初中数学10大专题知识点精讲重点难点

初中数学10大专题知识点精讲，重点难点

专题一实数

知识要点

1.实数的有关概念

(1)实数分类

正整数

俄数零

有理数负整数

实数(有限小数和无限循环小数)

正分数

负分数

无理数一无限不循环小数

实数还可以分为：正实数、零、负实数:仃理数还可以分为：正仃理数、零、负方理数.解题

中需考虑数的取值范用时,常常用到这种分类方法。特别要注意。是自然数.

(2)数轴

数轴的要素：原点、正方向和单位长度.实数与数轴I：的点是•对应的,这种对应关

系是数学中把数和形结合起来的iR要居础0在数轴上表示的两个数，右边的

数总比左边的数人。a(a>0)

(3)绝对值|a|='0(a=0)

-a(a<0)

绝对值的代数意义：

绝对值的几何意义：・个数的绝对侑是这个数在数轴上的对应点到原点的距禽。

(4)相反数、倒数

相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没仃倒数C”任意•对相反数的和是零

和“4为倒数的两个数的枳是r的特性常作为计比，变形的技巧。

(5)三种非负数

|a|、a\>/a(a>0)形式的数都我示小负数。“几个II.负数的和(枳)仍是II：负数”。“几

个作负数的和等于•零,则必定每个作负数都同时为零”的结论常用「化简求值。

(6)平方根、算术平方根、立方根的概念

(7)易错知识辨析

(1)近似数、有效数字如0.030是2个有效数字(3.0)粕确到千分位：3.11X10是3个行

效数字：精确到T•位,3.11万是3个有效数字(3,1,4)精确到百位.

(2)绝对值国=2的解为x=±2：而卜2|=2,但少部分同学写成卜2|=±2.

(3)在3知中,以非负数£、a、小(aNO)之和为零作为条件,解决仃关问遐.

2,实数的运算

(1)实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算.整数指数兄的运律。

(2)仃理数的运克法则在实数范国仍然适用；实数的运算律、运兑顺序。

(3)加法及乘法的运算律可用「实数运算的巧算。

(4)近似数的精确度、仃效数字、科学记数法的形式为ax10”(其中1$间<10,n为整数)。

专题二代数式

知识要点:

知识点I整式的概念

单项式——单项式的次数系数

■［多项式——多项式的次数项数系数——升降解排列

（1）整式中只含有一项的是单项式,否则是多项式，单独的字母或常数是单项式:

（2）单项式的次数是所有字母的指数之和：

多项式的次数是多项式中域四次项的次数：

（3）单项式的系数.多项式中的每•项的系数均包括它前面的符号

（4）同类项概念的两个相同。两个无关:

两个相同：•是所含字母相同，：是相同字母的指数相同；

两个无关：•足，系数的大小无关，.是。字母的顺序无关：

（5）整式加减的实质是令并同类项:

（6）因式分解F整式乘法的过程恰为相反。

知识点2整式的运算（如结构图）

tnm^n

用的运算

(«/>)"=anb"

单项式乘以单项式

>因式分解

(a+h\a-h)=a2—b2

乘法公式

(a+b)2=a2+2ah+b2

知识点3因式分解

多项式的因式分解，就是把•个多项式化为几个整式的枳.分解因式要进行到得•个因式都不

能再分解为止.分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多项am+bin+cm=m(a+b+c).

其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式,也可以是个多项式.

(2)运用公式法，即用

a1-b:=(a+bXa-b),

a3±2ab+b:=(a±bf.弓出结果.

a'±b'=(a±bMa:Tab+b')

(3)卜字相乘法

对J：：次项系数为I的：次:Mx2+px+q,J找满足ab=q,a+b=pft9a,b,如有，则

/+"+g=(x+aXx+g对于股的：次三项式5？+hx+c(aW0),寻找满足

aiaj=a.cis=c,aiC2+a：Ci=b的a1，a，.C).c：.如有.则ad+/>x+c=(qx+G)(/x+c?).

(4)分组分解法；把各项适当分组,先使分解因式能分组进行,再使分解闪式在各组之间进行.

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“一”

号，括到括号里的各项都改变符号.

(5)求根公式法：如果a/+加r+c=O(awO),行两个根XI,x2,那么

2

ax+bx+c=a(x-x()(x-x,).

知识点4分式的概念

A

(1)分式的定义：整式A除以整式B,可以&示成’的形式.如果除式B中含行字母，那么

B

称H为分式，其中A称为分式的分了、B为分式的分母。

B

对「任意个分式，分母都不能为零.

(2)分式的约分

(3)分式的通分

知识点5分式的性质

(1)生=&卅=0)(2)已知分式J,分式的值为正：aOb同号；分式的值为负：a9b片号:

BnBb

分式的值为零：a=0RbHO;分式在意义：b*0.

(3)零指数a°=l(a*0)

(4)负整数指数aP=」-(awO、p为正整数).

ap

ama"=am<",

⑸整数幕的运兑性质a1"+a0=amn(a*0),

(am)n=8™,

(ab)B=a°bn

上述等式中的m、n可以是0或负整数.

知识点6根式的行关概念

I.平方根：若x?=a(aX)),则x叫做a的平方根，记为士品.

注意：①正数的平方根有两个.它们厅.为相反数：②0的平方根是0：③负数没仃平方根：

2.尊术平方根：个数的正的平方根叫做算术平方根：

3.立方根:若x3=a(a>0),则x叫做a的M方根，记为Va.

