湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷含解析

湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1.（3分）方程f-2x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A.1,2,3B.1,2,-3C.1,-2,-3D.-1,2,3

2.(3分)下列函数中，y总随x的增大而减小的是()

A.y=4尤B.y=-4xC.y—x-4D.y—x1

3.(3分)已知平行四边形ABCQ中，ZB=2ZA,则/A=()

A.36°B.60°C.45°D.80°

4.（3分）某超市销售A,B,C,。四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1

元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（）

5.（3分）若点尸在一次函数y=-x+4的图象上，则点尸一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.（3分）将抛物线y=-3?+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得

到的抛物线为（）

A.y=-3（x-2）2+4B.-3（x-2）2-2

C.y=-3（x+2）2+4D.y=-3（x+2）2-2

7.（3分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x

个队参赛，根据题意，可列方程为()

A.Xr(x-1)—36B.—x(x+1)=36

22

C.x(x-1)=36D.x(x+1)=36

8.（3分）比较A组、B组中两组数据的平均数及方差，以下说法正确的是（）

A.A组、8组平均数及方差分别相等

B.A组、8组平均数相等，2组方差大

C.A组比B组的平均数、方差都大

D.A组、8组平均数相等，A组方差大

9.（3分）关于x的一元二次方程（左+1）--2x-1=0有两个实数根，则上的取值范围是

（）

A.Q-2B.k>-2C.左2-2且左力-1D.左>-2且左W-1

10.（3分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形A38,若测得A,

C之间的距离为6c〃z,WB,。之间的距离为8CM,则线段AB的长为（）

A.5cmB.4.8cmC.4.6cmD.4cm

11.（3分）已知二次函数y=7-3x+%（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）,

则关于尤的一元二次方程/-3x+m=Q的两实数根是（）

A.%i=l,X2=-1B.xi=l,X2=-3C.xi=l,xi—2D.xi=l,X2=3

12.（3分）如图，抛物线丁=〃/-2匕+4与直线y=&+6经过点A（2,0）,且相交于另

33

一点&抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点E；点N在线段A3上，过点N的直

线交抛物线于点M,且MN〃y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动

时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（）

B.NBAC=NBAE

C.ZACB-ZANM^^LZABC

2

D.四边形ACBM的最大面积为13

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

13.（3分）函数y=1x+l的自变量x的取值范围为.

14.（3分）如果一组数据2,4,x,3,5的众数是4,那么该组数据的中位数是.

15.（3分）如图，8。是矩形A2C。的一条对角线，点E,尸分别是3。，0c的中点.若

AB=4,BC=3,则AE+所的长为.

16.（3分）若函数y=[x2+l（x<2）,则当函数值丫=8时，自变量x的值等于_______.

V2x（x>2）

17.（3分）设a、>是方程/+x-2019=0的两个实数根，则Q-1）（b-1）的值为.

18.（3分）飞机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间/（秒）的函数解析式是s=60f

-1.5?.则飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为米.

三、解答题（本大题共8个小题，共66分）

19.（6分）解方程：心-3尤=-2

20.（6分）已知一次函数-4,当x=2时，y--2,求它的解析式以及该直线与坐标

轴的交点坐标.

21.（8分）为了解学生每天的睡眠情况，某初中学校从全校800名学生中随机抽取了40名

学生，调查了他们平均每天的睡眠时间（单位：为，统计结果如下：

9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,7,

9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.

在对这些数据整理后，绘制了如下的统计图表：

睡眠时间分组统计表睡眠时间分布情况

组别睡眠时间分组人数（频数）

170<8m

280<911

390<10n

4lOWrcil4

请根据以上信息，解答下列问题:

（1）777=,77=,CI~~,b~~;

（2）抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数落在组（填组别）；

（3）如果按照学校要求，学生平均每天的睡眠时间应不少于9/7,请估计该校学生中睡眠

时间符合要求的人数.

睡眠时间分布情况

22.（8分）如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC与2。相交于点。，点E,尸分别为

OB,。。的中点，延长AE至G,使EG=AE,连接CG.

