天津市宁河区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题【含答案解析】

宁河区2023-2024学年度第一学期期中考试九年级数学一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．请将正确选项．1.一元二次方程4x2﹣1=5x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A.4，﹣1，5 B.4，﹣5，﹣1 C.4，5，﹣1 D.4，﹣1，﹣5【答案】B【解析】【分析】将方程整理为一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可．【详解】∵一元二次方程4x2﹣1=5x，∴整理为：4x2﹣5x﹣1=0，∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：4，﹣5，﹣1．故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握一元二次方程的定义是解题关键．2.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C.． D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B．3.平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答．【详解】点关于原点对称的点的坐标是．故选：B．4.用配方法解方程，变形后的结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【详解】∵x2＋4x−7＝0，

∴（x＋2）2＝11，

故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5.下列所给方程中，没有实数根的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了根的判别式，直接根的判别式对四个选项逐一进行判断．【详解】解：A、中，，故方程有两个不相等的实数根；B、中，，故方程有两个不相等的实数根；C、变形为，则，故方程有两个不相等的实数根；D、中，，故方程无实数根．故选：D．6.若一元二次方程的两个根是，则的值是（）A.8 B. C. D.16【答案】D【解析】【分析】本题主要考查根与系数的关系的关系：是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得，然后整体代入求解即可．【详解】解：一元二次方程的两个根是，∴，∴．故选：D．7.若是二次函数，且图象开口向下，则值为（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的定义，令m2−2＝2，求m的值，二次函数图象开口向下，则二次项系数1−m＜0，确定m的值．【详解】∵已知函数为二次函数，

∴m2−2＝2，

解得m＝−2或2，

当m＝−2时，1−m＝3＞0，二次函数图象开口向上，不符合题意，

当m＝2时，1−m＝−1＜0，二次函数图象开口向下，

故选：D．【点睛】本题考查二次函数的定义及性质，解题的关键是掌握二次函数的定义及性质．8.若二次函数的图象经过三点，则的关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．【详解】解：∵，∴图象的开口向上，对称轴是直线，关于直线的对称点是，∵，∴，故选：D．9.将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得平移后的解析式．【详解】解：将抛物线y=-2x2+1向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，得y=-2（x+1）2-2；故所得抛物线的解析式为y=-2（x+1）2-2．故选：B．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．10.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100被感染．设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台其他电脑，由题意列方程应为（）A.1+2x＝100 B.x（1+x）＝100 C.（1+x）2＝100 D.1+x+x2＝100【答案】C【解析】【分析】此题可设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则第一轮共感染x+1台，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）台，根据题意列方程即可．【详解】设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，根据题意列方程得（x+1）2＝100，故选C．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．11.如图，在中，，将绕点旋转到'的位置，使得，则的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由平行线的性质可得∠C'CA＝∠CAB＝64°，由折叠的性质可得AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，可得∠ACC'＝∠C'CA＝64°，由三角形内角和定理可求解．【详解】∵CC′∥AB，

