人教A版（2019）选择性必修第三册 7.3离散型随机变量的数字特征同步练习（附答案）

7.3离散型随机变量的数字特征夯实基夯实基础黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。一、选择题（共10小题）1．已知某一离散型随机变量x的分布列如下，且E(X)=6.3，则a的值为（）XA．5 B．6 C．7 D．82．若随机变量X的分布列为X则X的数学期望E(X)是(  )A．1/4 B．1/2 C．1 D．3/23．设一随机试验的结果只有A和A，P(A)=p，令随机变量X=1，A出现，0，A不出现，则A．p B．2p(1−p) C．−p(1−p) D．p(1−p)4．已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为（）A．95 B．185 C．655．设0<p<1，随机变量ξ的分布列是ξ012P1−p1p则当p在（0，1）内增大时，（）A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小6．随机变量X的分布列如表，若E(X)=76，则XA．712 B．1736 C．767．随机变量ξ的分布列为：ξ012Pabb其中ab≠0，下列说法不正确的是（）A．a+b=1 B．E(ξ)=C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值8．已知p>0，q>0，随机变量ξ的分布列如下：ξpqPqpA．49 B．12 C．59．甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为0.5，0.8，两人考试时相互独立互不影响，记X表示两人中通过雅思考试的人数，则X的方差为(  )A．0.41 B．0.42 C．0.45 D．0.4610．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X（单位：分）的均值为(  )A．0.9 B．0.8 C．1.2 D．1.1巩固积巩固积厚宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。二、填空题（共5小题）11．某射击手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y12．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的件数，则P(X<2)=，随机变量X的数学期望E(X)=．13．一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同.现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望E(X)=．14．某批产品共10件，其中含有2件次品，若从该批产品中任意抽取3件，则取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为；取出的3件产品中次品的件数x的期望是.15．某公司有500万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获收益12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是去年200例类似项目开发的实施结果．投资成功试估计该公司一年后可获收益为万元．优尖拔优尖拔高书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。三、解答题（共5小题）16．请回答下列问题：（1）如果随机变量的概率分布律由下表给出：x求ξ的数学期望与方差．设η=cosξ，其中ξ的概率分布律同第1题，求Eη，D17．高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程，某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100名学生作为样本进行情况调研，得到下表：组别（1）从样本中随机选1名学生，求该学生选择了化学的概率；（2）从第8组、第9组、第10组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为X，求X的分布列和期望；（3）如果这个地区一名高一学生选择了地理，则在其它五科中，他同时选择哪一科的可能性最大?并说明理由．18．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．19．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理如表所示．日需求量n以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差．（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由．20．2013年2月，中国跳水队在2013年度国际跳水大奖赛马德里站的比赛中取得优异的成绩，为积极准备下一站的比赛，在著名的海滨城市青岛举行了一场选拔赛，其中甲、乙运动员为争夺最后一个参赛名额进行了七轮激烈的争夺，甲、乙两名选手七轮比赛的得分如图所示，现从两名运动员每轮不低于80，不高于90的得分中任选．（1）若任选三个，求甲的三个得分与其每轮平均得分的差的绝对值都不超过2的概率；（2）求甲、乙两名运动员得分之差的绝对值ξ的分布列及其期望．

答案与解析答案与解析1．答案:C解析：解：由题意得4×0.5+0.1×a+9×b=6.30.5+0.1+b=1⇒a=7b=0.4，2．答案:C解析：解：E(X)=0×14+1×分析：由分布列，代入期望公式计算即可.3．答案:D解析：解：随机变量X的分布列为X01P1-PP所以随机变量X服从参数为P的两点分布，

所以D(X)=P(1-P)．

故选：D分析：随机变量X服从两点分布，根据两点分布的方差公式得结果.4．答案:A解析：解：由题意可知，每次摸球中中奖的概率P=1−C32+C22C5分析：计算出每次摸球中中奖的概率，可知ξ~B3，5．答案:D解析：详解：∵E(ξ)=0×1−p∴D(ξ)=1−p∵12∈(0，1)，故答案为：D.分析：求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．解题的关键是掌握离散型随机变量的数学期望与方差.6．答案:B解析：解：由题意得0×16+a+2b=7616分析：先根据分布列的性质列出方程组，求得a，b，再代入方差公式求解即可.7．答案:C解析：根据分布列的性质得a+b2+b2根据期望公式得E(ξ)=0×a+1×b2+2×根据方差公式得D(ξ)=(0−3b2)2因为0<b<1，所以b=59时，D(ξ)取得最大值2536，故C故答案为：C分析：根据分布列的性质得A符合题意；根据期望公式和方差公式计算期望和方差，根据结果分析可得答案.8．答案:C解析：解：由题意得p+q=1pq+pq=49，