（1）求证：AABE义ACDF；

（2）当线段A8与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCT是矩形？请说明理由.

B

G

23.（9分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3

万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、

乙两种产品获得的总利润为y（万元）.

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受

市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足.求出该工厂生产甲、乙

两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.

24.（9分）在正方形ABCD中，连接8Z）,尸为射线CB上的一个动点（与点C不重合），

连接4P,AP的垂直平分线交线段3。于点E,连接AE,PE.

提出问题：当点P运动时，/APE的度数，与CP的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点尸的两个特殊位置：

①当点尸与点B重合时，如图1-1所示，NAPE=°,用等式表示线段。E与

CP之间的数量关系：:

②当BP=BC时，如图1-2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结

论：；（填“变化”或“不变化”）

（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图2-1,2-2,通过观察、测量，发现：（1）

中①的结论在一般情况下（填“成立”或“不成立”）

（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图2-1和图2-2中任选

一个进行证明；若不成立，请说明理由.

ADAD

BPCPBC

图2-1图2-2

25.（10分）已知抛物线y=-/-（机-4）x+3（m-1）与无轴交于A,8两点，与y轴交

于C点.

（1）求，"的取值范围；

（2）若m<0,直线>=自-1经过点A,与y轴交于点。，且求抛物线

的解析式；

（3）若A点在2点左边，（2）中所得到抛物线上是否存在一点P,使直线以分△AC。

的面积为1：4两部分？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

26.（10分）对于某一函数给出如下定义：若存在实数）,当其自变量的值为p时，其函数

值等于P,则称尸为这个函数的不变值时.在函数存在不变值时，该函数的最大不变值

与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其

不变长度q为零.例如，图1中的函数0,1两个不变值，其不变长度4等于1.

（1）分别判断函数y=x-3,y=7-2有没有不变值？如果有，请写出其不变长度：

（2）函数y=7-bx+1且1W8W3,求其不变长度q的取值范围；

（3）记函数y=7-3x（x2优）的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为

G2,函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0WqW4,求相的取值

范围.

图1备用图

湖南省长沙市雨花区雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1•【解答】解：一元二次方程7-2x-3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1,

-2,-3.

故选：C.

2.【解答］解：y=4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，

y=-4%中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，

y=x-4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，

y=x2中，当尤＞0时，y随x的增大而增大，当尤＜0时，y随尤的增大而减小，故选项。

不符合题意，

故选：B.

3.【解答】解：:•四边形A8CD是平行四边形，

J.BC//AD,

：.ZA+ZB=180°,

VZB=2ZA,

AZA=60°,

故选:B.

4.【解答】解：这天销售的矿泉水的平均单价是5X10%+3X15%+2X55%+lX20%=2.25

（元），

故选：C.

5.【解答】解：：-1＜0,4＞0,

.•.一次函数＞=一1+4的图象经过第一、二、四象限，即不经过第三象限.

:点尸在一次函数y=-x+4的图象上，

...点尸一定不在第三象限.

故选：C.

6.【解答】解：将抛物线y=-3尤2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y=-3（x+2）

2+1;

再向下平移3个单位为：y=-3(x+2)2+1-3,即y=-3(尤+2)2-2.

故选：D.

7•【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：

L(x-1)=36,

2

故选：A.

8.【解答】解:

由图象可看出A组的数据为：3,3,3,3,3,-1,-1,-1,-1,8组的数据为：2,

2,2,2,3,0,0,0,0

则A组的平均数为工4=工义[3+3+3+3+3+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)]=11

99

8组的平均数为7?=工乂(2+2+2+2+3+0+0+0+0)=旦

99

A组的方差S2A=LX[(3-11)2+(3-11)2+(3-H)2+(3-11)2+(3-11)

999999

2+(-1-11)2+(-1-11)2+(-1-11)2+(-1-11)2]=320

999981

2组的方差(2-11)2+(2-11)2+(2-11)2+(2-11)2+(3-旦)

999999

2222

+(0-11)+(0-11)+(0-11)+(0-11)2]=出

999981

：.S2A>S2B

综上，A组、B组的平均数相等，A组的方差大于B组的方差

故选：D.

