2024-2025学年西藏自治区日喀则市南木林高级中学下期第二次质量考评(3月)高三数学试题含解析_第1页
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文档简介

2024-2025学年西藏自治区日喀则市南木林高级中学下期第二次质量考评(3月)高三数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设全集集合,则()A. B. C. D.2.函数的图象大致为()A. B.C. D.3.已知集合,集合,若,则()A. B. C. D.4.设为虚数单位,复数,则实数的值是()A.1 B.-1 C.0 D.25.已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为()A. B. C. D.6.已知点是双曲线上一点,若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.27.函数在上的图象大致为()A. B. C. D.8.设集合则()A. B. C. D.9.已知集合,则集合的非空子集个数是()A.2 B.3 C.7 D.810.已知是虚数单位,则()A. B. C. D.11.已知,,若,则实数的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或712.设为非零实数,且,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.袋中装有两个红球、三个白球,四个黄球,从中任取四个球,则其中三种颜色的球均有的概率为________.14.已知函数,则下列结论中正确的是_________.①是周期函数;②的对称轴方程为,;③在区间上为增函数;④方程在区间有6个根.15.随着国力的发展,人们的生活水平越来越好,我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状,合理制定学校体育卫生工作发展规划,某市进行了一次全市高中男生身高统计调查,数据显示全市30000名高中男生的身高(单位:)服从正态分布,且,那么该市身高高于的高中男生人数大约为__________.16.如图,两个同心圆的半径分别为和,为大圆的一条直径,过点作小圆的切线交大圆于另一点,切点为,点为劣弧上的任一点(不包括两点),则的最大值是__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数f(x)ax﹣lnx(a∈R).(1)若a=2时,求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=f(x)1,若函数g(x)在上有两个零点,求实数a的取值范围.18.(12分)已知,.(1)解;(2)若,证明:.19.(12分)设前项积为的数列,(为常数),且是等差数列.(I)求的值及数列的通项公式;(Ⅱ)设是数列的前项和,且,求的最小值.20.(12分)某百货商店今年春节期间举行促销活动,规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动,随着抽奖活动的有效开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计,表示第天参加抽奖活动的人数,得到统计表格如下:123456758810141517(1)经过进一步统计分析,发现与具有线性相关关系.请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;(2)该商店规定:若抽中“一等奖”,可领取600元购物券;抽中“二等奖”可领取300元购物券;抽中“谢谢惠顾”,则没有购物券.已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为,获得“二等奖”的概率为.现有张、王两位先生参与了本次活动,且他们是否中奖相互独立,求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望.参考公式:,,,.21.(12分)如图,在长方体中,,为的中点,为的中点,为线段上一点,且满足,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

先求出,再与集合N求交集.【详解】由已知,,又,所以.故选:A.本题考查集合的基本运算,涉及到补集、交集运算,是一道容易题.2.A【解析】

用偶函数的图象关于轴对称排除,用排除,用排除.故只能选.【详解】因为,所以函数为偶函数,图象关于轴对称,故可以排除;因为,故排除,因为由图象知,排除.故选:A本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.3.A【解析】

根据或,验证交集后求得的值.【详解】因为,所以或.当时,,不符合题意,当时,.故选A.本小题主要考查集合的交集概念及运算,属于基础题.4.A【解析】

根据复数的乘法运算化简,由复数的意义即可求得的值.【详解】复数,由复数乘法运算化简可得,所以由复数定义可知,解得,故选:A.本题考查了复数的乘法运算,复数的意义,属于基础题.5.A【解析】

设,则MF的中点坐标为,代入双曲线的方程可得的关系,再转化成关于的齐次方程,求出的值,即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为,右焦点为,M所在直线为,不妨设,∴MF的中点坐标为.代入方程可得,∴,∴,∴(负值舍去).故选:A.本题考查双曲线的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意构造的齐次方程.6.A【解析】

设点的坐标为,代入椭圆方程可得,然后分别求出点到两条渐近线的距离,由距离之积为,并结合,可得到的齐次方程,进而可求出离心率的值.【详解】设点的坐标为,有,得.双曲线的两条渐近线方程为和,则点到双曲线的两条渐近线的距离之积为,所以,则,即,故,即,所以.故选:A.本题考查双曲线的离心率,构造的齐次方程是解决本题的关键,属于中档题.7.C【解析】

根据函数的奇偶性及函数在时的符号,即可求解.【详解】由可知函数为奇函数.所以函数图象关于原点对称,排除选项A,B;当时,,,排除选项D,故选:C.本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性,属于中档题.8.C【解析】

直接求交集得到答案.【详解】集合,则.故选:.本题考查了交集运算,属于简单题.9.C【解析】

先确定集合中元素,可得非空子集个数.【详解】由题意,共3个元素,其子集个数为,非空子集有7个.故选:C.本题考查集合的概念,考查子集的概念,含有个元素的集合其子集个数为,非空子集有个.10.B【解析】

根据复数的乘法运算法则,直接计算,即可得出结果.【详解】.故选B本题主要考查复数的乘法,熟记运算法则即可,属于基础题型.11.C【解析】

根据平面向量数量积的坐标运算,化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算,代入化简可得.∴解得.故选:C.本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.12.C【解析】

