于曲线y＝f(χ)是连续曲线，故曲线y＝f(χ)在(－∞，0]是凸弧，在[0，c]是凹弧，在[c，＋∞)又是凸弧，这表明曲线y＝f(χ)有两个拐点．综合可知，应选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)3、＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析4、＝_______．标准答案：2ln2－1知识点解析：则不难发现Tn≤Sn≤Tn(n＝1，2，…)，其中Tn是把[0，1]n等分，且取ξk＝(k＝1，2，…，n)时f01ln(1＋χ)dχ对应的积分和，因函数ln(1＋χ)在[0，1]上连续，故在[0，1]上可积，则＝∫01ln(1＋χ)dχ＝∫01ln(1＋χ)d(1＋χ)＝(1＋χ)ln(1＋χ)｜01－∫01dχ＝2ln2－1．此外，还有＝2ln2＝1，从而由极限存在的夹逼准则得Sn＝2ln2－1．5、设f(χ)是满足＝－1的连续函数，且当χ→0时f(t)dt是与Aχn等价无穷小，则A＝_______与n＝_______．标准答案：；6．知识点解析：首先，由题设可得现考察极限I＝，选取A，n使得极限I为1．由洛必达法则可得这表明f(t)dt当χ→0时是与－等价的无穷小，即A＝与n＝6．6、设f(χ)连续，且当χ→0时F(χ)＝∫0χ(χ2＋1－cost)f(t)dt是与χ3等价的无穷小，则f(0)＝_______．标准答案：知识点解析：由等价无穷小的定义及洛必达法则可得7、函数f(χ)＝的单调减少区间是_______．标准答案：(－1，＋∞)知识点解析：由f(χ)的分段表示知，f(χ)分别在(－1，0)和[0，＋∞)连续，又因f(χ)＝1＝f(0)，即f(χ)在f(χ)＝0也是左连续的，故f(χ)在(－1，＋∞)上连续．计算f(χ)的导函数，得引入函数g(χ)＝χ－(1＋χ)ln(1＋χ)，不难发现g(0)＝0，且g′(χ)＝－ln(1＋χ)＞0，当－1＜χ＜0时成立，这表明当－1＜χ＜0时g(χ)＜g(0)＝0成立，由此可得当－1＜χ＜0时f′(χ)＜0也成立．由f(χ)在(－1，0]连续，且f′(χ)＜0在(－1，0)成立知f(χ)在(－1，0]单调减少；同理，由f(χ)在[0，＋∞)连续，且f′(χ)＝－1＜0在(0，＋∞)成立知f(χ)在[0，＋∞)也单调减少．综合即得f(χ)的单调减少区间为(－1，＋∞)．8、若方程χ3－6χ2－15χ＋a＝0恰有三个实根，则a的取值范围是_______．标准答案：－8＜a＜100知识点解析：把方程改写成f(χ)＝a的形式，其中函数f(χ)＝15χ＋6χ2－χ3．由于f′(χ)＝15＋12χ－3χ2＝3(5－χ)(1＋χ)，于是列表讨论可得且f(χ)＝＋∞，f(χ)＝－∞．从而，仅当－8＜a＜100时直线y＝a与曲线y＝f(χ)恰有三个交点，即原方程恰有三个实根．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、设f〞(χ)＞0，求证：f(a＋h)＋f(a－h)≥2f(a)．标准答案：依次对函数f(χ)及导函数f′(χ)利用拉格朗日中值定理就有f(a＋h)＋f(a－h)－2f(a)＝f[(a＋h)－f(a)]＋f[(a－h)－f(a)]＝f′(ξ2)h－f′(ξ1)h＝h[f′(ξ2)－f′(ξ1)]＝hf〞(ξ)(ξ2－ξ1)，其中a－h＜ξ1＜a，a＜ξ2＜a＋h，ξ1＜ξ＜ξ2．由题设f〞(ξ)＞0，又ξ2－ξ1＞0，因此当h＞0时原不等式成立．当h＜0时可类似证明．知识点解析：暂无解析10、求证：当χ＞0时，不等式ln(e2χ＋χ)＞3χ－χ2成立．标准答案：令f(χ)＝ln(e2χ＋χ)－3χ＋χ2只需证明当χ＞0时f(χ)＞0成立．由于f(0)＝0，且在f′(χ)的分子中5χ2＋3χ(e2χ－1)＞0当χ＞0时成立，而分母e2χ＋χ＞0当χ＞0时也成立，故若g(χ)＝1＋2χe2χ－e2χ＞0当χ＞0时还成立，即得f′(χ)＞0当χ＞0时成立，于是f(χ)当χ≥0时单调增加当χ＞0时f(χ)＞f(0)＝0成立，即不等式成立得证．