∴∠C'CA＝∠CAB＝64°，

∵将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，

∴AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，

∴∠ACC'＝∠C'CA＝64°，

∴∠C'AC＝180°−2×64°＝52°，

故选：B．【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．12.从如图所示的二次函数的图象中，观察得出下面五条信息：①；②；③；④；⑤你认为其中正确信息的个数为（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由抛物线与轴的交点可知：，故正确；由抛物线的开口方向可知：，，，，故正确；令代入，，故错误；由对称轴可知：，则，故正确如图所示，当时，．∴，∴．∴．故正确；综上所述，正确的结论有个．故选：C．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换的熟练运用．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上．13.若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程中得，然后进行计算即可解答．【详解】解：∵一元二次方程有一个根为，∴，解得：，故答案为：．14.抛物线的顶点坐标是______．【答案】（2，5）【解析】【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．【详解】解：∵顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴y=-2（x-2）2+5顶点坐标是（2，5）．故答案为：（2，5）．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．15.二次函数的最小值为，则的值为______．【答案】-2【解析】【分析】根据函数的最小值为-3，列出方程，解之即可．【详解】解：由题意可得：，解得：n=-2，故答案为：-2．【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握求最值的公式．16.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到ΔAB1C1，连接BC1，则BC1的长为____．【答案】5【解析】【分析】由旋转的性质可得AC=AC1=3，∠CAC1=60°，由勾股定理可求解．【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC=AC1=3，∠CAC1=60°，∴∠BAC1=90°，∴BC1==5，故答案为：5．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练旋转的性质是本题的关键．17.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=2，且经过点（5，0），则a﹣b+c=_____．【答案】0【解析】【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=2，且经过点（5，0），可以求得5a+c=0，b=﹣4a，从而可以求得所求式子的值．【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=2，且经过点（5，0），∴，25a+5b+c=0，∴5a+c=0，b=﹣4a，∴a﹣b+c=a+4a+c=5a+c=0，故答案为0．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数图象上点的特征及抛物线的对称性是解决问题的关键．18.已知二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是_____．【答案】k＜4【解析】【分析】由题意可知抛物线与x轴有两个交点，因此运用二次函数的图象与x轴交点的性质解答即可．【详解】∵二次函数y=x2﹣4x+k中a=1＞0，图象的开口向上，又∵二次函数y=x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，∴抛物线y=x2﹣4x+k的图象与x轴有两个交点，∴△>0，即（-4）2-4k>0，∴k＜4，故答案为k＜4.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，由题意得出抛物线与x轴有两个交点是解题的关键.三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19.解下列方程（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程：（1）方程移项后运用直接开平方法求解即可；（2）方程运用公式法求解即可【小问1详解】解：∴【小问2详解】解：∴20.已知顶点坐标分别为（1）点A，B，C关于x轴的对称点分别是直接写出点的坐标：：，：：（2）画出绕原点O顺时针旋转后得到的【答案】（1），，（2）见解析【解析】【分析】本题考查作图-旋转变换以及点的坐标等知识．（1）分别作出A、B、C关于x轴对称点即可；（2）分别作出A、B、C的对应点即可；【小问1详解】解：如图所示，：；故答案为，，；【小问2详解】解：如图所示21.已知，以为边向外作等边，经过旋转后到达位置，且点A，C，E恰好在一条直线上，（1）旋转中心是点，旋转角的大小为（度）；（2）求的度数和的长．【答案】（1）D，60（2）．【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，（1）根据旋转概念可得旋转中心；由旋转的性质可得进而得出可得旋转角度；（2）证是等边三角形，即可求解．【小问1详解】解：∵经过旋转后到达的位置，∴旋转中心是点D；由旋转得∵是等边三角形，∴,∴即旋转角度数为：；故答案为：，；【小问2详解】解：由旋转得，∵由（1）知∴是等边三角形，∴∴，∴．22.次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：…-4-3-2-1012……50-3-4-305…（1）求这个二次函数的解析式；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）利用图象，请直接写出当函数值小于0时，自变量的取值范围．【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据表格中的数据可以求得这个二次函数的解析式；

（2）根据表格中的数据可以画出该函数的图象；

（3）根据（2）中的函数图象，可以写出当函数值小于0时，自变量x的取值范围．【详解】解：（1）把,代入得：解得：∴这个二次函数的解析式为（2）如右图所示：（3）由图象可得，当函数值小于0时，自变量x的取值范围是−3＜x＜1．【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点.23.如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？【答案】1米【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设道路应修宽，根据花田面积为，建立方程，解方程结合题意取舍的值，即可求解．【详解】解：设道路应修宽，根据题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），答：道路应修宽．24.某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．（I）分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：原价每件降价1元每件降价2元…每件降价x元每件售价（元）353433…每天售量（件）505254…（Ⅱ）（由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解）【答案】（1）35-x，50+2x；（2）y=-2（x-5）2+1800，每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l800元．【解析】【详解】试题分析：（1）现在的售价为每件35元，则每件商品降价x元，每件售价为（35-x）元；多买2x件，即每天售量为（50+2x）件；（2）每天的销售额=每件售价×每天售量，即y=（35-x）（50+2x），配方后得到y=-2（x-5）2+1800，根据二次函数的性质得到当x=5时，y取得最大值1800．试题解析：（1）35-x，50+2x；（2）根据题意，每天的销售额y=（35-x）（50+2x），（0＜x＜35）配方得y=-2（x-5）2+1800，∵a＜0，∴当x=5时，y取得最大值1800．答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l800元．考点：二次函数的应用．25.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线顶点．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）在y轴上确定点M，使的周长最小，