常微分方程教程丁同仁第二版答案

常微分方程教程(第二版)-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案

习题2-1

判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：

1.(3x2(2xY)dy0

解：P(xj)3/1,2一，

p0Po

则一0,工2,所以一士一即，原方程不是恰当方程.

yxyx

2.(x2y)dx(2xy)dy0

解：P(x,y)x2y,Q(x,y)2xy9

则一C2,22,所以二旦■，即原方程为恰当方程

yXyx

贝”办(2ydx2xdy)ydy0,

X2”2

两边积分得：L2呼—C.

2-2

3.(oxby)dx(bxcy)dy0(a,b和c为常数).

解：P(x,y)axby,Q(x,y)bxcy,

则h,所以CC,即原方程为恰当方程

yxyx

则axdx(如dxbxdycydy0,

两边积分得：竺:6中C.

22

4.(axby)dx(bxcy)dy0(b0)

解：尸(xj)axby,Q(x,y)bxcy,

POPO

则一b,36,因为60,所以—以，即，原方程不为恰当方程

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5.(t2l)cosudu2tsinudt0

解：P(t,u)(t2l)cosw,0亿〃)2/sinw

poPO

则—2/cosw,—2tcost/,所以——,即原方程为恰当方程

txyx

贝ij(，2cos沙力，2/sin〃力)cosudu0,

两边积分得：l)sini/C.

6.(yex2exy2)dx(ex2xy)dy0

解：P{x,yyex2e'y2,Q(x,y)ex2xy

则-Ce'2%2e*2y,所以£2-,即原方程为恰当方程

y九yx

贝lJ2e*公［(yexy2)dx(e'2孙)力］0,

两边积分得：(2y)exxy2C.

7.(—x2)dx(Inx2y)dy0

解:P(x,y)—x2Q(x,y)Inx2y,

X

P1O1PO

则二3工;所以二乂一，即原方程为恰当方程

yxxxyx

则(上dx\nxdy)x2dx2ydy0

x

v-3

两边积分得：yylnxy2C.

8.(ax2by2)dxcxydy0(a］和。为常数)

解：尸(x,y)ax2by%Q(x.y)cxy,

则土2hy,2cy,所以当C金，即2h。时，原方程为恰当方程

yxyx

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则ax?公（by2dxcxydy）0

〃丫3

两边积分得：?b孙2c

而当26。时原方程不是恰当方程.

c2s1.SS2

9.-------ds——dt0

tt2

行》、2sl〜、ss2

解：Pg)-------,0亿5)——,

tr

则工P二\2上s，幺O1所2s以二P义O_,即原方程为恰当方程,

ttstyx

两边积分得：=c.

t

>0.xf(x-y2)dxyf(x2y2)dy0,./'()

其中是连续的可微函数.

解：P(x,y)xf\x2y2),。(3)yf(x2y\

pO所以

则工2xyf,32xyf,C2,即原方程为恰当方程,

yxy光

两边积分得：f(x2y2)dxC,

即原方程的解为y2）c

（其中F为f的原积分）.

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习题2-2

1.求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域：：

⑴半

axy

解：原方程即为：ydyx'dx

两边积分得：3/2x3C,y0.

(2也

dxy(lx)

X2

解：原方程即为："y——-dx

1x

两边积分得：3y221nlX3\C,y0,x1.

(3也y2sinx0

dx

解：当V0时

原方程为：土sinxdx0

y

两边积分得：1(ccosx)y0.

又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为

1(ccosx)y0.

(4)—1xy2xy1;

dx

解：原方程即为：(1x)dx

1J2

X2

两边积分得:arctgyx—c,

x2

即yfg(x-c).

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(5)—(cosxcos2y尸

dx

解：①当cos2y0时

原方程即为：一包一(cosx)2dx

(cos2y)2

两边积分得：2fg2y2x2sin2xc.

k

②cos2y=0,即y—w也是方程的解.也N)

⑹6L

dx

解：①当y1时

原方程即为：.“办—

7T1

两边积分得：arcsinyln]c|c.

②y1也是方程的解.

解.原方程即为：3ev)dy(xe，)dx

22

两边积分得：匕ey二e*c

22,

原方程的解为：VX22(e'eX)c

2.解下列微分方程的初值问题.

(1)sin2xdxcos3ydy0,y(

3

cos2xsin3y

解：两边积分得：即2sin3y3cos2xc

23

因为^(y)—

所以c3.