由于g(0)＝0，g′(χ)＝4χe2χ＞0对χ＞0成立，故g(χ)在χ≥0单调增加，即g(χ)＞g(0)＝0当χ＞0时成立．综合即得原不等式在χ＞0成立．知识点解析：暂无解析11、证明当χ＞0时不等式e－χ(χ2－aχ＋1)＜1成立，其中常数a＞0．标准答案：由于结论χ＞0时e－χ(χ2－aχ＋1)＜1当χ＞0时函数F(χ)＝eχ＋aχ－χ2－1＞0．注意F′(χ)＝eχ－2χ＋a，F〞(χ)＝这表明导函数F′(χ)在χ＝ln2处取得它在区间[0，＋∞)上的最小值，即F′(χ)≥F′(ln2)＝2－2ln2＋a＞a＞0对χ＞0与a＞0成立．故F(χ)在[0，＋∞)上单调增加，即对χ＞0有F(χ)＞F(0)＝0成立，即要证明的不等式成立．知识点解析：暂无解析12、利用柯西中值定理证明不等式：1＋χln，－∞＜χ＜＋∞．标准答案：原不等式等价于≥1，－∞＜χ＜＋∞，χ≠0．对函数f(t)＝tln(t＋)，F(t)＝在[0，χ]上用柯西中值定理，得其中ξ介于0与χ之间．由由于当χ＞0时，ξ＞0，ln(ξ＋)＞0；当χ＜0时，ξ＜0，ln(ξ＋)＜0，因此总有＞1．于是县当χ≠0时．右而当χ＝0时1＋χln，故1＋χln，－∞＜χ＜＋∞．知识点解析：暂无解析13、证明不等式(a＋b)ea+b＜ae2a＋be2b当b＞a＞0时成立．标准答案：不等式可改写为aea(eb－ea)＜beb(eb－ea)，因b＞a＞0时eb＞ea，从而又可改写为等价形式aea＜beb．把b改写为χ，引入函数f(χ)＝χeχ，即需证f(χ)＞f(a)当χ＞a＞0时成立．因为f′(χ)＝(χ＋1)eχ＞0当χ＞0时成立，从而f(χ)在区间[a，＋∞)(a＞0)上单调增加，故当χ＞a时f(χ)＞f(a)成立，即原不等式成立．知识点解析：暂无解析14、设函数f(χ)在[0，＋∞)有连续的一阶导数，在(0，＋∞)二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝0，又当χ＞0时满足不等式χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)．求证：当χ＞0时f(χ)＜χ2成立．标准答案：由题设知，当χ＞0时χf〞(χ)＜χf〞(χ)＋4ef(χ)≤2ln(1＋χ)，即f〞(χ)＜＜2其中ln(1＋χ)＜χ(χ＞0)，这是因为：记g(χ)=＝χ－ln(1＋χ)(χ≥0)，则g′(χ)＝1－＞0(χ＞0)，故g(χ)在[0，＋∞)单调增加，从而g(χ)＞g(0)＝0(χ＞0)．由麦克劳林公式可得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋f〞(ξ)χ2＝f〞(ξ)χ2＜χ2(χ＞0)．知识点解析：暂无解析15、设函数f(χ)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且f(0)＝f(1)＝1，．求证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在ξ∈(0，1)，使f′(ξ)＝－k．标准答案：令F(χ)＝f(χ)＋kχ，则F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F′(χ)＝f′(χ)＋k，F(0)＝1，(1＋k)，F(1)＝1＋k，即F()＜(0)＜(1)．由闭区间上连续函数的中间值定理知，存在c∈(，1)使F(c)＝F(0)，从而F(χ)在区间[0，c]上满足罗尔定理的条件，于是，存在ξ∈(0，c)(0，1)使F′(ξ)＝f′(ξ)＋k＝0，即f′(ξ)＝－k．知识点解析：暂无解析16、设函数f(χ)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(c)＝f(b)，其中c是(a，b)内的一点，且在[a，b]内的任何区间I上f(χ)不恒等于常数．求证：在(a，b)内至少存在一点ξ，使f〞(ξ)＜0．标准答案：由题设知，可在[a，c]上和[c，b]上分别对f(χ)用罗尔定理，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)使f′(α)＝f′(β)＝0，但f(χ)在[α，β]上不恒等于常数，从而f′(χ)≠0．