自动控制原理课后习题答案

2-1什么是系统的数学模型?在自动控制系统中常见的数学模型形式有哪些？

用来描述系统因果关系的数学表达式，称为系统的数学模型。

常见的数学模型形式有：微分方程、传递函数、状态方程、传递矩阵、结构框图和信号流图。

2-2简要说明用解析法编写自动控制系统动态微分方程的步骤。

2-3什么是小偏差线性化？这种方法能够解决哪类问题？

在非线性曲线(方程)中的某一个工作点附近，取工作点的一阶导数，作为直线的斜率，来

线性化非线性曲线的方法。

2-4什么是传递函数？定义传递函数的前提条件是什么？为什么要附加这个条件？传递函

数有哪些特点？

传递函数：在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

定义传递函数的前提条件：当初始条件为零。

为什么要附加这个条件：在零初始条件下，传递函数与微分方程一致。

传递函数有哪些特点：

1.传递函数是复变量S的有理真分式，具有复变函数的所有性质；加〈〃且所有系数均为

实数。

2.传递函数是一种有系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式，它只取决于系统或

元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。

3.传递函数与微分方程有相通性。

4.传递函数W(s)的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。

2-5列写出传递函数三种常用的表达形式。并说明什么是系统的阶数、零点、极点和放大倍

数。

E(率+i)

W(s)=V------------其中K=j

立(7>+1)%

>1

勺口―)b

W(s)=Ti-----------其中

ri")%

传递函数分母S的最高阶次即为系统的阶数，-Zj为系统的零点，-P/为系统的极点。K

为传递函数的放大倍数，为传递函数的根轨迹放大倍数。

2-6自动控制系统有哪几种典型环节？它们的传递函数是什么样的？

1.比例环节

2.惯性环节

3.积分环节

4.微分环节

5.振荡环节

6.时滞环节

2-7二阶系统是一个振荡环节，这种说法对么？为什么？

当阻尼比0<<<1时是一个振荡环节，否则不是一个振荡环节。

2-8什么是系统的动态结构图？它等效变换的原则是什么？系统的动态结构图有哪几种典

型的连接？将它们用图形的形式表示出来，并列写出典型连接的传递函数。

2-9什么是系统的开环传递函数？什么是系统的闭环传递函数？当给定量和扰动量同时作

用于系统时，如何计算系统的输出量？

答：系统的开环传递函数为前向通路传递函数与反馈通路传递函数之积。

系统的闭环传递函数为输出的拉氏变换与输入拉氏变换之比。

当给定量和扰动量同时作用于系统时，通过叠加原理计算系统的输出量。

2-10列写出梅逊增益公式的表达形式，并对公式中的符号进行简要说明。

2-11对于一个确定的自动控制系统，它的微分方程、传递函数和结构图的形式都将是唯一

的。这种说法对么吗？为什么？

答：不对。

2-12试比较微分方程、传递函数、结构图和信号流图的特点于适用范围。列出求系统传递

函数的几种方法。

2-13试求出图P2-1中各电路的传递函数W(s)=Uc(s)/Ur(s)。

解：(a)解法1：首先将上图转换为复阻抗图，

由欧姆定律得：

I(s)=(Ur-Uc)/(R+Ls)

由此得结构图：

Uc=I(s)(l/Cs)

由此得结构图：

整个系统结构图如下：

根据系统结构图可以求得传递函数为：

WB(s)=Uc/Ur=[[l/(R+Ls)](l/Cs)]/[1+[1/(R+Ls)](l/Cs)]

22

=1/[LCS+RCS+1]=1/[TLTCS+TCS+1]

其中：TL=L/R;TC=RC

解法2：由复阻抗图得到：

所以：=_J--------

U,(s)Les2+RCs+1

解：(b)解法1：首先将上图转换为复阻抗图，

根据电路分流公式如下：

/(S)=步¥其中：Z=(l/Cs)〃44=用+』=±低©+1)代入2

Z+/?2CsCS

1'(RCs+1)i

CsCs।」H|Cs+l

1,1「ICsR、Cs+2

所以:

解法2：首先将上图转换为复阻抗图(如解法1图)

画出其结构图如下：

化简上面的结构图如下：

应用梅逊增益公式：

其中：\=\-La-Lh

飙一日低"+2)、4=一急

所以△=1+&(H©+2)+—=RCs+R2cs(6-+2)+1

R、R}CsR、Cs

4=等(尺©+2)、A1=1

所以：

解：(c)解法与(b)相同，只是参数不同。

2-14试求出图P2-2中各有源网络的传递函数W(s)=Uc(s)/Ur(s)«

寨=凌其中：4=鸟+上=上丽，+1)=自(率+1)

RiG

R2

-t—H1-

TC2

Uc

UrRoZ

■O

(C)

Rg_Ro

其中:、

T]=R£TQ—/?0co

RQCQS+1TQS+1

所以：黑=一盒如+也2）

将滑动电阻分为此和尺3,

I"誓,Uc（s）&

其中

K|=——zr

0zR.+R.+

J1

CPv

7?,—

R]_/?2（/?0]5+1）+R]

Z=R,+—i\->।—

c12与Gs+1居Gs+l

z（1、

&+凡+厂

所以：5J一嗯

u«）R。

解：（c）解法与（b）相同。

2-15求图P2-3所示各机械运动系统的传递函数。

⑴求图(a)的翌?=?(2)求图(b)的与兽=?

Ar(5)X/(s)

(3)求图(c)的乂2。)=?(4)求图(c)的

2-16如图P2-4所示为一个带阻尼的质量弹簧系统，求其数学模型。

2-17图P2Y所示为一齿轮传动系统。设此机构无间隙、无变形。

(1)列出以力矩Mr为输入量，转角为输出量的运动方程式，并求其传递函数。

(2)列出以力矩M,.为输入量，转角为输出量的运动方程式，并求出其传递函数。

2-18图P2-6所示为一磁场控制的直流电动机。设工作时电枢电流不变，控制电压加在励磁

绕组上，输出为电机位移，求传递函数w(s)=02。

U

2-19图P2-7所示为一用作放大器的直流发电机，原电机以恒定转速运行。试确定传递函数

"9=w(s),假设不计发电机的电枢电感和电阻。

Ug

2-20图P2-8所示为串联液位系统，求其数学模型。

2-21一台生产过程设备是由液容为Ci和C2的两个液箱组成，如图P2-9所示。图中。为稳

态液体流量(祖3/s),qi为液箱1输入流量对稳态值得微小变化(旭3/$),q2为液箱1到液箱2

流量对稳态值得微小变化("//s),q3为液箱2输出流量对稳态值得微小变化(加3/s),支

为液箱1的稳态液面高度(m),%为液箱1液面高度对其稳态值的微小变化(m),瓦为液

箱2的稳态液面高度(m),hz为液箱2液面高度对其稳态值的微小变化(m),R为液箱1输

3

出管的液阻(机/(机3/s)),R2为液箱2输出管的液阻(m/(mA))。

(1)试确定以为输入量、为输出量时该液面系统的传递函数；

⑵试确定以为输入，以为输出时该液面系统的传递函数。(提示：流量(Q尸液高(H)/液阻(R),

液箱的液容等于液箱的截面面积，液阻(R尸液面差变化(h)/流量变化(q)。)

2-22图P2-10所示为一个电加热器的示意图。该加热器的输入量为加热电压5,输出量为加

热器内的温度To,qi为加到加热器的热量，qo为加热器向外散发的热量，笛为加热器周围的

温度。设加热器的热阻和热容已知，试求加热器的传递函数G(s)=〃(s)/q(s)。

2-23热交换器如图P2-11所示，利用夹套中的蒸汽加热罐中的热体。设夹套中的蒸汽的温

度为Ti；输入到罐中热体的流量为Qi，温度为TI；由罐内输出的热体的流量为Q2,温度为

T2；罐内液体的体积为V,温度为To(由于有搅拌作用，可以认为罐内液体的温度是均匀的),

并且假设T2=TO,Q2=QI=Q(Q为液体的流量)。求当以夹套蒸汽温度的变化为输入量、以流

出液体的温度变化为输出量时系统的传递函数(设流入液体的温度保持不变)。

2-24已知一系列由如下方程组成，试绘制系统方框图，并求出闭环传递函数。

解：由以上四个方程式，可以得到以下四个子结构图

1.

