新教材2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册课时素养检测：平面与平面平行

课时素养检测

二十八平面与平面平行

通基础练——水平一

（30分钟60分）

一、选择题（每小题4分，共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全

对的得2分,有选错的得0分）

1.下列图形中能正确表示语句"平面anB=/,aua,buB,a〃B”

的是（）

【解析】选D.选项A不满足bCB,选项B,C不满足a〃B,选项D满足

所有条件.

2.已知a〃B,aua,B£B,则在B内过点B的所有直线中（）

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

［解析］选D.由直线a与点B确定一个平面，记为丫，设yClB=b，因

为a〃B,aUa,所以a〃B.所以a〃b.只有一条.

3.如图,设E,F,EbF,分别是长方体ABCD-ABCD的棱AB,CD,AB,CD

的中点，则平面EFD.A,与平面BCF.E,的位置关系是（）

A.平行B.相交C.异面D.不确定

【解析】选A.因为E,&分别是AB,AB的中点,

所以AE4EB,所以四边形AIEBEI为平行四边形，

所以A正〃BE”

又A同平面BCFiEi,BRu平面BCFE,

所以AE〃平面BCFE,

同理AD〃平面BCFE,

又A,DiPlAiE=Ab

所以平面EFDA〃平面BCFiEi.

4.平面a〃B的条件是（）

A.a内有无穷多条直线与B平行

B.直线a〃a,a〃B

C.直线aua,直线beB,且a〃B,b〃a

D.a内的任何直线都与B平行

【解析】选D.如图①，a内可有无数条直线与B平行，但a与B相交,

选项A错.

如图②，a〃a,a〃B,但a与B相交，选项B错.

如图③,aua,beB,a〃B,b〃a,但a与B相交，选项C错.

VZZZF1

图①图②图③

5.如图，在三棱台ABC-ABC中，点D在AB上，且AA1〃BD,点M是△ABC

内的一个动点（含边界），且有平面BDM〃平面AC,则动点M的轨迹是

（）

A.平面

B.直线

C.线段，但只含1个端点

D.圆

【解析】选C.因为平面BDM〃平面A,C,平面BDMCI平面ABG=DM,平面

Acn平面ABCFAIG,

所以DM〃AG,过D作DE/AG交BC于日（图略），则点M的轨迹是线段

DEM不包括点D）.

6.（多选题）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正

确的是（）

A.BM〃平面ADE

B.CN〃平面BAF

C.平面BDM〃平面AFN

D.平面BDE〃平面NCF

【解析】选ABCD.以ABCD为下底还原正方体，如图所示,

则易判定四个说法都正确.

二、填空题（每小题4分，共8分）

7.设平面a〃B,A£a,C£a,B£B,D£B,直线AB与CD交于点S,

且AS=8,

BS=9,CD=34,当点S在平面a,B之间时,CS等于.

【解析】如图，由题意知，ZkASCs/iBSD,

因为CD=34,所以SD=34-CS.

由AS:BS=CS:(34-CS)知，

8：9=CS:(34-CS),所以CS=16.

答案：16

【补偿训练】

设平面a〃B,A,C£a,B,D£B,直线AB与CD交于S,若

AS=18,BS=9,

CD=34,则CS=.

【解析】如图（1）,由a〃B可知BD/7AC,

如图⑵，由a〃《知AC//BD,

所以SC——.

3

答案：68或一

3

8.如图,在长方体ABCD-A.B,C,D,中，与BC平行的平面是;与平

面AiBlC1D1和平面AiBiBA都平行的棱是.

【解析】观察图形，根据直线与平面平行的判定定理可知，与BC平行的

平面是平面ABCD与平面ADDA;因为平面ABCD与平面AEBA的交

线是AB,所以与其都平行的棱是DC.

答案：平面ABCD与平面ADDADC

三、解答题（每小题14分，共28分）

9.如图，四边形ABCD和ADEF都是正方形，点M在BD上,N在AE上且

BM=AN.

求证:MN〃平面CDE.

【证明】方法一：过M点作AD的平行线交CD于。，过N作AD的平行线

交DE于P,连接0P.

显然0P在平面CDE上，且MO〃NP,

由于BM=AN,且正方形ABCD、ADEF共边，

所以MD二NE.AMOD^ABCD,所以竺=竺.

DBBC

NPNF

同理可得一一,所以M0=NP,因此四边形MOPN为平行四边形，有MN〃OP,

ADAE

又因为MNC平面CDE,OPu平面CDE,故MN〃平面CDE.