这表明g(χ)＝f′(χ)在[α，β]上可导，不恒等于常数且g(α)＝g(β)＝0．为证明本题的结论，只需证明在(α，β)内至少存在一点ξ使g′(ξ)＜0即可．由题设知f(χ)在[a，c]上和[c，b]上分别满足罗尔定理的条件，于是存在α∈(a，c)，β∈(c，b)使f′(α)＝f′(β)＝0．令g(χ)＝f′(χ)，由题设及上面所得结果知g(χ)是在[α，β]上可导但不恒等于常数的函数，且g(α)＝g(β)＝0．若∈(α，β)使g(γ)＞0，在[γ，β]上把拉格朗日定理用于g(χ)可得：ξ∈(γ，β)使否则，必η∈(α，β)使g(η)＜0，在[α，η]上把拉格朗日定理用于g(χ)也可得：ξ∈(0[α，η)使知识点解析：暂无解析17、设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0．标准答案：令F(χ)＝χe2χf(χ)，则由题设知F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)＝0，F(1)＝e2f(1)＝0，即F(χ)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F′(ξ)＝(e2ξ＋2ξe2ξ)f(ξ)＋ξe2ξf′(ξ)＝e2ξ[(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)]＝0，从而(2ξ＋1)f(ξ)＋f′(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析18、设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足f(1)＝kχ1－χf(χ)dχ(k＞1)，证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)＝(1－ξ－1)f(ξ)．标准答案：令φ(χ)＝χe1－χf(χ)，于是，φ(χ)在[0，1]上可导，且φ′(χ)＝e1－χ[f(χ)－χf(χ)＋χf′(χ)]＝χe1－χ[f′(χ)－(1－χ-1)f(χ)]，χ∈(0，1)．又由题设和积分中值定理知，存在η∈[0，]，使得φ(1)＝f(1)＝kφ(χ)dχ＝φ(η)，从而函数φ(χ)在[η，1]上满足罗尔定理的全部条件，所以ξ∈(η，1)(0，1)，使得φ′(ξ)＝ξe1－ξ[f′(ξ)－(1－ξ－1)f(ξ)]＝0，即f′(ξ)＝(1－ξ-1)f(ξ)．知识点解析：暂无解析19、设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，试证存在ξ，η，ζ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝eζ－ηf′(η)．标准答案：把要证的等式改写成＝f′(ξ)现考察等式，令g(χ)＝eχ，则由题设可知g(χ)与f(χ)在[a，b]上满足柯西中值定理条件，由此可知，必定存在η∈(a，b)，使得又f(χ)，eχ都在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，由此可知必存在ξ∈(a，b)，ζ∈(a，b)，使得代入上述等式得eζ＝f′(ξ)故有f′(ξ)＝eζ－ηf′(η)．知识点解析：暂无解析20、设函数f(χ)与g(χ)都在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内可导，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．求证：存在ξ∈(0，)与η∈(，1)使得f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)．