Xi(s)=Xr(s)Wi(s)-Wi(s)[W7(s)-W8(s)]Xc(s)

2.

X2(s)=W2(s)[X1(S)-W6(s)X3(s)]

3.

X3(s)=[X2(s)-Xc(s)W5(s)]W3(s)

4.

Xc(s)=W4(s)X3(s)

将以上四个子框图按相同的信号线依次相连，可以得到整个系统的框图如下：

利用梅逊公式可以求出闭环传递函数为：

Ln=—W](s)W2(s)W3(s)W4(s)fW7(s)-W8(s)]

L|2=—W3(s)W4(s)W5(s)

L13=-W2(S)W3(S)W6(S)

L2=0

T产WI(S)W2(S)W3(s)W4(s)

△1=1

△=1+Wt(s)W2(s)W3(s)W4(s)[W7(s)-W8(s)]+W3(s)W4(s)W5(s)+W2(s)W3(s)W6(s)

2-25试分别化简图P2-12和图P2-13所示结构图，并求出相应的传递函数。

图P2-13

解：化简图P2-12如下:

继续化简如下：

所以：

解：化简图P2-12如下:

图P2-13

进一步化简如下：

所以：

2-26求如图P2-14所示系统的传递函数叱(S)=玉92,

X,(s)X/G)

解：

1.求Wi(s)=Xc(s)/Xr(s)的等效电路如下(主要利用线性电路叠加原理，令Xd=O)

上图可以化简为下图

由此得到传递函数为：

W।(s)=Xc(s)/Xr(s)=[W|W2]/[1-W2H2+W।W2H3]

2.应用梅逊增益公式：

其中：\=\-La-Lh,La=-W^2H.,Lh=W2H2

Z=%，A|T，4=_叱皿2〃1,42=1

所以：

2-27求如图P2-15所示系统的传递函数。

图P2-15

应用梅逊增益公式：

其中：△=1一£"一£/,一4一4/一4

4=—wa4=一卬2”2>4=—卬2%”3>(=一叱明%叫”4

Ld=-W2W3W4W5//4

Tt=叱卬2%%，4=1,T2=W2W3W4W5，4=1+W|H|

所以：

2-28求如图P2-16所示系统的闭环传递函数。

解：

将上述电路用复阻抗表示后，利用运算放大器反向放大电路的基本知识，即可求解如下:

由上图可以求出：

Ui(s)=-[Zi/R0](Ur(s)+Uc(s))

U2(S)=-UI(S)/[R2C2S]

UC(S)=-[R4/R3]U2(S)

根据以上三式可以得出系统结构图如下：

其中：Z1=Ri//(l/Cis)=Ri/|Tis+l]Ti=R,Ci

令：R2C2-T2RI/RO=KI()R4/RJ=K43

得到传递函数为：

WB(s)=Ur/Uc=-[KIOK43]/[T2S(TIS+1)+K10K43]

2-29图P2-17所示为一位置随动系统，如果电机电枢电感很小可忽略不计，并且不计系统

的负载和黏性摩擦，设〃,=曲,，〃/=网也，其中仍、外分别为位置给定电位计及反馈电

位计的转角，减速器的各齿轮的齿数以Ni表示之。试绘制系统的结构图并求系统的传递函

数。

2-30画出图P2-18所示结构图的信号流图，用梅逊增益公式来求传递函数W,(s)=3支效，

X,(s)

图P2-18

解：应用梅逊增益公式：

其中：\^\-La-Lh-Lc,(=一叱必明/心，Lh=-W2W3H2H3,Le=-W3H3,

^=l+WtW2W3H2H3+W2W3H2H3+W,H3,(=叱吗吗，A,=1,T2=W4,

A2=1+WlW2W-iH2Hi++W3H.