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所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y3cos2x3.

(2).xdxyexdy0,y(0)1;

解：原方程即为：xexdxydy0,

2

两边积分得：(XXdxc,

因为火0)1,所以Ci

所以原方程满足初值问题的解为：2(xl)eXdxy2dy10

(3).—r,r(0)2；

a

dr

解：原方程即为:—d,两边积分得：Inrc,

r

因为NO)2.所以cln2,

所以原方程满足初值问题的解为：InrIn2即r2e

(4).^i*L,

y(i)o；

解：原方程即为：(1y2)dyIn/收，

y3।.

两边积分得：y—xxln|c,

因为y⑴0,所以c1,

3

所以原方程满足初值为一yXxln^l|1

⑸・LAxo)1;

解：原方程即为：驾

y

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两边积分得：|y2#x2c,

3

因为歹(0)1,所以。

所以原方程满足初值问题的解为：2,1—1

y

3.解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图.

(1).—COSX

dx

解：两边积分得：歹sinxc.

积分曲线的简图如下：

(2).半ay,(常数a0);

dx

解：①当y0时，

原方程即为：空dx积分得：gn1|xc,

ay

即ycem(c0)

②y0也是方程的解.

积分曲线的简图如下：

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电1

(3).y2；

dx

解：①当N1时,

原方程即为：-dy--dx积分得：InL匚2xc,

(iy)iy

②y1也是方程的解.

(4).?「(n2)；

ax3

解：①当N0时，

i)〃；2时，原方程即为与dx.

积分得：x-y'nc.

n1

ii)/71时，原方程即为—dx

y

积分得：ln»|xc,即ycex(c0)

②y0也是方程的解.

积分曲线的简图如下：

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(n=2)

4.跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A,

即B与A永远保持等距b.试求B的光滑运动轨迹.

解：设B的运动轨迹为yy(x),由题意及导数的几何意义，则有

?所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足贝0)b的解.

dx亚y2

5.设微分方程生/U)(2.27),其中f(y)在歹a的某邻域(例如，区间«I)

dx

内连续，而且/(»)Oy。，则在直线N。上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一,

当且仅当瑕积分“(发散).

af{y}\

证明：()

首先经过域RXayQ和域火2x

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aya内任一点(x，/)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定

ydy

xXo.

这些积分曲线彼此不相交.其次，域8(及2)内的所有

积分曲线上xc都可由其中一条，比如上XC

f(y)/(y)°

沿着X轴的方向平移而得到。因此只需详细考虑经过R内某一点

(x0,a)的积分曲线，它由(*)式确定.

若:借卜敛’即存在*X',使得:舟|\

即所讨论的积分曲线当X时达到直线ya上点(x，w).由(*)式易看出，

所论积分曲线在(M,a)处与ya相切，在这种情形下，经过此直线上的

()一点就不只有一条积分曲线,与局部唯一矛盾，所以"“fW)\发散.

若积分:肃j发散，此时由(*)式易看出，所论的经过(X。，。)的积分

曲线，不可能达到直线y。上，而以直线y。为渐近线，又注意到丁。也

是(2.13)的积分曲线，所以(2.13)过(xo,a)的解是唯一的.

注：对于此内某点(X。，。)完全可类似地证明.

6,作出下列微分方程积分曲线族的大致图形.

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习题2-3

1.求解微分方程：

(1)孚2yxe'

ax

解：p(x)2,q(x)xe*.

由公式得：ye21cxe、,幺dx)ce2xxere

原方程的解为：yce2xxexex.

(2)，ytgx

sin2x;

ax

解：p(x)tgx,q(x)sin2x,

d(cosx).

p(x)dxtgxdx---dx....———axInc|osx|c,则有

cosxcosx

ya止。浜(csin2xe也叫明

?丫

|cosx|(c~sin■~~dx)MM。2c|osx)|

ICOS3T

原方程的解为：yc40sxi2cos2x

(3)x■-2ysinx,y()—；

ax

解：原方程即为：虫-y—,则p(x)A心)sinx

dxxxxx

p(x)dxZxInx2c,则有

x

i/SillXln.r2、

ye,nnYV2(c----e)

x

，-(cxsinx阳

x

1•、

—(zcxcosxsinx)

X

因为）—1

所以Co.

11.