标准答案：把ξ与η分离至等式两端可得f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)f′(ξ)－g′(ξ)＝－f′(η)＋g′(η)[f(χ)－g(χ)]′｜χ＝ξ＝－[f(χ)－g(χ)]′｜χ＝η对函数F(χ)＝f(χ)－g(χ)应用拉格朗日中值定理，由于F(χ)在[0，]上连续，在(0，]内可导，故存在ξ∈(0，)使得又由于F(χ)在[，1]上连续，在[，1)内可导，故存在η∈(，1)使得将①式与②式相加，即知存在ξ∈(0，)与η∈(，1)使得0＝[f′(ξ)－g′(ξ)]＋[f′(η)－g′(η)]f′(ξ)＋f′(η)＝g′(ξ)＋g′(η)．知识点解析：暂无解析21、设函数f(χ)在[a，b]上一阶可导，在(a，b)内二阶可导，且f(a)＝f(b)＝0，f′(a)f′(b)＞0．求证：(Ⅰ)ξ∈(a，b)使得f′(ξ)＝f(ξ)；(Ⅱ)η∈(a，b)使得f〞(η)＝f(η)．标准答案：(Ⅰ)要证ξ∈(a，b)使得f′(ξ)＝f(ξ)f′(χ)－f(χ)在(a，b)零点[e－χf(χ)]′在(a，b)零点．引入辅助函数F(χ)＝e－χf(χ)，由题设知F(χ)在[a，b]上可导，且F(a)＝e－af(a)＝0，F(b)＝e－b(b)＝0，由罗尔定理即知ξ∈(a，b)使得F′(ξ)＝0，即f′(ξ)＝f(ξ)成立．(Ⅱ)要证η∈(a，b)使得f〞(η)＝f(η)f〞(χ)－f(χ)在(a，b)零点(f′(χ)－f(χ))′＋(f′(χ)－f(χ))在(a，b)零点{eχ[f′(χ)－f(χ)]}′在(a，b)零点．为证明上述结论，引入辅助函数G(χ)＝eχ[f′(χ)－f(χ)]，由题设可知G(a)＝ea[f′(a)－f(a)]＝eaf′(a)，G(b)＝eb[f′(b)－f(b)]＝ebf′(b)，于是G(a)G(b)＝ea+b(a)f′(b)＞0，即G(a)与G(b)必同时为正，或同时为负，而由(Ⅰ)知ξ∈(a，b)使G(ξ)＝eξ[f′(ξ)－f(ξ)]＝0．这样一来，当G(a)与G(b)同为负数时，C(χ)在[a，b]上的最大值必在(a，b)内某点处取得，记C(χ)在(a，b)内的最大值点为χ＝η，则必有G′(η)＝0f〞(η)＝f(η)成立．反之，当G(a)与G(b)同为正数时，G(χ)在[a，b]上的最小值必在(a，b)内某点处取得，记G(χ)在(a，b)内的最小值点为χ＝η，则必有G′(η)＝0f〞(η)＝f(η)成立．知识点解析：暂无解析22、求ln(1＋χ－χ2)的带皮亚诺余项的麦克劳林公式到χ4项．标准答案：把ln(1＋χ)的麦克劳林公式中的χ换为χ－χ2，可得ln(1＋χ－χ2)＝χ－χ2－(χ－χ2)2＋(χ－χ2)3－(χ－χ2)4＋o((χ－χ2)4)．注意(χ－χ2)2＝χ2－2χ3＋χ4，(χ－χ2)2＝χ3(1－χ)3＝χ3(1－3χ＋3χ2－χ3)＝χ3－3χ4＋o(χ4)，(χ－χ2)4＝χ4(1－χ)4＝χ4＋o(χ4)，o((χ－χ2)4)＝o((1－χ)4χ4)＝o(χ4)，代入即得ln(1＋χ－χ2)＝χ－χ2－(χ2－2χ3＋χ4)＋[χ3－3χ4＋o(χ4)]－[χ4＋o(χ4)]＋o(χ4)＝知识点解析：暂无解析23、求极限标准答案：先考察知识点解析：暂无解析24、设函数f(χ)在χ＝0的某邻域中二阶可导，且＝0，求f(0)，f′(0)与f〞(0)之值．标准答案：利用sinχ和f(χ)的麦克劳林公式sinχ＝χ－＋o(χ3)，f(χ)＝f(0)＋f′(0)＋f〞(0)χ2＋o(χ2)，代入可得即f〞(0)＝．综合得f(0)＝－2，f′(0)＝0，f〞(0)＝．知识点解析：暂无解析25、(Ⅰ)确定常数a，b，c的值，使得函数f(χ)＝χ＋aχ5＋(b＋cχ2)tanχ＝o(χ5)，其中o(χ5)是当χ→0时比χ5高阶的无穷小量；(Ⅱ)确定常数a与b的值，使得函数f(χ)＝χ－(a＋bcosχ)sinχ当χ→0时成为尽可能高阶的无穷小量．标准答案：(Ⅰ)用求极限的方法确定常数a，b，c的值．注意f(χ)＝o(χ5)即＝0，由此可得＝0．这样就有故常数a，b，c的值分别是a＝－，b＝－1，c＝．(Ⅱ)先作恒等变形：f(χ)＝χ－asinχ－bsin2χ再利用泰勒展开式由sinχ＝χ－＋o(χ6)，sin2χ＝2χ－＋o(χ6)＝2χ－＋o(χ6)可得f(χ)＝(1－a－b)χ＋＋o(χ5)．