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文档简介
课时素养检测
二十八平面与平面平行
通基础练——水平一
(30分钟60分)
一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全
对的得2分,有选错的得0分)
1.下列图形中能正确表示语句"平面anB=/,aua,buB,a〃B”
的是()
【解析】选D.选项A不满足bCB,选项B,C不满足a〃B,选项D满足
所有条件.
2.已知a〃B,aua,B£B,则在B内过点B的所有直线中()
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
[解析]选D.由直线a与点B确定一个平面,记为丫,设yClB=b,因
为a〃B,aUa,所以a〃B.所以a〃b.只有一条.
3.如图,设E,F,EbF,分别是长方体ABCD-ABCD的棱AB,CD,AB,CD
的中点,则平面EFD.A,与平面BCF.E,的位置关系是()
A.平行B.相交C.异面D.不确定
【解析】选A.因为E,&分别是AB,AB的中点,
所以AE4EB,所以四边形AIEBEI为平行四边形,
所以A正〃BE”
又A同平面BCFiEi,BRu平面BCFE,
所以AE〃平面BCFE,
同理AD〃平面BCFE,
又A,DiPlAiE=Ab
所以平面EFDA〃平面BCFiEi.
4.平面a〃B的条件是()
A.a内有无穷多条直线与B平行
B.直线a〃a,a〃B
C.直线aua,直线beB,且a〃B,b〃a
D.a内的任何直线都与B平行
【解析】选D.如图①,a内可有无数条直线与B平行,但a与B相交,
选项A错.
如图②,a〃a,a〃B,但a与B相交,选项B错.
如图③,aua,beB,a〃B,b〃a,但a与B相交,选项C错.
VZZZF1
图①图②图③
5.如图,在三棱台ABC-ABC中,点D在AB上,且AA1〃BD,点M是△ABC
内的一个动点(含边界),且有平面BDM〃平面AC,则动点M的轨迹是
()
A.平面
B.直线
C.线段,但只含1个端点
D.圆
【解析】选C.因为平面BDM〃平面A,C,平面BDMCI平面ABG=DM,平面
Acn平面ABCFAIG,
所以DM〃AG,过D作DE/AG交BC于日(图略),则点M的轨迹是线段
DEM不包括点D).
6.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,以下说法正
确的是()
A.BM〃平面ADE
B.CN〃平面BAF
C.平面BDM〃平面AFN
D.平面BDE〃平面NCF
【解析】选ABCD.以ABCD为下底还原正方体,如图所示,
则易判定四个说法都正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
7.设平面a〃B,A£a,C£a,B£B,D£B,直线AB与CD交于点S,
且AS=8,
BS=9,CD=34,当点S在平面a,B之间时,CS等于.
【解析】如图,由题意知,ZkASCs/iBSD,
因为CD=34,所以SD=34-CS.
由AS:BS=CS:(34-CS)知,
8:9=CS:(34-CS),所以CS=16.
答案:16
【补偿训练】
设平面a〃B,A,C£a,B,D£B,直线AB与CD交于S,若
AS=18,BS=9,
CD=34,则CS=.
【解析】如图(1),由a〃B可知BD/7AC,
如图⑵,由a〃《知AC//BD,
所以SC——.
3
答案:68或一
3
8.如图,在长方体ABCD-A.B,C,D,中,与BC平行的平面是;与平
面AiBlC1D1和平面AiBiBA都平行的棱是.
【解析】观察图形,根据直线与平面平行的判定定理可知,与BC平行的
平面是平面ABCD与平面ADDA;因为平面ABCD与平面AEBA的交
线是AB,所以与其都平行的棱是DC.
答案:平面ABCD与平面ADDADC
三、解答题(每小题14分,共28分)
9.如图,四边形ABCD和ADEF都是正方形,点M在BD上,N在AE上且
BM=AN.
求证:MN〃平面CDE.
【证明】方法一:过M点作AD的平行线交CD于。,过N作AD的平行线
交DE于P,连接0P.
显然0P在平面CDE上,且MO〃NP,
由于BM=AN,且正方形ABCD、ADEF共边,
所以MD二NE.AMOD^ABCD,所以竺=竺.
DBBC
NPNF
同理可得一一,所以M0=NP,因此四边形MOPN为平行四边形,有MN〃OP,
ADAE
又因为MNC平面CDE,OPu平面CDE,故MN〃平面CDE.
方法二:连接AM并延长交CD于P,连接EP.
在正万形ABCD中,一=——.又AN=BM,AE=BD,所以一二一,所以MN〃EP.
