积分变换课后习题答案

目录

第一章Fourier变换........1

一内容要,热.....................................*......1

二例题分析...........................................10

三习题全解......,...25

习题~~.解•答....25

习题一解答.................................................31

习题三解答..............*.....47

习题四解答................................................56

习题五解答...........................67

第二章Laplace变换..........................85

—内^点..................85

右q92

三习^5.全解........107

习题一解答.................................................107

习题二解答...............................................J15

习题三解答..........................................•…♦一133

习题四解答..............*......145

习题五解答...*....*.....152

附录IFourier变换简表................................193

附录支Laplace变换简表................201

第一章Fourier变换

一内容要点

本章从讨论周期函数的Founer级数的展开式出发，进而讨论

非周期函数的Fonrirr积分公式及其收敛定理，并在此基础上引出

Fourier•变换的定义、性质,一些计算公式及某些应用.

本章的重煮是求函数的Fourier变换及Fourier变换的某些应

用.函数的Fourier变换也是本章的一个难点，要解决好这个难点，

必须掌握好Fourier变换的是本性质及一些常用函数（如单位脉冲

函数，单位阶跃函数，正、余弦函数等）的Fourier变换及其逆变换

的求法.从而才能较好地运用FcuHer变换进行频谱分析，解某些

微分、积分方程和偏微分方程的定解问题.

1.Fourier积分

（1）Fourier级数的展开式

设力（E）以T为周期且在［-］上满足Dirichlet条件

（即在［-曰，寺］上满足：1°连续或只有有限个第一类间断点;2°只

V工

有有限个极值点）.则。a）在J上可以展成Fourier级

2'T

数.在月（£）的连续点处，有

/『（，）=¥+£（＜2„cosn（A）t+b„sin"（三角形式）

2第一章Fnurier变换

-y;（复数形式或称复指数形式）

〃-m

其中

.r

3~爷，=net）,c„—下J-7加（f）e'""dr（〃=~0,±1,

c小表3,二巴亏以，j="乎（"=1.2,…）.在J?（t）的问

断点z处，上面的展开式左边灯（，）应以4＜八（八°）+力（，

。］代替一

（2）Fourier积分定理

对于（-g,+s）上的任何一个非周期函数/（£）都可以看成

是由某个周期函数/,1）当T-।8时转化而来的.由此，从

人仁）的Fourier级数的复数形式出发.能够得到一个非周期函数

f（力的Fourier积分公式，其条件为:

若/（,）在（-8,+8）上满足下列条件：

1"/,•）在任一有限区间上满足Dirichlet条件；

2"（1）在无限区间（-8.+8）上绝对可积（即积分

「'|/。）1口收敛）.则在〃/）的连续点处有如下的Fourier积分

公式

〃t）=;I/（r）e-xdr

在J（r）的间断点t处,上面展开式左端的J。）应以^［八，+0）

1-0）］代替.这个公式也称为Fourier积分公式的复数形

式.

这个定理在教材中虽然未加证明，但应当看到它是Fourier变

换的理论基础，必须深刻理解其含义，掌握它成立的条件，以便为

学习Fourier变换奠定理论基础.

内容要点

(3)Fourier积分公式的其他形式

1)Fourier积分公式的三角形式

利用Euler公式.由Fourier积分公式的复数形式可推出它的

二角形式：

./I(f)~—IHy(r)cos0/(?-r)drda>

2)FOXJZer正弦积分公式

当fa)为奇函数时，利用三角函数的和差公式，由Fourier积

分公式的三角形式可推出其Fourier正弦积分公式

./"(t)=-—if(r)sincurdrsin<ufda)

n“0LJ”.

3)Fourier余弦积分公式

当fC)为偶函数时，同理可得

2.+Rp'.R-

/(r)-1---H/(L)cos«；rdrcoso>r

若/(f)仅在(0,4-8)上有定义，且满足Fourier积分收敛定

理的条件，通过奇式(偶式)延彷，便可得到“£)的FourierIF弦

(余弦)积分展开式.