所以：

其中：\=\-La-Lh-Lc,L(l=-WtW2W3H2H3,Lb=-W2W3H2H.,LC=-W3H3,

A=1W,WW,/7/7+,7；=%,A,=1

+223W2W?IH2H3+

所以：

X(c)

2-31画出图P2-19所示系统的信号流图，并分别求出两个系统的传递函数一^,

X“(s)

X,2(s)

Xr2(s)°

3-1控制系统的时域如何定义？

3-2系统的动态过程与系统的极点有什么对应关系？

3-3系统的时间常数对其动态过程有何影响？

3-4提高系统的阻尼比对系统有什么影响？

3-5什么是主导极点？主导极点在系统分析中起什么作用？

3-6系统的稳定的条件是什么？

3-7系统的稳定性与什么有关？

3-8系统的稳态误差与哪些因素有关？

3-9如何减小系统的稳态误差？

3-10一单位反馈控制系统的开环传递函数为W«(s)=」一

s(s+l)

试求：(1)系统的单位阶跃响应及性能指标b%,%如和〃；

(2)输入量Xr(t)=t时，系统的输出响应；

(3)输入量Xr(t)为单位脉冲函数时，系统的输出响应。

1

解:(1)叱(S)a

s(s+1)s(s+2彳e)

比较系数：得到成=1Q=l,2物“=1,4=0.5

—兀i0其中：/?=arccos^=arccos0.5=1.0472(rat/)

n—B3.14-1.0472

所以=2.42(5)

541-宇Vl-0.52

2万_247.255(.v)所以〃=y^=0.827

//=—其中：t

f0.866

解(2)输入量Xr(t)=t时,X,(S)=l，这时;

1

X,.(s)，应用部分分式法

2s2+2弧s+a

通过比较系数得到：A=l,B=-A=-1,C=1,D=()

-----S------=—1——1+

2+2切〃s+成s2s52+5+1

(A

2-o.5tsin^^/+60°

所以:xc(t)=t-l+

解(3)当茗⑺=3⑺时,X,(s)=l,这时,XC(S)=K~-

s+s+

所以天⑺=g05“sin(旦+60°

I2J

3-11一单位反馈控制系统的开环传递函数为M(s)=」一，其单位阶跃响

5(CT+1)

应曲线如图所示，图中的Xm=1.25tm=1.5s。试确定系统参数kk及7值。

解：因为MG)=&Ta

S(TS+1)S+.s(s+2g)

比较系数得到："=区，2g,=’

由图得到：b%=25%=eQ得到J=0.4

3.14159263.43

=1.5,所以q=2.287

①““Y3H1-042叫

3-12一单位反馈控制系统的开环传递函数为叱(s)=—%——。己知系统的

5(s+2g“)

xr(t)=1(t)，误差时间函数为e⑺=1.46-皿一0.46-3.73,，求系统的阻尼比

自、自然振荡角频率心，系统的开环传递函数和闭环传递函数、系统的稳态

误差。

解：单位反馈控制系统的结构图如下：

丛良'3214s2+2…S]

由此得到误差传递函数为：

因为输入为单位阶跃输入，所以

对e(f)=L4eT°7,_0.4ef73r取拉变得到

比较两个误差传函的系数可以得到：

系统的开环传递函数为

WK(s)=-

系统的闭环传递函数为

系统的稳态误差为：

cI/IQ

1.£(QC)=limsE(s)=lims,—二0

7ST。s~+4.8s+4

2.e(oc)=lime(r)=lim[1.4eT07/_().4ef73，]=Q

3-13已知单位反馈控制系统的开环传递函数为M(s)=一试选择

s(s+2a,,)

演及t值以满足下列指标:

(1)当Xr(t)=t时，系统的稳态误差/(8)W0.02;

(2)当Xr(t)=1(t)时，系统的0%W30%,ts(5%)W0.3s。

解：

1.=f时，由于该系统为1型系统，所以：

e(oc)=—<0.02得出KK250

KK

2.因为要求当x,(f)=l⑺时,系统的5%430%,『5%)40.3s。

一勿一夕

所以，S0/0=e^<0.3取5%=6后=0.3

3

由4(5%)a-WO.3s得出物.210

皿

因为，阻尼比越大，超调量越小。取自=0.4

,.KKIT就

由WJsZ)=---&K—=——WK-----=-----*----

S(Z5+1)5(5+1/T)S(S+2gq)