APBDAPAE
因为MNC平面CDE,EPc平面CDE,所以MN〃平面CDE.
方法三:作MO±AB于点0,NP±AD于点P,连接PM,
因为四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形,
A
F
B
所以NBAD二ZADE=90°,所以OM〃AP,PN〃DE.
因为NOB忙ZPAN=45°,所以OM=^BM,AP=—AN,因为B归AN,所以
22
OM二AP.
所以四边形OMPA是平行四边形.
所以MP〃OA〃CD.
因为MPu平面PMN,PNu平面PMN,MPCIPN=P,CDu平面CED,DEu平面
CED,CDHDE二D,所以平面PMN〃平面CED.
因为MNu平面PMN,所以MN〃平面CDE.
10.如图,平面a〃平面6",(;£(1,82£0,点£不分别在线段人8口口
上鲸券
求证:EF〃平面B.
【证明】(1)若直线AB和CD共面,
因为a〃B,平面ABDC与a,B分别交于AC,BD,
所以AC/7BD.又生二三,
EBFD
所以EF〃AC〃BD.所以EF〃平面0.
4FCG
⑵若AB与CD异面,如图所示,连接BC并在BC上取一点G,使得高嬴
则在4BAC中,EG〃AC,而ACc平面a,
EGQ平面a,所以EG〃a.又a〃B,所以EG〃0.
同理可得GF〃BD,而BDcB,GFQB,
所以GF〃B.又EGCIGF=G,所以平面EGF〃0.
又EFc平面EGF,所以EF〃平面0.
综合⑴⑵得EF〃平面0.
【补偿训练】
在正方体ABCD-ABCD中,M,N,P分别是ADbBD和B,C的中点.
求证:
(1)MN〃平面CC,D,D.
⑵平面MNP〃平面CC.DiD.
【证明】(1)连接AC,CD,.因为四边形ABCD为正方形,N为BD中点,所以
N为AC中点.
又因为M为A6中点,所以MN//CD,.
因为MNC平面CCDD,CDiC平面CCDD,所以MN〃平面CGDQ.
⑵连接BC〃GD.因为四边形BBCC为正方形,P为B,C中点,所以P为
BG中点,又因为N为BD中点,所以PN〃GD.
因为PNQ平面CCDD,GDu平面CCDD,所以PN〃平面CCDD,由⑴知MN
〃平面CCDD,又MNAPN=N,所以平面MNP〃平面CCDD.
也.提..升...练..一..水..平...二..........
(30分钟60分)
一、选择题(每小题4分,共12分,多选题全部选对得4分,选对但不全
对的得2分,有选错的得0分)
1.设a,B是两个不同的平面,m是直线且mua,m〃B,若使a〃B
成立,则需增加条件()
A.n是直线且nua,n〃B
B.n,m是异面直线,n〃B
C.n,m是相交直线且nua,n〃B
D.n,m是平行直线且nua,n"B
【解析】选C.要使a〃B成立,需要其中一个面的两条相交直线与另
一个面平行,n,m是相交直线且nCa,n〃B,mUa,m〃B,由平面和平
面平行的判定定理可得a〃B.
2.设平面a〃平面B,A£a,B£B,C是AB的中点,当点A,B分别在平
面a,B内运动时,动点C()
A.不共面
B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面
C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D.无论点A,B如何移动都共面
【解析】选D.无论点A,B如何移动,其中点C到a,B的距离始终相等,
故点C在到a,B距离相等且与两平面都平行的平面上.
3.(多选题)已知a,b表示直线,a,B,丫表示平面,则下列推理不正确
的是()
A.anB=a,bea=>a〃b
B.anB=a,a〃b=b〃a且b〃B
C.a〃B,b/7B,aua,bea=a〃B
D.a〃B,aGy=a,BGy=bna〃b
【解析】选ABC.选项A中,aAB=a,bea,则a,b可能平行也可能相
交,故A不正确;
选项B中,aAB=a,a〃b,则可能b〃a且b〃B,也可能b在平面a或
B内,故B不正确;
选项C中,a〃B,b〃B,aua,bea,根据面面平行的判定定理,再加
上条件a与b相交,才能得出a〃B,故C不正确;
选项D为面面平行性质定理的符号语言,故D正确.
二、填空题(每小题4分,共16分)
4.如图,已知S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的
点,且组型,则MN平面SBC.
s
【解析】过N作NG〃AD,交AB于G,连接MG,
―0BNBGL々八BNSM
可得一二一,由已知条件一=—,
NDAGNDMA
得刊”吧所以MG〃SB.