2.Fourier变换

(1)Fcmriei■变换的概念

Fourier变换对的一般形式:

</(?)]=F")=[/Q%"dr

J-X

W

/(t)~•?~1[F(o»)]—2-F(w)』"d3.

v/工-r

Fourier正弦变换对:当J(f)为奇函数时，有

4第一章Fourier变换

♦[/(，)1—F)3)..|/(f)sina>rdz

Jo

]/(f)-5，；'[F、(®)]=Fy(tu)sinto/dw;

Fourier余弦变换对：当/(，)为偶函数时，有

cIW

[/(/)!=桂(3)=IJ(t)coswtdt

J0

1一.2r…

/'(t)=1[F,.(CO)F,(3)CQSUitdw,

/“Jo

它们可分别简记为/(f)<=>F()f(它及/(D。卜：(3).

显然，当/(t)为奇函数时，F(3)=—2jF,(Q.当/⑺为偶函数

时，F(3)=2F<(⑵).

(2)单位脉冲函数及其Fourier变换

③-函数的重要性质一筛选性质；若/«)为无穷次可微的函

数，则有

「^^(r)./(r)dr=/(O).

一般地，有

广卜：,，

c^(t-=f(t).

J-Ev

由这一性质，可得见》[)]-l"T[l]=3(n,表明«)和1构

成一个Fourier变换对，记为8(£)71.同理，有双r一%.

需要指出的是3(E)是一个广义函数,它的Fourier变换是一

种广义Fourier变换.在物理学和工程技术中有许多重要函数(如

常数，符号函数，单位阶跃函数及止、余弦函数等)不满足Fourier

积分定理中的绝对可极条件(即不满足「〜l/(Q|dr<g).然而

Je

其广义Fourier变换是存在的.利用单位脉冲函数及其Fourier变换

就可以求出它们的Fourier变换.例如

弭1]=27r8(a>)，.5[e/i']=2x3(3*,-*<u())7

一内容要点5

17

缸u(/)j=：-+"8(tu),/[sgILZ

JOIJM

.■/[sinf.=jJT[S(a?I小)S；s«/())]♦

，列COSco。£]—穴[3(3+(〃“)，》(g—3.)；.

3.Fourier变换的物理意义一频谱

（1）非正弦的周期函数的频谱

在月（工）的Fourier级数展开式中，称

<zNcos3“f+bNsinaj„t~A“sin（（。/+狂）

为第n次谐波，其中3"u"3=当二A。J♦矍■!,Aa="C：t

称为频率为明的第N次谐波的振幅，在力（「）的Fcnrier级数的复

数形式中，第«次谐波为c”cf+j,,e"',并且Icj=Ij“！=

a：工比，从而6（。的第"次谐波的振幅为

A「2|c」（D,l,2,…）,

它描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况.所谓频谱图，通

常是指频率%与振幅A*的关系图、A“也称为/,（［）的振幅频谱

（简称为频谱），由于打=0,1,2,…、所以频谱A”的图形是不连续

的.称之为离散频谱，其频谱图清楚地表明了一个非正弦的周期函

数〃（力包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅的大

小）.

（2）非周期函数的频谱

非周期函数人力的Fourier变换F（川-：汽/（£）］,在频谱分

析中又称为的频谱函数,它的模！尸（如）称为八£）的振幅频

谱（简称频谱）.由于3是连续变化的，这种频谱称为连续频谱，频

谱图为连续曲线.振幅频谱［F（ai）i是频率3的偶函数；相角频谱

中（cu）=arctan-------------是频率s的奇函数.对一个时间

|/（Z）cosbitdt

6第一章Fourier变换

函数作Fourier变换.就是求这个时间函数的频谱函数.

频谱图能清楚地表明时间函数的各频谱分星的相对大小，困

此，频谱图在工程技术中有着广泛的应用.作出一个非周期函数

八才）的频谱图，其步骤如下：

1）先求出非周期函数/（，）的F-MOT变换

2）选定频率/的一些值,算出相应的振幅频谱I9（s）|的值；

3）将上述各组数据所对应的点填人直角坐标系中，用连续曲

线连接这些离散的点，就得到「该函数/Q）的频谱图.