取,计算知错误,根据不等式性质知正确,得到答案.【详解】,故,,故正确;取,计算知错误;故选:.本题考查了不等式性质,意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72,由此能求出其中三种颜色的球都有的概率.【详解】解:袋中有2个红球,3个白球和4个黄球,从中任取4个球,基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有,可能是2个红球,1个白球和1个黄球或1个红球,2个白球和1个黄球或1个红球,1个白球和2个黄球,所以包含的基本事件个数m72,∴其中三种颜色的球都有的概率是p.故答案为:.本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.①②④【解析】

由函数,对选项逐个验证即得答案.【详解】函数,是周期函数,最小正周期为,故①正确;当或时,有最大值或最小值,此时或,即或,即.的对称轴方程为,,故②正确;当时,,此时在上单调递减,在上单调递增,在区间上不是增函数,故③错误;作出函数的部分图象,如图所示方程在区间有6个根,故④正确.故答案为:①②④.本题考查三角恒等变换,考查三角函数的性质,属于中档题.15.3000【解析】

根据正态曲线的对称性求出,进而可求出身高高于的高中男生人数.【详解】解:全市30000名高中男生的身高(单位:)服从正态分布,且,则,该市身高高于的高中男生人数大约为.故答案为:.本题考查正态曲线的对称性的应用,是基础题.16.【解析】

以为坐标原点,所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,从而可得、,,,然后利用向量数量积的坐标运算可得,再根据辅助角公式以及三角函数的性质即可求解.【详解】以为坐标原点,所在的直线为轴,的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系,则、,由,且,所以,所以,即又平分,所以,则,设,则,,所以,所以,,所以的最大值是.故答案为:本题考查了向量数量积的坐标运算、利用向量解决几何问题,同时考查了辅助角公式以及三角函数的性质,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞)(2)(3,2e]【解析】

(1)当a=2时,求出,求解,即可得出结论;(2)函数在上有两个零点等价于a=2x在上有两解,构造函数,,利用导数,可分析求得实数a的取值范围.【详解】(1)当a=2时,定义域为,则,令,解得x1,或x1(舍去),所以当时,单调递减;当时,单调递增;故函数的单调递减区间为,单调递增区间为,(2)设,函数g(x)在上有两个零点等价于在上有两解令,,则,令,,显然,在区间上单调递增,又,所以当时,有,即,当时,有,即,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,时,取得极小值,也是最小值,即,由方程在上有两解及,可得实数a的取值范围是.本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想,考查逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.18.(1);(2)见解析.【解析】

(1)在不等式两边平方化简转化为二次不等式,解此二次不等式即可得出结果;(2)利用绝对值三角不等式可证得成立.【详解】(1),,由得,不等式两边平方得,即,解得或.因此,不等式的解集为;(2),,由绝对值三角不等式可得.因此,.本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式,考查推理能力与运算求解能力,属于中等题.19.(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)当时,由,得到,两边同除以,得到.再根据是等差数列.求解.(Ⅱ),根据前n项和的定义得到,令,研究其增减性即可.【详解】(Ⅰ)当时,,所以,即,所以.因为是等差数列.,所以,,令,,,所以,即;(Ⅱ),所以,,令,所以,,即,所以数列是递增数列,所以,即.本题主要考查等差数列的定义,前n项和以及数列的增减性,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.20.(1);(2)见解析【解析】试题分析:(I)由题意可得,,则,,关于的线性回归方程为.(II)由题意可知二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元,它们所对应的概率分别为:,,,.据此可得分布列,计算相应的数学期望为元.试题解析:(I)依题意:,,,,,,则关于的线性回归方程为.(II)二人所获购物券总金额的可能取值有、、、、元,它们所对应的概率分别为:,,,,.所以,总金额的分布列如下表:03006009001200总金额的数学期望为元.21.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)解法一:作的中点,连接,.利用三角形的中位线证得,利用梯形中位线证得,由此证得平面平面,进而证得平面.解法二:建立空间直角坐标系,通过证明直线的方向向量和平面的法向量垂直,证得平面.(2)利用平面和平面法向量,计算出二面角的余弦值.【详解】(1)法一:作的中点,连接,.又为的中点,∴为的中位线,∴,又为的中点,∴为梯形的中位线,∴,在平面中,,在平面中,,∴平面平面,又平面,∴平面.另解:(法二)∵在长方体中,,,两两互相垂直,建立空间直角坐标系如图所示,则,,,,,,,,,,,.(1)设平面的一个法向量为,则,令,则,.∴,又,∵,,又平面,平面.(2)设平面的一个法向量为,则,令,则,.∴.同理可算得平面的一个法向量为∴,又由图可知二面角的平面角为一个钝角,故二面角的余弦值为.本小题考查线面的位置关系,空间向量与线面角,二面角等基础知识,考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力,数形结合思想,化归与转化思想.22.(1)见解析(2)【解析】分析:(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值;也可以应用常规法,作出线面角,放在三角形当中来求解.详解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根据勾股定理得∠ADB=9

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