学年山东省济南市历城区八年级（下）期中数学试卷

第=page33页，共=sectionpages1414页第=page22页，共=sectionpages1414页数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是(  )A. B. C. D.若m>n，下列不等式不一定成立的是(  )A.m+2>n+2 B.2m>2n C.m2>n如果把分式xyx+y中的x和y都扩大3倍，那么原分式的值是(  )A.不变 B.缩小3倍 C.扩大3倍 D.缩小6倍不等式组−2x+1<3x≤1的解集在数轴上表示正确的是(  )A. B.

C. D.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(  )A.a2+4 B.−x2+9 如图，在△ABC中，∠BAC=60∘，将△ABC绕着点A顺时针旋转40∘后得到△ADE，则A.80∘

B.90∘

C.100∘

如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则△DBE的周长是(  )

A.6

cm B.7

cm C.8

cm D.9

cm已知x2−2x−3=0，则2xA.−6 B.6 C.−2或6 D.−2或30若关于x的一元一次不等式组2x−1>3(x−2)x<m的解集是x<5，则m的取值范围是(  )A.m≥5 B.m>5 C.m≤5 D.m<5一次智力测验，有20道选择题.评分标准是：对1题给5分，错1题扣2分，不答题不给分也不扣分.小明有两道题未答.至少答对几道题，总分才不会低于60分.则小明至少答对的题数是(  )A.11道 B.12道 C.13道 D.14道如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(0，4)和(1，3)△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，点A的对应点A'在直线y=45x上，则点B与O'间的距离为(  )A.3

B.4

C.5

D.34

如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E.过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF.现有如下结论：①BF=2；②AD⊥CF；③AD平分∠CAB；④AF=25；⑤∠CAF=∠CFB.其中正确的结论是(  )A.①②③ B.①②④ C.②③④⑤ D.①②④⑤二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）分解因式：x2−9=______．若分式2x−1有意义，则x的取值范围是______．知xy=32，则x−y如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(1，m)，则不等式2x<ax+4的解集为______．

如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠C=65∘，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是______在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来．

(1)4x+5≤2(x+1)

(2)x+4<3(x+2)2x−1≤12(x+4)

(1)如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD.求：

①旋转角是______度；

②线段OD的长为______；

③求∠BDC的度数．

(2)如图2所示，O是等腰直角△ABC(∠ABC=90∘)内一点，连接OA、OB、OC，∠A0B=135︒，OA=1，0B=2，求OC的长．

小明同学借用了图1的方法，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．

因式分解：

(1)2a3−8a

(2)3x2y−18x计算：

(1)化简：x2x−1+11−x

(2)解分式方程：1x−2+2=x−1x−2

(3)先化简：(x2+12x−1)÷如图，已知：AD平分∠CAE，AD//BC．

(1)求证：△ABC是等腰三角形．

(2)当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．

某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．

某公司保安部去商店购买同一品牌的应急灯和手电筒，查看定价后发现，购买一个应急灯和5个手电筒共需50元，购买3个应急灯和2个手电筒共需85元．

(1)求出该品牌应急灯、手电筒的定价分别是多少元？

(2)经商谈，商店给予该公司购买一个该品牌应急灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果该公司需要手电筒的个数是应急灯个数的2倍还多8个，且该公司购买应急灯和手电筒的总费用不超过670元，那么该公司最多可购买多少个该品牌应急灯？

如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60∘得到△BCE，连结DE．

(1)求证：△CDE是等边三角形；

(2)如图2，当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；

(3)如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析【答案】1.D 2.D 3.C 4.B 5.B 6.C 7.A

8.B 9.A 10.D 11.C 12.D 13.(x+3)(x−3)