4.Fourier变换的基本性质

为叙述方便，在下述性质中，凡是需要求Fourier变换的函数，

假定都满足Fourier积分定理中的条件.

（1）线性性质设方L/；（Z）J=E（W）,河力（力］二产2（3）,

。邛为常数，则

网41（力+防（£）］一由“）+肛（3）;

（2）位移性质设见/（Z）」二F（3）,则

//（t±G］=e*~F（3）;

37［F（/不叫）］=『（/）e±M',（象函数的位移性质）.

G）微分性质设弭/（/）］=F（3）,如果/〃）（£）在（一8,

+8）上连续或只有有限个可去间断点，且iim=

111—*+M

0,1,2,…，舞7,则有

巩/SQ）］=（J3）"F（3）；

P"'（3）H（-j）”五灯⑺］,（象函数的微分性质）.

特别，当,=1有

:乳/'（/）］=j"声（〃＞）；

F'（3）=

（4）积分性质设＞■［./'（z）］,尸（”），如果当/一+8时,

内容要点7

（t）-\f（t）dzf0，则

J-a

/[「/（r）dzl:J-F（s）；

LJ-gJJ3

当linig（力/0时，・有

/f+•”

；>[rr（，）dj=2F（8）卜nF（0）3（s）.

LJ-<x>.iju>

（5*）乘积定埋设凡（（八]一F；（s）.[力（八]一下2（。，）,则

广+S-]一♦VI

J.77（万/乂，*/：（|）:1京在2（3）4。

][八«）./式，）山J「"FJ（3、）F<3）”,

其中7XTL77G）,F,!^）及FTGO分别为.九（，）/"），

B（s）及F/3）的共腕函数.特别，当人（。），/2（，）为实函数时，

有|/；（力/式£）&"巳心）2"）也

=J卜I（0）?、2（g）d“J.

（6,）能量积分设一/⑴1=产税分则

,，8qp，uu

|[/（：）『山=1IF（M）|2dw

J-oo乙式1-8

这一等式又称为Parseval等式.函数S（G=IF'（3）I?称为能量密

度函数（或称能量谱密度）.它而以决定函数/（力的能量分布规

律.将它对所有频率积分就得到“力的总能量，因此，Parse、"等

式又称为能量积分.它表明非周期函数/、）在时间域内的能量与

在频率域内的能量不因/（f）取Fourier变换后而改变,由于能量

密度函数S（G是3的偶函数，则能量积分可进一步写为

I「'R

[f（j）ydt.=-s（3）ds.

E,HJo

5.卷积与相关函数

（1）卷积的概念

8第一章Fuurier变换

m（t）=z）dr,且其运算满足

J

九（？）*/2（工）=/式£）*/；（，）（交换律）；

f\（t）*［/2（r）*八⑴］="（£）*八仁）］*九（r）（结合律）;

/（）充"Q）+/、（f）］=£（，）*/«）+/W）*，（，）（分配律”

，

l/l（O*./3（Z）l</i（O*1/2（^）1（卷积不等式）.

（2）卷积定建设」;（）（山=1,2,…，〃）满足Fourier积分定

理中的条件，且见/■）〕=F'Ja）晨=1,2,…则

*1/：（/）*/；（£）*…*f*（/）J~F［（3）•B（«i）....F,,（）；

其fI（，）"，2（f>..../”（，）］/^-4S7：T卜1（3）*巳（3）*…*

匕（8）（象函数卷积定理）.

特别，

，■:y力（£）］=K（,）出"）；

:沌J；（，），/?（，）］=白H（3）*F、2（3）.

（3‘）相关函数的概念

相关函数的概念和卷积的概念一样，也是频谱分析中的一个

亘要概念.记函数八（/）和/2（。的互相关函数为

乩2（*）=j/'i（/）/,（/+r）dz.

记函数八工）的自相关函数（简称为相关函数）为

7?（rJ-■ff（t.）./（r+r）di.