所以：”2^a)n=-

TT

所以,220r<0.05取7=0.05

T

K

因为KKN50，取KK=50得到=1000/“=31.6

r

3

当J=0.4,6y“=31.6时满足物“210即满足f,(5%)40.3s

所以，最后取KK=50,7=0.05

2

3-14已知单位反馈控制系统的闭环传递函数为叱(s)==—%-----，试画出

s+2&(0/+co~

以以为常数、&为变数时，系统特征方程式的根在S平面上的分布轨迹。

3-15一系统的动态结构图如图P3-2,求在不同的KK值下(例如，KK={,KK=3,

KJ)系统的闭环极点、单位阶跃响应、动态性能指标及稳态误差。

解：该系统的特征方程为：

SP52+7.55+12.5+12.5^=0

当KK=1时，系统的特征方程为:

52+7.55+25=0,此时，系统的闭环极点为*2=-3.75±/3.3

系统开环传递函数为：唯(S)=F~———

系统闭环传递函数为：唯(s)=,I2"—

B$2+7.5s+25

3-16一闭环反馈控制系统的动态结构如图P3-3,

(1)试求当o%W20%,ts(5%)=1.8s时，系统的参数占及t值。

(2)求上述系统的位置稳态误差系数与、速度稳态误差系数Kv、加速

度稳态误差系数Ka及其相应的稳态误差。

图P3-3题3-16的系统结构图

解：(1)将图P3-3的内部闭环反馈等效一个环节，如下图

K,/[s2+KiTs]--------r-^>

i卜

由上图得到=M2物“=KR

根据系统性能指标的要求：3%<20%,r,(5%)=1.8s可以得出

当S%=20%时，取3%=e尺?二。？

3310

当4(5%)=1.8$时，4(5%)。一^-=1.8$=—=—

&9“1.86

由沅=&得到K,==3.67?=13.5

,_„„_.2&y„2x0.454x3.67__

由2物“=K/z得到7==--------3----=0.247

,1K,3.672

(2)由(1)得到系统的开环传递函数为:

所以:

K

!

kn=limWK(s)=lim--------=oc对应的xr(t)-1(/)时e(oc)=---=0

P2。K7>S(S+KR)1+kp

K1

k.=limsWK(s)=lim----!—=-对应的％«)=，时e(oc)=—=r

'KZO(S+K[)Tk、,

2对应的Xr(f)=Lf时e(oc)---CC

kn=lim,vWK(S)=1™—————=0

"ioK…(S+KR)2

3-17一系统的动态结构图如图，

试求(1)T1=0,T2=0.1时，系统的。%,ts(5%)；

(2)T1=0.1,12=0时，系统的。％,ts(5%)；

(3)比较上述两种校正情况下的动态性能指标及稳态性能。

解：

(1)T|=0,T2=0.1时系统框图如下：

图P3-4题3-17的系统结构图

进一步化简结构图如下:

图P3-4题3-17的系统结构图

2

与二阶系统标准传递函数比较％(s)=——％——得到

5(5+2初,)

=1(),a)=V10=3.16,2她=2,"」=0.316

nV10

一讥

==0.3512=35.12%,4(5%)“二-=3s

她

(2)解(2)Ti=0.1,T2=0时系统框图如下:

图P3-4题3-17的系统结构图

解上述系统输出表达式为：

3-18如图P3-5中，Wg(s)为被控对象的传递函数，Wc(s)为调节器的传递

函数。如果被控对象为W/s)=----&-------,TI>T2,系统要求的指标

°(聿+1)(7>+1)

为：位置稳态误差为零，调节时间最短，超调量o%W4.3%,问下述三种

调节器中哪一种能满足上述指标？其参数应具备什么条件？

(a)W,(s)=K；(b)Wc(s)=K;(c)W,(s)=K尸即'+!.