原方程满足初值问题的解为：y-GOSX—sinx

xx

(4)?1x,y(0)1;

dx1x

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解:/?(%)-----,q(x)1x,p(x)dxIn-----

1x2x1

In—2

(lx)ek"加)

4:Idx)卡|1

i/x2dx)忖1

要求满足初值问题共0)1的解

只需求1

-arcsinx

2

代入初值得c1

1X\Tx~r).

所以满足初值问题的解为J-arcsinx

22

2.将下列方程化为线性微分方程：

dyx2y2

(1———:—；

dx2y

d

解：令Fz,则原方程化为：，7ZX

dx

解：由原方程得：，—匚匚.即--xy

dyydyy

(3)3孙2孚j3x30；

ax

dz1

解：令Kz,则原方程化为：一-3X2.

dxx

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(4)乡1

----xtgy;

axcosy

解：原方程即为：虫Xsi"

dxcosycosy

cosydy].

即---1xsiny.令zsiny,则—XZ1.

dxdx

X

a(s)ds

3.设V(X)满足微分不等式少a(x)y0,(x0).求证：(x)(0)e

0)

X

证明：将Na[x}y0两边同乘e。,则有

XX

0a(s)(isa(s)ds

e。ye»a{x}y0

d(e即泌(x))

即---0----从---0-到--x积分得:

dx

X

pa3ds,、

(x)(0),得证.

用常数变易法求解非齐次线性方程电p(x)yq(x).

4.

dx

解：设方程有形如yc(x)e小"的解，将其代入方程则有

解：设方程有形如yc(x)e小"的解，将其代入方程则有

"c(x)e0“世c(x)p(x)ep(x}dxp(x)lLx

c(x)p(x)e式x)

dx

即处lep(x)(/xp(x)dx

q(x),则c(x)q(x)e

dx

p(x)(lx

所以方程的解为Ne叩处c).

(q(x)e

考虑方程当p(x)yq(x),其中p(x)和q(x)都是以0为周期的连续函数.

5.

ax

试证：(1)若q(x)0,则方程的任一非零解以为周期p(x)的平均值

—0p(x)dx0.

(2)若q(x)0.则方程的有唯一的周期解p0.试求出此解.

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证明：(1)设^(X)是方程的任一非零解

XXH'

p(x)dxp(xw)dx

则yce-o，且yce，，也是解

XXH'Xx'w

p(x)必P(Xw)dxp(x)dxp(x)dx

ee,eex

ewwM1p(x)dx0

(2)方程的通解为yce、q(s)e%皿

选择常数c使Mx)成为周期函数，即y(xvv)y(x)(*)

我们先来证明，要使(*)对所有x成立，其实只需对某一特定x

(例如X0)成立,即只需双)夕(0).事实上，由于N(X)是方程的解，

且p(xw)p(x)q(xw)q(x),所以y(xw)也是解.

因此，函数”(x)y(xw)M>)是相应齐次方程yp(x)y0满足

初始条件N(0)0的解。又因为此齐次方程的解或者恒等于0,或者恒不

等于0,所以“(X)0,从而等M歹(0),由X的任意性，则有y(xw)y(x)。

“p(x)dxw/、'叩⑴曲,

即ce110</(5)e0dsc.

所以c---------"q(x)e。"dx.

]e»pMdxo

6.连续函数/(x)在区间x上有界，证明：方程y丁/'(x)在区间

X有并且只有一个有界解.试求出这个解.并进而证明：当/(X)还是以为

周期函数时，这个解也是以为周期的周期函数.

证明：显然方程为一阶线性微分微分方程，由一阶线性微分微分方程解的求解公式得其

解表达式为：

XX

八

yc――e。\dx0X〃s)e焉杰

I

cexAf(s)e*x、ds

o

因为/(X)有界，所以要使歹有界，当且仅当C°f(s)eds

从而原方程的唯一有界解为

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ycex"f(s)e(s*)ds°f(s)e'*dsvf(s)e(xx)ds"f(s)e(sx｝ds.

00

下面说明当/(x)是以为周期函数时，这个解也是以为周期的周期函数.

y(x)“f(s)elsx)ds，令/s,贝IJ

y(x)'y(s)e""、ds'f(t)e(,^dt'/(Z)e(,x)dty(x),

所以此解为一周期函数.

7.令空间｛/(X)If是以2为周期的连续函数｝.易知4°关于实数域，构成一个

线性空间.fH。,定义它的模||/'||max。|./(x)|.证明“。是一个完备的空间.利

x2

用式(2.40)可以在空间〃。中定义一个变换，它把/"变成y.试证：是一个从4°H°

到

的线性算子，而且它是有界的.