J-・x；

显然，K（r）=R（-r）:I?n（r）-R［；（-r）.

（4*）相关函数和能量谱密度的关系

］）自相关函数和能量谱密度构成一个Fourier换对：r）

口S（s）,即

-内容要点9

(1广―

=5-1S(s)c'3'd3；

2irj…

「<：vi

S(«p)=K⑴e』？.

、J-••*?

利用K(r)和3(s)的偶函数性质，可进…步写为

[.••co

K(r)=H…S(iu}cos3rd3;

2TCJ力

-4>•

S(3)=R(r)cosa)rdr

J“.X

R(r)在T=0时，可得Parsevai等式，即

R⑻=白匚S(s)ds：-[:

2)互相关函数却互能量谐密度构成一个Fourier变换对.由

乘积定理(当人(力和，2«)为实函数时)知

#•***"

RI：(r)=|JHr)dr

J-u*>

,w

二』-[FrGJ)F2(a>)edcu.

4-JVo-3

记和能量谱密度为弧2(⑺)=FCF2(S)(而521(«>)=

匕(⑴则

显然，互能量谙密度有S-2i(^=S^t

6.Fourier变换的应用

Fourier变换是分析非周期函数频谱的理论基础.它在频谱分

析中有着重要的应用.前面已列出其内容要点.这里的应用主要是

用来求解某些微分、积分方程和偏微分方程(其未知函数为二元函

数的情形》的定解问题.

10第一章Fourier变换

(1)微分、积分方程的Fc”r沁r变换解法

运用Fourier变换的线性性质、微分性质和积分性质，对欲求

解的方程两端取Fourier变换，将其转化为象函数的代数方程，通

过解代数方程与求Fourier逆变换就可得到原方程的解.这种解法

如下图所示意：

(2*)偏微分方程的Fourier变换解法

运用Four®变换求解偏微分方程的定解问题类似于上述示

意图中的三个步骤，即先将定解问题中的未知函数看作某一自变

量的函数,对方程及定解条件关于该自变量取Fourier变换，把偏

微分方程和定解条件化为象函数的常微分方怦的定解问题；冉根

据这个常微分方程和相应的定解条件，求白象函数；然后再取

Fourier逆变换，得到原定解问题的解.这里，要求变换的自变量在

(-8,十R)内变化；如要求变换的自变量在(0,+上)内变化，则

根据定解条件的情形可运用Fourier正弦变换或Fower余弦变换

来求解该偏微分方程的定解问题.

二例题分析

例试求函数«'二二的Fourier枳分表达式.

!。，其他

解在Fourier积分定理的条件下，函数,/'(t)的Fourier积分

表达式，可以用复数形式，也可以用二角形式来表达；由于函数

二例题分析

/（,）是（-8.+8）匕的奇函数，还可以用Fourier正弦积分公式

来表达；如果读者已经掌握Four而变换的性质，则可根据教材第

一章§1J中的例1,利用象函数的微分性质求得结果.

方法I利用Fouriei积分公式的复数形式，在『（力的连续点

处，有

1――r1

,/•）=;I/⑺/"4也”

ZKJ-8LJ«J

当t=+1时JC）应以J[/（+1+。）十〃±1-。）]二±4代替.

J乙

方法2利用Fourier枳分公式的三角形式，在的连续点

处，有

rcos<o(t—r)drdo>

•一.r(cos<o/cosM+sin(visin<t>r)drde

7TJ()LJ-lJ

2「'小।rl-

—sin3trsin<wrdrda

KJoUn」

一■卜no>?do),(Z大±1)

穴Ju

同佯，当t=±1时，/（Z）应以t-1代替

方法3由于/任）为（-8,，8）上的奇函数，也可以利用

12第一章Fourier变换

Fourier正弦积分公式，在/(/)的连续点处，有

/(Z)=—J[J,/(r)sincvrdrsino»rdo>

2厂「f’.,..

=\rsinojTclrsinwidcu

式JuLJQ.