14.x≠1

15.1516.x<1

17.15∘18.4

19.解：(1)4x+5≤2x+2，

4x−2x≤2−5，

2x≤−3，

x≤−1.5，

将解集表示在数轴上如下：

(2)解不等式x+4<3(x+2)，得：x>−1，

解不等式2x−1≤12(x+4)，得：x≤2，

则不等式组的解集为−1<x≤2，

将解集表示在数轴上如下：

20.60；4

21.解：(1)原式=2a(a2−4)=2a(a+2)(a−2)；

(2)原式22.解：(1)x2x−1+11−x

=x2−1x−1

=(x+1)(x−1)x−1

=x+1；

(2)1x−2+2=x−1x−2

方程两边同乘以x−2，得

1+2(x−2)=x−1

去括号，得

1+2x−4=x−1

移项及合并同类项，得

x=223.(1)证明：∵AD平分∠CAE，

∴∠EAD=∠CAD，

∵AD//BC，

∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC．

故△ABC是等腰三角形．

(2)解：当∠CAE=120∘时△ABC是等边三角形．

∵∠CAE=120∘，AD平分∠CAE，

∴∠EAD=∠CAD=60∘，

∵AD//BC，

∴∠EAD=∠B=6024.解：设汽车原来的平均速度是x

km/ℎ，

根据题意得：420x−420(1+50%)x=2，

解得：x=70

经检验：x=70是原方程的解．25.解：(1)设购买该品牌手电筒的定价是x元，购买台灯的定价是y元．

根据题意得x+5y=503x+2y=85，

解得x=25y=5．

答：购买该品牌手电筒的定价是5元，购买台灯的定价是25元；

(2)设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是(2a+8)，

由题意得25a+5(2a+8−a)≤670，

解得a≤21．

答：该公司最多可购买2126.解：(1)证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60∘得到△BCE，

∴∠DCE=60∘，DC=EC，

∴△CDE是等边三角形；

(2)存在，当6<t<10时，

由旋转的性质得，BE=AD，

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，

由(1)知，△CDE是等边三角形，

∴DE=CD，

∴C△DBE=CD+4，

由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，

此时，CD=23cm，

∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4；

(3)存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，

∴当点D与点B重合时，不符合题意，

②当0≤t<6时，由旋转可知，∠ABE=60∘，∠BDE<60∘，

∴∠BED=90∘，

由(1)可知，△CDE是等边三角形，

∴∠DEC=60∘，

∴∠CEB=30∘，

∵∠CEB=∠CDA，

∴∠CDA=30∘，

∵∠CAB=60∘，

∴∠ACD=∠ADC=30∘，

∴DA=CA=4，

∴OD=OA−DA=6−4=2，

∴t=2÷1=2s；

③当6<t<10s时，如图，

由(1)知，△DCE是等边三角形，

∴CE=CD，

由旋转知，∠ACD=∠BCE，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，

∴△ACD≌△BCE，

∴BE=AD，∠CBE=∠CAD=60∘，

∴∠DBE=60∘，

∵△BDE是直角三角形，

∴只有∠BDE=90∘，

∴∠BED=30∘，

∴∠BEC=30∘，

∴∠BCE=90∘，

∴BE=2BC=8，

∴AD=8，

∴t=8÷1=8秒；

④当t>10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60∘，

又由(1)知∠CDE=60【解析】1.解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，

故选：D．

根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．

本题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转180∘2.解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；

B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；

C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；

D、当0>m>n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；

故选：D．

根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据不等式的性质3，可判断D．

本题考查了不等式的性质，.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.不等式的基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变3.解：3x⋅3x3x+3y=3×xyx+y，

则把分式xyx+y中的x和y都扩大3倍，那么原分式的值扩大3倍，

故选：C．

根据分式的基本性质计算，判断即可．

本题考查的是分式的性质，分式的分子与分母同乘(4.解：解不等式−2x+1<3，得：x>−1，

∴不等式组的解集为−1<x≤1，

故选：B．

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5.解：A、a2+4的两项符号相同，不能分解，故错误；

B、−x2+9能用平方差公式分解因式，正确；

C、−x2−y2的两项符号相同，不能分解，故错误；

D、6.解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转40∘后得到△ADE，

∴∠CAE=40∘，

∵∠BAC=60∘，

∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60∘+40∘=100∘．

7.解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90∘，

∴DE=CD，

又∵AC=BC，AC=AE，

∴AC=BC=AE，

∴△DBE的周长=DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AE+EB=AB，

∵AB=6cm，

∴△DBE的周长=6cm．

故选：A．

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，再根据等腰直角三角形的性质求出AC=BC=AE，然后求出△DBE的周长=AB，代入数据即可得解．

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质求出△DBE的周长8.解：x2−2x−3=0

2×(x2−2x−3)=0

2×(x2−2x)−6=0

2x2−4x=69.解：解不等式2x−1>3(x−2)，得：x<5，

∵不等式组的解集为x<5，

∴m≥5，

故选：A．

求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了即可确定m的范围．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.解：设小明至少答对的题数是x道，