MAAG
因为MGQ平面SBC,SBc平面SBC,所以MG〃平面SBC.又AD〃BC,所以NG
〃BC,
NGQ平面SBC,BCc平面SBC,所以NG〃平面SBC,NGAMG二G,
所以平面SBC〃平面MNG,
因为MNu平面MNG,所以MN〃平面SBC.
答案:〃
5.已知点S是正三角形ABC所在平面外一点,点D,E,F分别是SA,SB,SC
的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是.
【解析】由D,E,F分别是SA,SB,SC的中点,知EF是ASBC的中位线,
所以EF〃BC.
又因为BCc平面ABC,EF。平面ABC,所以EF〃平面ABC.同理DE〃平面
ABC,又因为EFClDE=E,所以平面DEF〃平面ABC.
答案:平行
6.已知平面a外不共线的三点A,B,C到a的距离都相等,则正确的结
论是(填序号).
①平面ABC必平行于a;
②平面ABC必与a相交;
③平面ABC必不垂直于a;
④存在AABC的一条中位线平行于a或在a内.
【解析】平面a外不共线且到a距离都相等的三点可以在平面a的
同侧,也可以在平面a的异侧,若A,B,C在a的同侧,则平面ABC必平
行于&;若人,13,(;在a的异侧,平面ABC必与a相交且交线是aABC
的一条中位线所在直线,排除①②③.
答案:④
7.在正方体ABCD-ABCD中,平面AA,C,C和平面BB.D.D的交线与棱CC,
的位置关系是,截面BAG和直线AC的位置关系是
【解析】如图所示,平面AACCI平面BBDD=OO”
0为底面ABCD的中心,Oi为底面ABCD的中心,
所以00i/7CCi.又AC〃AG,AGu平面BAC,ACQ平面BAG,所以AC〃平
面BAiCi.
答案:平行平行
三、解答题(共32分)
8.(10分)如图,在三棱柱ABC-A.B,C,中,DbD分别为BC,BC的中点.
求证:平面ADB〃平面ADG.
【证明】连接DD因为》DB,BAiA,
所以四边形AIADD,为平行四边形,所以AD〃AD.
因为AQ4平面ADCbADc平面ADC„
所以AD〃平面ADCi.
因为BD/DG,BD4平面ADC„
DGu平面ADCb所以B»〃平面ADG,
又因为ADHBDk瓦所以平面ADB〃平面ADG.
9.(10分)如图,在正方体ABCD』ABCD中,0为底面ABCD的中心,P是
DL的中点,设Q是CG上的点,问:当点Q在什么位置时,平面DBQ与平
面PA0平行?
【解析】当Q为CG的中点叱平面DBQ〃平面PA0.因为Q为CG的中
点,P为DD)的中点,所以QB〃PA.连接DB,因为P,0分别为DD,DB的中
点,所以D3〃P0,又因为DiBQ平面PA0,QBQ平面PA0,所以DB〃平面
PAO,QB〃平面PA0,又因为D.BnQB=B,所以平面DBQ〃平面PA0.
【补偿训练】
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯
形,AD〃BC,NBAD=90°,BC=2AD,
CMRN
AC与BD交于点。,点M,N分别在线段呢AB求证:平面
MNO〃平面PAD.
【证明】在梯形ABCD中,因为AD〃BC,
所以也也2,
OAAD
又叫2,所以ON〃BC〃AD.
NA
因为ADu平面PAD,ONQ平面PAD,
所以ON〃平面PAD.
在4PACt,—=—=2
OAMP
所以OM〃AP,因为APu平面PAD,
OMQ平面PAD,所以0M〃平面PAD,
因为OMu平面OMN,ONc平面OMN,且OMCl0N=0,
所以平面MNO〃平面PAD.
10.(12分)如图,在三棱柱ABC—AiBC中,D是BC的中点.
E
4Ci
B
⑴若E为AC的中点,求证:DE〃平面ABBA;
⑵若E为A£上一点,且AB〃平面B.DE,求言的值.
[解析]⑴取BC的中点G,连接EG,GD,
则EG〃AB,DG〃BB”
又EGnDG=G,A1B1nBB1=B1,
所以平面DEG〃平面ABBA,
又DEu平面DEG,
所以DE〃平面ABBA.
(2)设BQ交BG于点F,连接EF,
则平面AiBGCl平面BiDE=EF.
因为AB
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