2f+CO/sifl(i)OJ\../0_L,、

=———-----sm3d3.(号±II

KJ。13"3j

当/二±1时，/a)也应以±3代耕.

方法4利用象函数的微分性质,如记教材第一章§1.1例1

中的函数为』£)=:令

u,Aiffi

牙[g(1)]=G")=|山二2|cc$wd/=2，"3

J-3J()3

显然，本例中的函数/([)=*(£),根据象函数的微分性质(也称

为象函数的导数公式)：G'(G二-所fg⑺：，即

f(r)]-rg(^)J--XC/(£t»)—~2][则黑-X坐々).

,J\COMJ

从而，由Fcurier积分公式的复数形式，在户.力的连续点处有

、1r./sin3

/r(ff)=下—21[2一空,d』

/TTJ-uoL\(u31J

_-jI/sin3co

I(cusa)l+jsinu)L)d®

尤J813，

_2「2/sin3_co«JsinMtdw

KJu13S

当t=±1时J(f)应以±J代替.

根据上述结果，我们可以得到

乏t，1广＜1,

「2(sincucoso)\..7T

1-"s】ngfdsj4,ti,

J。\"3/

二例题分析13

换言之，根据人力的Fourier积分公式，可以推证出一些广义积分

的结果.这也是含参量广义积分的一种巧妙的解法.（另夕卜，某些类

型的广义积分还可以利用Fcnnier变换中的能量积分.终值定理及

象函数的微分性质求得结果）通过上述解法，我们不仅掌握了各

种求解方法，而且还叮以对各种方法进行比较，从而更好地理解和

掌握Four沁r积分公式的含义和某些用途.

例1-2求函数/（t）="（t）cos仅的Fourier变换，其

中aXL

解求一个函数的Fourier变换，可以按定义直接做，也可以

按Fourier变换的性质做.当然，按后者做有一定的技巧性，还要掌

握一些常见函数的Fourier变换.现分别叙述如下.

方法I按Fcwier变换的定义，有

沆/（，）］=\〃（I）/<：「"os

~1M伊山

J<i

=［3-（…"”）（/+J,Dd,

-:「re”—）&卜

NJo

ir।g

4re-n+Cdz

利用分部积分法，可得

Jc

」K7：.，rX1g

二一一一77-----|I--------------J___丁4"7）

a+）（3「S）I。a+j（3P）J.）”

1

〔a+j（a-/3）］r'

14第一章Fourier变换

♦<*•

同理，广所以

更八，)]=；[0+)(：一犷+in+」(♦初，

(a+ja>)"''■f-

!(a+jw)2十户*P

方法2利用象函数的微分性质，记8(f)”(r)e-"'co、秋,

工：^⑺]=G(ai>如C'(a,)="jr/>?(.*)J'7冗/(，)]，而

G(f”)=u(t)e'"cos;?Te'r，Jdz

二厂:+1中储'…""山

J«2

L①小…"d+；-

2J<i-J(I

1r____i_*_1—:

2.a*j(ra，j(“J+：Q)」

—巴1J，"_

(a+js)’J3,

所以

>T./'CT.)1-------J-(r(<u)~.d

3L

__ta+ja＞），-$

：（aIjajy+/?2J2,

方法3利用象函数的位移性质，It

dF二二..一・

。十］7

eII3

从而由位移性质知

>[M(r)c

二例题分析15

乙

；1r1卜_____L______'

2La+j（co—g）a+j（加十产）.

a+）u）

工+向+产

对照方法2,再利用象函数的微分性质,即可用到结论，亦即

升/（/）।-j:i/—p+4?

<1a）.{a卜j3）十户」

_〔a+一犬

［（a1沁尸十夕9.

方法4利用象函数的卷积公式，汜f（z）="cs伊，/：Q）「

”）e。则以J；⑺•./；（/）］二4F'；（3）*£（3）,其中K（3）

=：*［工（八二?：二1,2.由

*COS四］=8（3+j?）+3（出一/?）］

及象函数的微分性质知

人/jC）」一J：fccs桃］-j?-［n;（^（cv+⑶+S3,-^））］

u（tf

-j氏阴（3+8）+3"（3-6）］.