5x−2(20−2−x)≥60，

x≥1357，

故应为14．

故选：D．

设小明至少答对的题数是x道，答错的为(20−2−x)道，根据总分才不会低于60分，这个不等量关系可列出不等式求解．11.解：如图，连接AA'．

∵点A的坐标为(0，4)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O'A'B'，

∴点A'的纵坐标是4．

又∵点A的对应点在直线y=45x上一点，

∴4=45x，解得x=5．

∴点A'的坐标是(5，4)，

∴AA'=5．

∴根据平移的性质知OO'=AA'=5．

∴O'(5，0)，

∵B的坐标为(1，3)，

∴BO'=(5−1)2+(0−3)2=5，

故选：C．

根据平移的性质知OO'=AA'.由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点12.解：①正确.易证△DBF是等腰直角三角形，故BF=BD=2．

②正确.∵AC=BC，∠ACD=∠CBF，CD=BF，

∴△ACD≌△CBF，

∴∠CAD=∠BCF，

∵∠BCF+∠ACF=90∘，

∴∠CAD+∠ACF=90∘，

∴AD⊥CF．

③错误.∵CD=DB，

∴AD是△ACB的中线，如果是角平分线，则AC=BC，显然与已知矛盾，故错误．

④正确.在Rt△ACD中，AD=AC2+CD2=42+22=25，易证AF=AD=25．

⑤正确.∵△ACD≌△CBF，

∴AD=CF=AF，

∴∠CAF=∠FCA，

∵AC//BF，

∴∠CFB=∠FCA=∠CAF．

故选：D．

①正确.易证△DBF是等腰直角三角形，故BF=BD=2．

②正确.由△ACD≌△CBF，推出∠CAD=∠BCF，由∠BCF+∠ACF=90∘，推出∠CAD+∠ACF=90∘，即AD⊥CF．

③错误.由CD=DB，推出AD是△ACB的中线，如果是角平分线，则AC=BC，显然与已知矛盾，故错误．

④正确.在Rt△ACD中，AD=13.解：x2−9=(x+3)(x−3)．

故答案为：(x+3)(x−3)．

本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．14.解：由题意得：x−1≠0，

解得：x≠1，

故答案为：x≠1．

根据分式有意义的条件可知x−1≠0，再解不等式即可．

此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．15.解：设x=3a时，y=2a，

则x−yx+y=3a−2a3a+2a=a5a=15．

故答案为15．

根据已知条件xy=16.解：当x<1时，2x<ax+4，

即不等式2x<ax+4的解集为x<1．

故答案为x<1．

观察图象，写出直线y=2x在直线y=ax+4的下方所对应的自变量的范围即可．

本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．17.解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A，

∵等腰△ABC中，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=65∘，

∴∠A=180∘−∠ABC+∠C=50∘，

∴∠DBC=∠ABC−∠ABD=15∘．

故答案为：15∘．

由AB的垂直平分线MN交AC于点D，可得AD=BD，继而证得∠ABD=∠A，然后由等腰△ABC中，18.

解：观察发现，

∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90∘，

∴∠ABC+∠BAC=90∘，∠ABC+∠EBD=90∘，

∴∠BAC=∠EBD，

∴△ABC≌△BDE(AAS)，

∴BC=ED，

∵AB2=AC2+BC2，

∴AB2=AC2+ED2=19.(1)根据解一元一次不等式的基本步骤依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20.解：(1)①∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60∘，BA=BC，

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴旋转角的度数为60∘；

②∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴BO=BD，

而∠OBD=∠ABC=60∘，

∴△OBD为等边三角形，

∴OD=BO=4；

③∵△BOD为等边三角形，

∴∠BDO=60∘，OD=4，

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴CD=AO=3，

在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，

∵CD2+OD2=32+42=52=OC2，

∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90∘，

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60∘+90∘=150∘；

故答案为60；4；

(2)∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=90∘，BO=BD=2，CD=AO=1，

∴△OBD为等腰直角三角形，

∴∠BDO=45∘，OD=2OB=22，

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠AOB=∠BDC=135∘，

∴∠ODC=90∘，

21.(1)根据提公因式，平方差公式，可得答案

(2)根据提公因式，完全平方公式，可得答案．

本题考查了因式分解的意义，一提，二套，三检查，分解要彻底．22.(1)根据分式的加法可以解答本题；

(2)根据解分式方程的方法可以解答本题；

(3)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再从−1，0，1，2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值、解分式方程，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．23.(1)