欲使f(χ)当χ→0时是尽可能高阶的无穷小量，应设上式中χ与χ3的系数为零，即1－a－b＝0，＝0．解之得a＝，b＝－，这时f(χ)＝＋o(χ)5即f(χ)为χ→0时关于χ的五阶无穷小量．故当a＝，b＝时f(χ)是χ→0时最高阶的无穷小量．知识点解析：暂无解析26、设f(a，b)在[a，b]上二阶可导，f(a)＝f(b)＝0．证明至少存在一点ξ∈(a，b)使得｜f〞(ξ)｜≥｜f(χ)｜．标准答案：f(χ)在[a，b]上连续，｜f(χ)｜在[a，b]上亦连续，设c为｜f(χ)｜在[a，b]上的最大值点．若c＝a，则f(χ)＝0，结论显然成立．故可设a＜c＜b，从而任给χ∈(a，b)，有｜f(χ)｜f≤｜f(c)｜，即－｜f(c)｜≤f(χ)≤｜f(c)｜．若f(c)＞0，则f(χ)≤f(c)，从而f(c)为f(χ)的最大值；若f(c)＜0，则有f(χ)≥f(c)，即f(c)为f(χ)的最小值，由此可知，总有f′(c)＝0．把函数f(χ)在χ＝c展开为泰勒公式，得f(χ)＝f(c)＋f′(c)(χ－c)＋(χ－c)2＝f(c)＋(χ－c)2．(*)若a＜c≤，令χ＝a，则由(*)及题设有f(a)＝f(c)＋(a－c)2，即｜f(c)｜＝(a－c)2．由于a＜c≤，0＜c－a≤，因此｜f(c)｜＝于是｜f〞(ξ)｜≥｜f(χ)｜若＜c＜b，令χ＝b，则由(*)及题设有f(b)＝f(c)＋(b－c)2，即｜f(c)｜＝(b－c)2．由于＜c＜b，b－c＜b－，因此知识点解析：暂无解析27、设函数f(χ)在[0，1]上有连续的三阶导数，且f(0)＝1，f(1)＝2，f′()＝0．证明在区间(0，1)内至少存在一点ξ，使得｜f″′(ξ)｜≥24．标准答案：用泰勒公式．按题设条件，展开点取为χ0＝，被展开点分别取χ＝0，1．以上两式相减，得f(1)－f(0)＝[f″′(ξ1)＋f″′(ξ2)]．因f(0)＝1，f(1)＝2，f′()＝0，故有｜f″′(ξ1)＋f″′(ξ2)｜＝1，即｜f″′(ξ1)｜＋｜f″′(ξ2)｜≥48．于是2max{｜f″′(ξ1)｜，｜f″′(ξ2)｜≥｜f″′(ξ1)｜＋｜f″′(ξ2)｜≥48，即max{｜f″′(ξ1)｜，｜f″′(ξ2)｜≥24．由于f〞(χ)在[ξ1，ξ2](0，1)上连续，所以，在区间(0，1)内至少存在一点ξ，使得｜f″′(ξ)｜≥24．知识点解析：暂无解析28、设函数f(χ)和g(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＝3χ2＋1＋∫01g(χ)dχ，g(χ)＝－χ＋6χ2∫01f(χ)dχ．求f(χ)和g(χ)的表达式．标准答案：令∫01f(χ)dχ＝A，∫01g(χ)dχ＝B，于是f(χ)＝3χ2＋1＋B，g(χ)＝－χ＋6Aχ2．进而可得A＝∫01f(χ)dχ＝∫01＝∫01(3χ2＋1＋B)dχ＝2＋B，B＝∫01g(χ)dχ＝∫01(6Aχ2－χ)dχ＝2A－，解之得A＝－，B＝－．故f(χ)＝3χ2－，g(χ)＝－χ－9χ2．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、设f(x)=则x=0是间断点的函数是()A、max{f(x)，g(x)}．B、min{f(x)，g(x)}．C、f(x)-g(x)．D、f(x)+g(x)．标准答案：C知识点解析：写出A、B、C、D选项中的表达式，即可知道正确选项．因为当x＞0时，故Amax{f(x)，g(x))=1，x∈(-∞，+∞)；Bmin{f(x)，g(x)}=由，则A、B、D都在x=0点连续，故应选C．事实上2、设f(x)=，讨论f(x)的间断点，其结论为()A、不存在间断点．B、x=±1为其第一类间断点．C、x=±1为其第二类间断点．D、x=0为其第一类间断点．标准答案：B知识点解析：当｜x｜＜1时，f(x)=当｜x｜=1时，f(x)=0；当｜x｜＞1时，所以f(x)=由x=-1是跳跃间断点，即第一类间断点；由x=1是跳跃间断点，即第一类间断点．3、设y=，则y(n)等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：先将