则p分析：由分布列的性质求解即可.9．答案:A解析：通过雅思考试人数的分布列为：X即E(X)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，所以D（X）=(0−1.3)2×0.1+(1−1.3)故答案为：A．分析：根据题意得到通过雅思考试的人数X的可能取值和相应的概率，得出分布列，结合期望和方差的公式，即可求解.10．答案:A解析：由题意得X=0，1，2，则P(X=0)=0.6×0.5=0.3，P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5，P(X=2)=0.4×0.5=0.2，所以E(X)=1×0.5+2×0.2=0.9．故答案为：A分析：由题意得到随机变量X的取值为0，1，2，结合独立事件的概率公式，即可求解.11．答案:0.4解析：解：由题意得7x+0.8+2.7+10y=8.9x+0.1+0.3+y=1⇒x=0.2分析：由分布列的性质列出方程组，求解得x，y即可.12．答案:1415；解析：易知X服从超几何分布，所以P(X<2)=CE(X)=0×C分析：根据题意，得到随机变量X服从超几何分布，结合超几何分布的概率公式和期望公式，即可求解.13．答案:310；解析：解：一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同．现从中任意取出3个小球，基本事件总数n=C其中恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数m=C∴其中恰有2个小球颜色相同的概率是p=m若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C∴数学期望E(X)=0×1故答案为：310，6分析：求出基本事件总数及恰有2个小球颜色相同包含的基本事件个数，可得所求概率；再求变量X的概率分布，可得X的数学期望.14．答案:715；解析：（1）从10件产品中，抽取3件，有C10若取出的3件中恰有1件是次品，有C8故满足题意的概率P=56（2）根据题意，x=0，P(x=0)=C83120=故E(x)=7故答案为：715；3

分析：（1）先计算所有抽取产品的可能，再计算3件产品中且有一件次品的可能，用古典概型的概率计算公式即可求得；

（2）先求得x的分布列，再求其期望即可.15．答案:47.6解析：应先求出投资成功与失贩的概率，再计算其收益．设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为500×12%，如果失败，x的取值为−500×50%．由题表可得，一年后该公司投资成功的概率约为192200，失败的概率约为8所以估计该公司一年后可获收益为500×12%×192分析：设可获收益为x万元，如果成功和失败时x的取值，结合题表中的数据的相依的概率，利用期望的公式，即可求解.16．答案:（1）解：数学期望为π2，方差为（2）解：数学期望为0，方差为1解析：（1）根据离散型随机变量的分布列的期望和方差的公式，即可求解；

（2）根据η=cosξ，结合分布列的期望和方差的公式，即可求解.17．答案:（1）解：设A=“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，则P(A)=17+12+10+7+4所以，从样本中随机选1人，该学生选择了化学的概率为12（2）解：第8，9，10组共有11人，其中选择政治的有6人，所以X的所有可能取值为0，1，2，P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C所以X的分布列为X故X的期望E(X)=0×2（3）解：选择地理的总人数为：20+14+12+10+9+7+5+2=79，所以P("同时选择生物")=14+12+9+2P("同时选择化学")=12+10+7P("同时选择政治")=20+2P("同时选择物理")=10+9+5P("同时选择历史")=20+14+7+5因为4679所以一个学生选择了地理，同时选择历史的可能性最大解析：（1）设A=“从样本中随机选1人，该学生选择了化学”，结合题设中的熟记，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；

（2）第8，9，10组共有11人中选择政治的有6人，得出X的所有可能取值为0，1，2，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解；

（3）求得选择地理的总人数为79人分别求得同时选生物、化学、政治、物理和历史的概率，进而得到结论.18．答案:（1）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=(1−12P(X=1)=12×(1−P(X=2)=(1−12)×P(X=3)=1所以，随机变量X的分布列为X随机变量X的数学期望为：E(X)=0×1（2）解：设y表示第一辆车遇到红灯的个数，z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0，Z=1)+P(Y=1，Z=0)=P(Y=0)⋅P(Z=1)+P(Y=1)⋅P(Z=0)=14×所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148解析：（1）得到随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.

（2）设y表示第一辆车遇到红灯的个数，z表示第二辆车遇到红灯的个数，结合互斥之间的概率公式，即可求解所求事件的概率．19．答案:（1）解：当日需求量n≥16时，利润y=80．当日需求量n<16时，利润y=10n−80．所以y关于n的函数解析式为y=（2）解：（i）X可能的取值为60，70，80，并且P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7．X的分布列如表所示：X的数学期望为E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76．X的方差为D（X）=(60−76)2（ii）答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润（单位：元），那么y的分布列如表所示：Y的数学期望为E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4．y的方差为D（Y）=(55−76.4)2由以上的计算结果可以看出，D(X)<D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)<E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润（单位：元），那么y的分布列如表所示：Y的数学期望为E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4．由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花解析：（1）分别求得日需求量n≥16和n<16的利润，进而求得以y关于n的函数解析式；

（2）（i）X可能的取值为60，70，80，求得相依的概率，得出X的分布列，利用公式期望和方差的公式，即可求解；

（ii）答案一：若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润（单位：元），得出y的分布列，利用期望和方差的公式，比较得出结论；答案二：若花店一天购进17枝玫瑰花，y表示当天的利润，得出y的分布列，利用期望和方差的公式，比较得出结论.20．答案:（1）解：由茎叶图，可知甲、乙两名运动员七轮比赛的得分分别为甲：78