9.【解答】解：根据题意得人+1#0且4=(-2)2-4(Z+1)X(-1)20,

解得上》-2且k#-1.

故选：C.

10.【解答】解：如图，作AR_L8c于R,ASJ_C□于S,连接AC,BD交于点、O,

由题意知，AD//BC,AB//CD,

・•・四边形ABCD是平行四边形.

・・,两张纸条等宽，

：.AR=AS.

\9AR*BC=AS^D,

:・BC=CD,

・•・平行四边形A5CD是菱形，

：.AC±BD.

在RtZXAOB中，04=3,05=4,

•,•但在不=5.

故选：A.

n.【解答】解：将点(1,0)代入尸7-3%+如

解得m=2,

.•.产―-3x+2,

.•.X2-3X+2=0的两个根为％=1,x=2；

故选：C.

12•【解答】解：将点A(2,0)代入抛物线>=〃工2__1£L+4与直线>=&+b

33

解得：a=—,b=-—,

33

设：M点横坐标为相，则Af(m,2m2_工^%+4)、N(m,Am-H),

3333

其它点坐标为A(2,0)、B(5,4)、C(0,4),

则AB=BC=5,则NGW=NAC8,

...△ABC是等腰三角形.

A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为(»,-工)、(5,2),

2623

由勾股定理得：BN=空，而MN=S,

66

BN+MN=5=AB,

故本选项错误；

2、〃彳轴(B、C两点y坐标相同)，

:./BAE=ZCBA,而AABC是等腰三角形不是等边三角形，

ZCBA^ZBCA,

/BAC=ZBAE不成立,

故本选项错误；

C、如上图，过点A作AO_LBC、BE±AC,

•••△ABC是等腰三角形，

.•.仍是NA8C的平分线，

易证：ZCAD=ZABE=-1£ABC,

nUZACB-ZANM=ZCAD=1-^ABC,

故本选项正确；

D、S四边形AC3M=Szvi8C+Sz\A8M，

SAABC=10,

SMBM=—MN*(XB-XA)=-m2+7m-10,其最大值为9,

24

故S四边形ACW的最大值为10+旦=12.25,

4

故本选项错误.

故选：C.

二、填空题(共6小题，每小题3分，满分18分)

13•【解答】解：由题意得，x+1三0,

解得-1.

故答案为：-1.

14•【解答】解：因为这组数据的众数是4,

.,.x=4,

则数据为2、3、4、4、5,

所至这组数据的中位数为4,

故答案为：4.

15.【解答】解：・・,点E,b分别是50,DC的中点,

:.FE是ABCD的中位线,

：.EF=1BC=1.5,

2

VZBAD=90°,AD=BC=3,AB=4,

:.BD=5,

又是a)的中点，

；.RtA4BZ)中，4石=氢。=2.5,

2

：.AE+EF=2.5+1.5=4,

故答案为：4.

16.【解答】解：①当x<2时，X2+1=8,

解得：x=-

②当x>2时，2x=8,

解得：尤=4.

故答案为：4或-

17.【解答】解：：服b是方程f+x-2019=0的两个实数根，

/.a+b=-1,ab=-2019,

(a-1)(&-1)=ab-(a+b)+1=-2019+1+1=-2017.

故答案为：-2017.

18.【解答］解：s=60t-1.5r=-1.5(Z-20)2+600,

则当f=20时，s取得最大值，此时s=600,

故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为：600m.

故答案为：600.

三、解答题(本大题共8个小题，共66分)

19.【解答】解：-3x+2=0,

(x-1)(x-2)=0,

.,.x=l或x=2；

20.【解答】解：•・,一次函数尸丘-4,当x=2时，尸-2,

・•・-2=2k~4,解得％=1,

，一次函数的解析式为y=%-4.

\•当y=0时，兀=4；

当尤=0时，y=-4,

...该直线与x轴交点的坐标是(4,0),与y轴的交点坐标是(0,-4).