ST25+l

4-1

解：三种调节器中，(b)调节器能够满足要求，即叱,(s)=K〃竺」。

s

Kt,K(Ts+l)

校正后的传递函数为W(s)=W/s)叱(s)=必;

这时满足位置稳态误差为零。如果还要满足调节时间最短，超调量。％W4.3%,

则应该使r=7；,此时传递函数为W(s)=%(s)W,(s)=，勺,

S(T2S+1)

应该使_L=2K.K/,,此时为二阶最佳系统，超调量。％=4.3%,调节时间为

4（5%）=4.14心

3-19有闭环系统的特征方程式如下，试用劳斯判断系统的稳定性，并说明特

征根在复平面上的分布。

(1)53+2052+45+50=0

(2)53+2052+45+100=0

(3)54+253+65-2+85+8=0

(4)2?+/-1553+2552+25-7=0

(5)56+3s$+9s*+18/+22/+⑵+12=0

解：(1)列劳斯表如下：

由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。

(2)列劳斯表如下：

由此得到系统不稳定，在s平面的右半部有两个根。

(3)列劳斯表如下：

由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。

(4)列劳斯表如下：

由此得到系统不稳定，在s平面的右半部有三个根。

(5)列劳斯表如下：

由此得到系统稳定，在s平面的右半部没有根。

3-20单位反馈系统的开环传递函数为％(S)=―鼻。5丁1)—求使

系统稳定的KK值范围。

解：系统特征方程为：

即：05/+1.5?+2s2+5+KKO.5s+KK=0

将最高项系数化为1得到

列劳斯表如下：

系统稳定的条件为劳斯表的第一列大于零，即

1(10-^)>0得出KK<10

\K\+10^-20]>0得出KK>—5+屈

K

所以，系统稳定的取值范围为

3-21已知系统的结构图如图P3-6所示，试用劳斯判据确定使系统稳定的

Kf值范围。

解：该系统的特征方程为

列劳斯表如下：

根据劳斯判据，系统稳定，劳斯表第一列必须大于零。

所以得到系统稳定条件为K,>0

3-22如果采用图P3-7所示系统，问T取何值时，系统方能稳定？

解：该系统的特征方程为

列劳斯表如下：

根据劳斯判据，系统稳定，劳斯表第一列必须大于零。

所以得到系统稳定条件为7>1

3-23设单位反馈系统的开环传递函数为W«(s)=-------------------，

八5(1+0.335)(1+0.1075)

要求闭环特征根的实部均小于-1,求K值应取的范围。

解：该系统的特征方程为

即0.0353?+0.437A-2+S+K=0

将上述方程的最高次项系数化为1

得到$3+12.34s2+28.33.V+28.33K=0

☆s=z-1代入特征方程中，得到

列劳斯表如下：

由劳斯判据，系统稳定，劳斯表的第一列系数必须大于零。

7R1

所以78.1-28.33K>0,^<-^-=2.757

28.33

28.33K-15.99>0,K>1^59^9=0.564

28.33

即0.564<K<2.757时，闭环特征根的实部均小于-1。

3-24设有一单位反馈系统，如果其开环传递函数为

(1)跌。)=-------------；(2)UG)=+—。试求

s(s+4)(5s+l)5"(5+4)(55+1)

输入量为Xr(t)=t和Xr(t)=2+4t+5r时系统的稳态误差。

解：⑴系统特征方程为：5/+21/+4S+10=0

列劳斯表如下：

由劳斯判据可知，该系统稳定。

当x4)=t时，稳态误差为：=—=—=0.4

“Kv2.5

Xr(t)=2+4t+5/2时，稳态误差为：ess=-^―+-^―+—=0+1.6+oo=oo

解:(2)系统特征方程为：5/+21?+4?+105+1=0

列劳斯表如下：

由劳斯判据可知，该系统不稳定。

当Xr(t)=t时，稳态误差为：ess=—=—=OA

Kv2.5

Xr(t)=2+4t+5/2时，稳态误差为：纥.=+妁*=0+1.6+8=8

KpKpK”