方法二：连接AM并延长交CD于P,连接EP.

在正万形ABCD中，一=——.又AN=BM,AE=BD,所以一二一,所以MN〃EP.

APBDAPAE

因为MNC平面CDE,EPc平面CDE,所以MN〃平面CDE.

方法三：作MO±AB于点0,NP±AD于点P,连接PM,

因为四边形ABCD和四边形ADEF都是正方形，

A

F

B

所以NBAD二ZADE=90°，所以OM〃AP,PN〃DE.

因为NOB忙ZPAN=45°，所以OM=^BM,AP=—AN,因为B归AN,所以

22

OM二AP.

所以四边形OMPA是平行四边形.

所以MP〃OA〃CD.

因为MPu平面PMN,PNu平面PMN,MPCIPN=P,CDu平面CED,DEu平面

CED,CDHDE二D,所以平面PMN〃平面CED.

因为MNu平面PMN,所以MN〃平面CDE.

10.如图，平面a〃平面6",（；£（1,82£0,点£不分别在线段人8口口

上鲸券

求证:EF〃平面B.

【证明】（1）若直线AB和CD共面，

因为a〃B，平面ABDC与a,B分别交于AC,BD,

所以AC/7BD.又生二三，

EBFD

所以EF〃AC〃BD.所以EF〃平面0.

4FCG

⑵若AB与CD异面，如图所示，连接BC并在BC上取一点G,使得高嬴

则在4BAC中，EG〃AC,而ACc平面a,

EGQ平面a,所以EG〃a.又a〃B,所以EG〃0.

同理可得GF〃BD,而BDcB,GFQB,

所以GF〃B.又EGCIGF=G，所以平面EGF〃0.

又EFc平面EGF,所以EF〃平面0.

综合⑴⑵得EF〃平面0.

【补偿训练】

在正方体ABCD-ABCD中,M,N,P分别是ADbBD和B,C的中点.

求证：

(1)MN〃平面CC,D,D.

⑵平面MNP〃平面CC.DiD.

【证明】(1)连接AC,CD,.因为四边形ABCD为正方形，N为BD中点，所以

N为AC中点.

又因为M为A6中点，所以MN//CD,.

因为MNC平面CCDD,CDiC平面CCDD,所以MN〃平面CGDQ.

⑵连接BC〃GD.因为四边形BBCC为正方形，P为B,C中点，所以P为

BG中点，又因为N为BD中点，所以PN〃GD.

因为PNQ平面CCDD,GDu平面CCDD,所以PN〃平面CCDD,由⑴知MN

〃平面CCDD,又MNAPN=N,所以平面MNP〃平面CCDD.

也.提..升...练..一..水..平...二..........

（30分钟60分）

一、选择题（每小题4分，共12分,多选题全部选对得4分,选对但不全

对的得2分,有选错的得0分）

1.设a,B是两个不同的平面,m是直线且mua,m〃B,若使a〃B

成立，则需增加条件（）

A.n是直线且nua,n〃B

B.n,m是异面直线，n〃B

C.n,m是相交直线且nua,n〃B

D.n,m是平行直线且nua,n"B

【解析】选C.要使a〃B成立，需要其中一个面的两条相交直线与另

一个面平行，n,m是相交直线且nCa,n〃B,mUa,m〃B,由平面和平

面平行的判定定理可得a〃B.

2.设平面a〃平面B,A£a,B£B,C是AB的中点，当点A,B分别在平

面a,B内运动时,动点C（）

A.不共面

B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面

C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D.无论点A,B如何移动都共面

【解析】选D.无论点A,B如何移动，其中点C到a,B的距离始终相等，

故点C在到a,B距离相等且与两平面都平行的平面上.

3.（多选题）已知a,b表示直线，a,B,丫表示平面,则下列推理不正确

的是（）

A.anB=a,bea=>a〃b

B.anB=a,a〃b=b〃a且b〃B

C.a〃B,b/7B,aua,bea=a〃B

D.a〃B,aGy=a,BGy=bna〃b

【解析】选ABC.选项A中，aAB=a,bea,则a,b可能平行也可能相

交，故A不正确；

选项B中，aAB=a,a〃b,则可能b〃a且b〃B,也可能b在平面a或

B内，故B不正确；

选项C中，a〃B,b〃B,aua,bea,根据面面平行的判定定理，再加

上条件a与b相交，才能得出a〃B,故C不正确；

选项D为面面平行性质定理的符号语言，故D正确.