而

尼小，〉」：叫（几一“'］=一上，

a+J3

从而，根据卷积的分配律、卷积的导数公式［见习题四的1（6一及

箍选性质，有

-/"）］=沌/“卜£1）］

=白［jn（，（S卜8）4V（⑥-社））一.・.二.

=方3'（山十产）*一二（s_§）*--J-.

zL。十jrz>a+J3_

4"-F~8（⑦十件），-7—T--I+

2dewLa*jj

16第一章Fourier变换

■■,,,—,、.—4■,

十品W)*—

2d®Lo+j3」

F前[JJ(，+/a+.8―一尸]+

④同口(-8)1—ydrl

2dtaLJ-ooa+j(sr)J

idr______1,i]

2da>La+j(tt>-r)…*a+j(co-r)T?.

=上山—1,J1

2dsLa+j(3十p)a+j(a).

=]|.]，十1,I

2|[a+j(ct>+/?)y[a+j(o>-j9)]z[

=(a+j*-E

[(a+；3)*+胡『

方法5利用象函数的卷积公式，还可以记/,(t)=cos仇,

72(力=讹(£)是一"，而

风cos优]=兀[台(3+p)+<5(co-0)],

见〃(Mef]=「00：e(->d=//.H

Jo(a+\<JI>f

再使用方法4,有

例7(4]一/力(£)•力6)]

=叁[兀(8(⑷+f)+6(s-。))]*7~

/式(a+J3)

=i-》(/+£)*„L_+8(s-白)*-_-L-

乙(a十J3)(a+jm)

=iIMT+Gf~~二导----不drt

，｛J-81a+j(3—T)J

|3(r—B)r—―7^4-----r

J-g1。十

=x11+______L_|

2I[a+j(«+j(?)]2[a+j(<4i~/?)]zI

-例题分析

_(a+js.-

[(a+jtw)2+g.

利用Fourier变换的性质来求函数的Fourier变换，虽然有一

定的技巧性，如果我们能够较好地理解和掌握这些性质的含义与

实质，就能运用自如.例如本例中的函数f(f)还可以改写为

f(I)=w(r)/e"cos仪

=+e取)

=；口•”(De9洌'+「以f挖一2加]

再分别利用象函数的微分性质去做，读者可以自己做一下.

例1-3求下列函数的F'curkr逆变换.

(1)F(w)=OJCOS<o/0：(2)F(cu)~J-+(a>).

J3

解(1)求一个函数的Fourier逆变换，通常可用Fourier逆

变换公式，结合Foumr变换的某些性质来完成，有时也会用到一

些常用函数的Fourier变换的结果或借助于Pourier变换表来完

成.

方法1利用Euler公式，Hcurier变换的位移性质及微分性

质得到结果.因为

cos3fo=e，urf。+e)

而我们已经知道巩以力]:1,由位移性质可得

咒究台("fo)]=e-f,

所以由线性性质，有

如设(；(设=，乳/(川=8»%,则由微分性质.有

巩8'a)]=is汛g(£)]-jcocoa.

从而

18第一章Fourier变换

/(：)=；犷1[jCOCOS]=j：>''[COCOSa)；o]t

即

济7[cocos叫]=：/(r)[£+.)+/(r-a)].

方法2利用Fourier变换的对称性质(见第一章习题三第2

题结论)及象函数的微分性质也可以得到结果.已知F(，，，)二

'>[/(?)]-“COSoi/y,由Fourier变换的对称性质：若F(co)=

凯/(E)]，则/{±3)=言JF(+r)e—df.即；:>■[F(不：)]二

2n/(士毋)，现将F((i))~3cossi”中的3换成-t,有

:汽F(一力]=-icos(—r)t0=-/cos(%£)

令q(t)=cos("if),我们已经知道

G(«?)=杼[costM")]=Ta(g+t[))+o(a)-，u)].