此时求出的稳态误差没有意义，因为系统不稳定。

3-25有一单位反馈系统，系统的开环传递函数为吗0)=—工。求当输

s

入量为％⑺=g产和%⑺=sin初时，控制系统的稳态误差。

解：

当当«)=；〃时,=00

当当⑺=sin碗时，X.(s)=----

fs+57

E(s)_1_1_5

此时,

+叱(S)\+”=S+KK

S

这时，E(s)=V^X,.(s)

$+&

比较系数：A+B=0

解方程得到：

4_(oD_a>_coar

1+解，疗+K：，疗+K；无'

murv、①10)slco2a>

贝HE(S)=--$----5--------15---0-5----7------9---5-5---7

a>-+s+KKa>-+K1s~+co~KKa)~+Kj,s-+a>~

显然小(oo)w0。由于正弦函数的拉氏变换在虚轴上不解析，所以此时不能应用终值

定理法来计算系统在正弦函数作用下的稳态误差。

3-26有一单位反馈系统，其开环传递函数为吗($)=卫也，求系统的

s(5s-l)

动态误差系数，-并求当输入量%⑺=l+t+l/2V时，稳态误差的时

间函数e(t)o

解._E(s)._____1_________1____=-+5s2

'X,(s)1+叱(s),35+1010+2s+5s2

s(5s-1)

利用综合除法得到：

%=8动态位置误差系数

4=-10动态速度误差系数

刈=1.9231动态加速度误差系数

3-27一系统的结构图如图，并设叱($)=%(1+叫w,(s)=—£.

ss(l+T2S)

当扰动量分别以&L(s)='、e作用于系统时，求系统的扰动稳态误差。

sS

△N(s)

解：扰动误差的传递函数为：

所以：△%($)=■!■时

S

AN(s)=」时

S

3-28一复合控制系统的结构图如图P3-9所示，其中KI=2K3=1,

T2=0.25S,K2=2.试求：(1)输入量分别为Xr(t)=l,Xr(t)=t,Xr(t)=l/2t2时

系统的稳态误差；

(2)系统的单位阶跃响应，及其er%4。

图P3-9题3-28的系统结构图

K.2K2K3s

X,(s)=s(7；s+l)S(7；S+1)=K,K/+KK

~X^)~i+_K1K2_]|KRF+S+K,K,

s(T2s+1)s(T2s+1)

当KI=2K3=LT2=0.25S,K2=2时

当Xr(t)=l时，X,.(.v)=-

s

此时4s=UnE(s)=lin———------=0

STOJ->0S+45+8

当Xr(t)=t，=-j

此时e=linE(s)=lin-3——----0.125

2。STO$2+4S+88

当Xr⑴=l/2t2时，Xr(5)=-L

s

此时e”=linE(s)=lin~J-----1=oo

sf。+4s+8)

3-29一复合控制系统如图P3-10所示，图中

.10

叱.")=&-+加w(s)=----------------。如果系统由/型提高为〃型系统，求a

'八5(14-0.15)(1+0.2,?)

值及b值。

解.区@_JL+也

-X,(s)1+也1+也

将叱.G)=公2+加,w⑶=----------------代入误差传递函数中，

85(1+0.15)(1+0.25)

如果系统由/型提高为〃型系统，则当X,(s)=q时，(其中K为常数)

S

由此得到10。=0.3,。=0.03,10/?=1,8=0.1

4-1根轨迹法使用于哪类系统的分析？

4-2为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹？

4-3绘制根轨迹的依据是什么？

4-4为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件？

4-5系统开零环、极点对根轨迹形状有什么影响？

4-6求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。

K,(s+3)

⑴唯")=

(s+1)(5+2)

K.(s+5)

⑵吗(s)=

s(s+3)(s+2)

（3）W（s）=----------------

kk（5+l）（5+5）（5+10）

解：第(1)小题

K0(s+3)