二、填空题（每小题4分，共16分）

4.如图，已知S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的

点，且组型,则MN平面SBC.

s

【解析】过N作NG〃AD,交AB于G,连接MG,

―0BNBGL々八BNSM

可得一二一，由已知条件一=—,

NDAGNDMA

得刊”吧所以MG〃SB.

MAAG

因为MGQ平面SBC,SBc平面SBC,所以MG〃平面SBC.又AD〃BC,所以NG

〃BC,

NGQ平面SBC,BCc平面SBC,所以NG〃平面SBC,NGAMG二G,

所以平面SBC〃平面MNG,

因为MNu平面MNG,所以MN〃平面SBC.

答案：〃

5.已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D,E,F分别是SA,SB,SC

的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是.

【解析】由D,E,F分别是SA,SB,SC的中点，知EF是ASBC的中位线，

所以EF〃BC.

又因为BCc平面ABC,EF。平面ABC,所以EF〃平面ABC.同理DE〃平面

ABC,又因为EFClDE=E,所以平面DEF〃平面ABC.

答案：平行

6.已知平面a外不共线的三点A,B,C到a的距离都相等，则正确的结

论是（填序号）.

①平面ABC必平行于a；

②平面ABC必与a相交；

③平面ABC必不垂直于a；

④存在AABC的一条中位线平行于a或在a内.

【解析】平面a外不共线且到a距离都相等的三点可以在平面a的

同侧，也可以在平面a的异侧，若A,B,C在a的同侧，则平面ABC必平

行于&；若人,13,（；在a的异侧，平面ABC必与a相交且交线是aABC

的一条中位线所在直线，排除①②③.

答案:④

7.在正方体ABCD-ABCD中，平面AA,C,C和平面BB.D.D的交线与棱CC,

的位置关系是，截面BAG和直线AC的位置关系是

【解析】如图所示，平面AACCI平面BBDD=OO”

0为底面ABCD的中心，Oi为底面ABCD的中心，

所以00i/7CCi.又AC〃AG,AGu平面BAC,ACQ平面BAG,所以AC〃平

面BAiCi.

答案：平行平行

三、解答题（共32分）

8.（10分）如图，在三棱柱ABC-A.B,C,中,DbD分别为BC,BC的中点.

求证:平面ADB〃平面ADG.

【证明】连接DD因为》DB,BAiA,

所以四边形AIADD,为平行四边形，所以AD〃AD.

因为AQ4平面ADCbADc平面ADC„

所以AD〃平面ADCi.

因为BD/DG,BD4平面ADC„

DGu平面ADCb所以B»〃平面ADG,

又因为ADHBDk瓦所以平面ADB〃平面ADG.

9.（10分）如图,在正方体ABCD』ABCD中,0为底面ABCD的中心,P是

DL的中点,设Q是CG上的点，问：当点Q在什么位置时,平面DBQ与平

面PA0平行？

【解析】当Q为CG的中点叱平面DBQ〃平面PA0.因为Q为CG的中

点,P为DD）的中点,所以QB〃PA.连接DB,因为P,0分别为DD,DB的中

点，所以D3〃P0,又因为DiBQ平面PA0,QBQ平面PA0,所以DB〃平面

PAO,QB〃平面PA0,又因为D.BnQB=B,所以平面DBQ〃平面PA0.

【补偿训练】

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯

形,AD〃BC,NBAD=90°,BC=2AD,

CMRN

AC与BD交于点。,点M，N分别在线段呢AB求证:平面

MNO〃平面PAD.

【证明】在梯形ABCD中，因为AD〃BC,

所以也也2,

OAAD

又叫2,所以ON〃BC〃AD.

NA

因为ADu平面PAD,ONQ平面PAD,

所以ON〃平面PAD.

在4PACt,—=—=2

OAMP

所以OM〃AP,因为APu平面PAD,

OMQ平面PAD,所以0M〃平面PAD,

因为OMu平面OMN,ONc平面OMN,且OMCl0N=0,

所以平面MNO〃平面PAD.

10.（12分）如图,在三棱柱ABC—AiBC中,D是BC的中点.

E

4Ci

B

⑴若E为AC的中点，求证:DE〃平面ABBA;

⑵若E为A£上一点,且AB〃平面B.DE,求言的值.

［解析］⑴取BC的中点G,连接EG,GD,

则EG〃AB,DG〃BB”

又EGnDG=G,A1B1nBB1=B1,

所以平面DEG〃平面ABBA,

又DEu平面DEG,

所以DE〃平面ABBA.

(2)设BQ交BG于点F,连接EF,

则平面AiBGCl平面BiDE=EF.

因为AB