由象函数的微分性质知

阿F(-t)]=-jG'(s)=一认[6,(⑷+。)+b"(r-')].

比即

2北/(s)=-jir[3'(co+1)+S'(3—)].

再将变量3换成，则有

/(£)=岁|[F(3)]=<0(/+口)+3(7-E0)].

(2)利用常见函数的Fourier变换可以求得结果，由

1・

万T[F(tt))]=Jt)=次72+j“*(3)

LW.

=方71±]+加彳-[SY.)]

-LJ3J

我们已经知道(如见附录I中的公式(27))可M=2而旷(.),即t

一2可/FU)],所以

加/11台'(3)]=),

一

二例题分析19

而汛sgn“=2-(见第一章习题二第8题》,所以

J3

.——Ir111一।「21j

：/：­=；——亏sgnf.

LjwJ乙LJ3」2

因此~1[F(w)]=-j(sgnz1-/).

由于符号函数sgn/可以用单位阶跃函数“(，)来表示，即

sgnt=u(,t)—u(-t)

=2u(t)-1,

所以这个结果可以写为

)=；[“(£)-”.(―1)十f],

或

,/'(t)=+y(?-1).

这个结果还可以写成分段函数的形式，即

|枭…)，*0；

/⑺耳

例1-4求满足下列方程的解：

(I)Jy((u)cosa)tdM=/(,),其中./1(£)=彳2.1<，<2；

”10,?22.

(2)/(?)-「八八点二叱二)，其中分(力为已知函数，且

Jg

-8<f<+8.

解(1)这是一个含未知函数MG的积分方程.从方程的左

端可以看出，我们能够利用Fcurier余弦变换公式直接求得结果.

这里提供两种方法.

20第一章Fourier变换

方法1原方程可改写为

2■**302

一)(3)cosw/ds=—/'(1),

兀J0-兀、’

9

根据Fourier余弦积分公式可知一f(£)为v(如)的Fourier余弦逆

变换，即

2(药门2(u-sin3)

方法2由于f(1)为一个单侧函数，根据积分方程，我们可

以将f(z)在(-8,0)上作偶延拓.实际上表明，我们可以用Fou-

ncr余弦积分公式来表示，即

.f(£)=2jf(u)cc；swuducos(vtdaj

2「+a「,1r2"

=­cos+I2cos6Mducosgfdai

力1JoLJcJi.

2(2SE21“—加)

--------------.......---------^COS<£)t(l(x).

7rs

对照原来的积分方程可知

2(2sin2(u—sina)

(2)这是一个含未知函数的微分积分方程.按一般的求

解步骤，首先利用Fourier变换的性质，如线性性质，微分性质，积

分性质以及卷积定理等，将此类微分、积分方程化为立「〉的象函

二例题分析21

数的代数方程；其次是解这个代数方程得到象函数Y(s)H

巩y(t)];最后，求Y(s)的FcEcr逆变换，从而获得所求方程的

解.为此，设

・乳、(/)J=丫(9);亨

现对此方程两端取Fourier变换.可得

j㈤F]卬)-*丫(3)=HQ)

从而解得

Y(g)=MrH(3)

3+1

再求Fourier逆变换，可得

丁("=部-1[丫(卬)]=白J2N-ds

,j3H(3)”

一斤r,.-gdo).

J-OO3+1

如果已知函数A(f)的具体表达式，我们就能够算出y(f)的

具体结果,例如当MQreT，,则

H(a)=巩h(t”=P0°e-2l,!e-jwdt

J一6

2/iKu2*

=『ee-di+f

e2ejovaJtJ

J，.g0

4

ai2+4

从而了(力"Uj一

-2j「"

—YL(w2+l)(^7+4)

22第一章Fourier变换

对于这种类型的积分可以用复变函数中的留数定理来计算①.

当z>0时，，加在上半平面内有两个一

(Z-+1)(2*+4)

级极点.即=j，沏-2j.因此

「+g}wt2

厂一备皿二2而SResLWzH"名"

J-8(3+IJ(*,+4)U

其中

R城R(z，工J