21•【解答】解：(1)7Wf<8时，频数为机=7；

9Wf<10时，频数为〃=18；

.•.a=-Lx100%=17.5%；b=J^_X100%=45%；

4040

故答案为：7,18,17.5%,45%；

(2)由统计表可知，抽取的这40名学生平均每天睡眠时间的中位数为第20个和第21

个数据的平均数，

落在第3组；

故答案为：3；

(3)该校学生中睡眠时间符合要求的人数为800义坨鱼=440(人)；

40

答：估计该校学生中睡眠时间符合要求的人数为440人.

22.【解答】证明：(1)..•四边形是平行四边形，

J.AB^CD,AB//CD,OB=OD,OA^OC,

：.ZABE=ZCDF,

丁点E,尸分别为。2,的中点，

:.BE=1VB,DF=L()D,

22

：.BE=DF,

在△ABE和△CD尸中，

'AB=CD

-ZABE=ZCDF

BE=DF

.二△ABE四ACDF(SAS)；

(2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：

'：AC=2OA,AC=2AB,

J.AB^OA,

是。8的中点，

：.AG±OB,

：.ZOEG=90°,

同理：CF±OD,

：.AG//CF,

：.EG//CF,

•：EG=AE,OA=OC,

：.OE是aACG的中位线，

C.OE//CG,

:,EF〃CG,

・・・四边形是平行四边形，

*：ZOEG=90°,

・•・四边形EGC5是矩形.

23.【解答】解：(1)y=0.3x+0.4(2500-x)=-0.1x+1000

因此y与x之间的函数表达式为：-O.lx+lOOO.

(2)由题意得：Z°-25X+0.5(2500-X)<100C

lx<2500

1000<x^2500

又,：k=-0.K0

随尤的增大而减少

.,.当x=1000时，y最大，此时2500-x=1500,

因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大.

24.【解答】解：(1)①当点尸与点B重合时，如图1-1所示，

•..四边形ABC。是正方形，

ZAPE=45°,EA=EB=ED,

:.PC=42.DE.

②当时，如图1-2所示，①中的结论不发生变化;

故答案为45,PC=®PE,不变化，成立；

（2）如图2-1,如图2-2中，结论仍然成立;

图2-2

(3)如图2-1中或2-2中，作跖_LA。于R延长bE交8C于G,连接AC、EC.

•,点E在线段AP的垂直平分线上，

•・EA=EP,

•,四边形A8CO是正方形，

•.是AC的垂直平分线，

•・EA=EC,

\ZEAC=ZECA.

:BA=BC,

•・/BAC=NBCA,

\ZEAB=ZECB,

：EA=EP,EA=EC,

\EP=EC,

•・/EPC=/ECP,

：ZEPC^ZEPB=1SO°,

\ZBAE+ZEPB=1SQ°,

\ZABP+ZAEP=1SO°,

.*ZABP=90°,

*.ZAEP=90°,

\ZAPE=ZPAE=45°,

：EF±AD,

*.ZDFG=90°,

：ZBCD=ZADC=90°,

・••四边形尸GCZ）是矩形,

；.CG=FD,ZFGC=90°,

VZBDA=45°,

：.FD=叵DE,

2

•：EP=EC,

：.CP=2CG=2。尸=血汨.

25•【解答】解：(1)♦.•抛物线与x轴有两个不同的交点，

:•△=(m-4)2+12(m-1)=m2+4m+4=(m+2)2>0,

••加力-2.

(2)Vy=-x2-Cm-4)x+3(/〃-1)=-(尤-3)Cx+m-1),

...抛物线与x轴的两个交点为：(3,0),(1-m,0)；

则：D(0,-1),

则有：ADXBD=y[^2X7(l-m)2+12=5V2)

解得：机=2(舍去)或-1,

m--1,

抛物线的表达式为：>=-/+5尤-6…①；

(3)存在，理由：

如图所示，点C(0,-6),点。(0,-1),点A(2,0),

直线B4分的面积为1：