由系统的开环传递函数跌(s)=(s+：)(s+.得知

1.起点：Kg=0时，起始于开环极点，即一P1=-1、一%=-2

2.终点：Kx=oc时，终止于开环零点，-Z1=—3

3.根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远。

4.实轴上的根轨迹区间为一oc3和一21

5.分离点与会合点，利用公式

即：42+64+7=0

解上列方程得到：=-1.586,d2=-4.414

根据以上结果画出根轨迹如下图：

解：第(2)小题

由系统的开环传递函数WKG)=得知

1.起点：Kg=0时，起始于开环极点，即—〃0=0、~P\——2、~P2——3

2.终点：Kg=oc时，终止于开环零点，一马=—5

3.根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远。

4.实轴上的根轨迹区间为一53和一2~0

5.分离点与会合点，利用公式

6.根轨迹的渐进线

渐进线倾角为：夕=’侬"+2〃)='180。(1+2〃)=干9Go

n-m3-1

助率3+2.5

渐进线的父点为：-=-------------=---------=0

n-m3-1

根据以上结果画出根轨迹如下图：

解：第(3)小题

由系统的开环传递函数WKG)=----/,得知

(5+1)(5+5)(5+10)

1.起点：Kg=0时，起始于开环极点，即一〃0=一1、一8=-5、-p2=-10

2.终点：Kg=oc时，终止于开环零点，-Z1=-3

3.根轨迹的条数，三条，一条终止于开环零点，另两条趋于无穷远.

4.实轴上的根轨迹区间为一10~—5和-3~-1

5.分离点与会合点，利用公式

6.根轨迹的渐进线

渐进线倾角为：夕/8。。(1+24)/8。。(1+2叽利。

n-m3-1

；=i1=11+5+10-3(「

渐进线的交点为:-------------------=—0.5

3-1

根据以上结果画出根轨迹如下图：

4-7已知负反馈控制系统开环零、极点分布如图P4-1所示，试写出相应的开环传递函数并

绘制概略根轨迹图。

j

X

----------

X

O

-00^------------x------------------►——►

O

图P4-1题4-7的系统开环零、极点分布

4-8求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。

K.G+2)

(2)%s)=&

s(s+2)(s~+2s+2)

K(s+2)

(3)W(s)=----------------

k5(5+3)(52+2s+2)

Kg(s+1)

5(5-1)(52+45+16)

/((Ms+l)

(5)W*(s)

S(S+1)(0.25S+1)2

解：第（1）小题

由系统的开环传递函数WK"）=占"^得知

s~+2s+3

1.起点：K«=0时，起始于开环极点，即-/?,=-1+jl-414s-p2=-1-jl.414

2.终点：Kg=oc时，终止于开环零点，-Z1=-2

3.根轨迹的条数，两条，一条终止于开环零点，另一条趋于无穷远.

4.实轴上的根轨迹区间为一oc~—2

5.分离点与会合点，利用公式

,t2d~+6d+4—d~—2d—3d~+4d+1„

|f0一（屋+2d+3）（d+2）—-（d2+2d+3\d+2）

解上述一元二次方程得：

6.根轨迹的出射角和入射角

根据以上结果画出根轨迹如下图：

解：第（2）小题

由系统的开环传递函数以。）=---------/--------得知

s(s+2)(s+2s+2)

1.起点：Kg=0时，起始于开环极点，即

一外=0-P\=-2-/?2=-1+./>-p3=-1-j

2.终点：K,=oc时，终止于开环零点，该系统零点在无穷远处。

3.根轨迹的条数，四条，四条均趋于无穷远。

4.实轴上的根轨迹区间为一2〜0

5.分离点与会合点，利用公式

化简上式：

解上式：

6.根轨迹的渐进线

+180°(1+2//)午180°(1+2〃)

渐进线倾角为:<P=-------------------=±45°,±135°

n-m4-0

r1+1+23

渐进线的交点为：-b*=—---------=-------=--=-0.75

n-m4-04

7.根轨迹的出射角和入射角

根据以上结果画出根轨迹如下图：

解：第（3）小题

勺($+2)

由系统的开环传递函数M（s）=得知

s(s+3)(5'+2s+2)

1.起点：K.=0时，起始于开环极点，即

~Po=0-Pi=-3-p2=-\+j.-p3=-I-j

2.终点：K《=oc时，终止于开环零点，-Z