证明：(1)先证"°是一个完备的空间.

设｛/"(X)｝是(4°加

中的一个基本列.

那么0,N(),m,nN()有

|/*)〃叫maxo.v2.(⑴/⑴|

所以0x2,f[x)„f(x)„(*),固定x[0,2].则/(x)“

是基本的，从而lim”/(/)存在，记为/(/),在()中令加,

得到|/°(x)/„(x)|，所以/0)一致收敛到/$),从而在“用/收

敛到/。，所以定义的空间是完备的。

(2)证是一个线性有界算子。

①—'—"e。""(c./ic2f

(c/Se2〃1*)(s)ds

221x2c,、.八〃/、，21x2

。VTxe3)/(s)dsC2丁r.

a{xS}fi{s}ds

。2m

所以是一个线性算子。

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1,

2

②||(/)||max0v2--r；ew”⑸杰

max。,1]maxf(s)ds：e'^'ds

ex$『2

i

所以是有界算子.

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习题

1.求解下列微分方程：

2yx.

(1次

2xy

ux,则原方程化为X22u1

解：令yu

dx2u

2〃dx1u

即-2—1du—,积分得：In蛔21|lnA|\c

U1X1u

还原变量并化简得：（丁X）c(xyy

2yx5

(2)y

2x4

2yx50x1

解：由得

2xN40y2

X

令〃I,Vyz

则有

dv2vu/3

------,由第一题的结果知此方程解为（uu)c(uV）

du2uv

还原变量并化简得:yx3c(xyIF.

⑶卜

1

解：令vx2y,51IJ—12dy12—

dxdx2v1

即9s,此方程为变量分离方程,

i3

分离变量并积分得：-Vfln|4v11Xc

2o

还原变量并化简得：8y4x3\n^x8y1f.

(4)yx3y3xy.

3

解：①当y0时，方程两边同时乘以2y3，则2yy2x2盯2

令

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Z贝ijdz_2宓2炉,此方程为一阶线性方程，由公式得：zce。X1

dx

还原变量得：y2(CHx2l),.

②y0也是方程的解.

2.利用适当的变换，求解下列方程：

(1)ycos(xy);

旬入nndu.dy.

解:令〃xy,贝IJ——1——1COSM

dxdx

①当cos”［时，有————dx,即————dx

1COS”c.2M

2sin—‘

2

两边积分得：yC/gjxc

还原变量化简得：cosA-V2xsinX-VcsinX1.

222

②当cos”1时，即yx2k(kZ)

也是方程的解.

(2)(3〃vv^du(/"VWU；

解：方程两边同时乘以〃则原方程化为：

(3W2Vuv2)du(M3u2v)dv0,

即(3u2vduuidv)(uv2duu\>dv)0

此方程为全微分方程，则原方程的解为：“"22

2vc.

(3)(系y23)孚2x(2p4；

axy

解：原方程即为马亚，令/%

,T'u

2xdxx2y23

4〃2v0u1mu1

则学4u2v人

，由QA得以2nv21则有

dvuv3uV30

dz

dm2/7人mdm4z2

令一z,则mzn,——nz

dnmnndndnz11

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则有史“(1z)(z2),此方程为变量分离方程

dnz1

分离变量并积分得：cln〃，

I2

还原变量并化简得：y21)2c(2x2y23)3

2x33xy2lx

(4)半

ax3x2y2y3Sy

2

解：原方程即为生也2x3y272

令MyVX

2xdx3/2y28

川苏3v2W8■由3V2〃80v2,令"以

则也2〃3〃?令"z

d〃3〃2mn可将方程化为变量分离形方程，

2z—,两边积分得：-InL^2

•)dzz|In72c,

22pn41z

25

还原变量并化简得：(/yI)c(x2y23)

3.求解下列微分方程：

(1).yy23；

4x

解：令zxy,则原方程可化为：它-(z2z4,

dxx4

z细，即孙;时

1dx

方程为———dz—,此方程为变量分离方程，

(Z乎'

两边积分得：一21ln|x|C

Z—

2

还原变量并化简得：N-———一;

2xxlnxex

当z1时，y-L是方程的特解.

22x

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(2).x2yx2y2xy1；

解：原方程即为―/--L.

XX

1

令Z孙，则竺上(ZI)2,此方程为变量分离方程,

dxx

分离变量积分得：ln*|c,

还原变量并化简得：丁-