4.鼓筒二次根式

被开方数所含因数是做数，因式是检式,不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最荷

二次根式.

5.同类二次根式：化简币被开方数楣同的：次根式。

知识点7.次根式的件质

①G(aNO)是•个『负数：②(，7)2=a(a>0)

a(a>0)

③(A)?=|31=•0(a=0)

-a(a<0)

⑤=y/ayfb(a>0,b>0)

知识点81次根式的运灯

(I)二次板式的加成

.次根式相加减,先把各个.次根式化成最简二次根式，再把同类.次根式分别合并.

（2）.•次根式的庭法

:次根式相乘,等J洛个因式的被开方数的枳的算术平方根,即

Va-Vb=Vab（a>O.b>0）.

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行.

两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的枳不含有二次根式,那么这两个二次根式互为有

理化闪式.

（3）二次根式的除法

:次根式相除.通话先”成分式的形式，然后分化分母都乘以分母的仃理化因式，把分母的

根号化去（或分子、分母约分）.把分母的根号化去，叫做分母有理化.

专题三不等式和不等式组

知识要点：

知识点1、小等式的解：能使不等式成,工的未知数的值叫做不等式的解。

知识点2,不等式的解集：•个含仃未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。

知识点3、不等式的解集在:数轴I:的表示：

（1）x>a：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示:

（2）x<a：数轴上表示a的点画成空心圈圈,在示a的点的左边部分来表示：

（3）x>a：数轴上表示a的点画成实心留点，表示a的点及表示a的点的6边部分来表示：

（4）x《a：数轴上表示a的点画成实心网点，及示a的点及表示a的点的左边部分来表示。

在数轴上表示大I3的数的点应该是数3所对应点的右边.画图时要注意方向（向有）和端点

（不包括数3,在对应点画空心圆网）.如图所示：

-10I2345

同样，如果某个不等式的解集为后一2,那么它表示x取一24：边的点

场实心圆点.如图所示:

-3-2-101

总结：在数轴上表示不等式解奥的要点：

小于向左画,大尸向右画：无等号画空心网圈，有等号画蒯点。

知识点4、不等式的性质：

（I）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同•个整式,不等号的方向不变:

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同•个正数，不等号的方向不变:

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同•个负数,不等号的方向改变.

知识点5、元•次不等式:只含有•个未知数，并且耒知数的最高次数是1,系数不等点0的

不等式，叫做•元•次不等式。

知识点6、解元一次不等式的•般步骤：

（1）去分母：（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项：（5）未知数的系数化为1.

通过这些步骤可以把•元•次不等式转化为x>a（x2a）或xVa（x《a）的形式。

知识点7、•元一次不等式组：由儿个含有同•个未知数的•次不等式组成的不等式维叫做

元•次不等式组。

知识点8、不等式组的解集：不等式组中所有的不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的

解集.

不等式组(a<b)数轴表示解集记忆口诀

x>a

(1)<-------------------►x>b同大取大

x>bab

x<a

(2)<x<a同小取小

x<b

x>a

(3)•——A-A-----►a<x<b大小取中

x<bat)

x<a

(4)<►无解两边无解

x>bab

知识点9、解不等式组：求不等式组解集的过程叫做解不等式组。

知识点10、解•元•次不等式组的一般步骤：先分别解不等式组中的各个不等式,然后再求出

这几个不等式解集的公共部分。

知识点11、应用•元,次不等式（组）的知识解决简单的数学问题和实际问题。

专题四方程和方程组

知识要点

一、方程有关概念

1,方程：含有未知数的等式叫做方程.

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的优叫方程的解，含有一个未知数的方程的解

也叫做方程的根.

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程.

4、方程的增根：在方程变形时,产生的不适合•康方程的根叫做原方程的增根.

二、一元方程

1、一元一次方程

(I)一元一次方程的标准形式:ax+b=O(其中x是未知数，a、b是已知数,a*0)

(2)-玩一次方程的埴简形式:ax=b(其中x是未知数，a、b是已知数，aHO)

(3)解元次方程的♦一步骤:去分心去括号、移项、合并同类项和系数化为L

（4）一元一次方程有啡-的一个解。

2、元：次方程

（1）•元：次方程的般形式：ax2+hx+c=O（其中x是未知数.a、b、c是已知数.aW

0）

（2）•元：次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法

（3）•元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后•殷，如没有要求，•般不用配方法。

（4）一元：次方程的根的判别式:A=Z>2-4OC

,'IA>0时o方程有两个不相等的实数根：

*'|A=0时0方程仃两个相等的实数根：

aAv0时O方程没仃实数根.无解：

-IA>0时O方程有两个实数根

（5）•元：次方程根9系数的关系：

,Ac

若X1,K,是一元：次方程ad+/>x+c=0的两个根，那么：XI+x、=——.xtx2=~

aa

（6）以两个数为,x2为根的一元二次方程（.次项系数为I）是：.--区+毛）》+14=0

三、分式方程

（】）定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）分式方程的解法：

•般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊力.法：换元法。

（3）检验方法：般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程

的根：使得以简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入

原方程检验.

四、方程组

1、方程组的解：方程组中各方,程的公共解叫做方程绢的解。

2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解力.程组

3、一•次方程组：

⑴二元•次方程组：

a,x+b,v=c.

,般形式：'（a”。,,仇小企为0）

a2x+b2y=c2

解法：代入消远法和加减消元法

解的个数：有唯一的解，或无解，”1两个方程相同时有无数的解.

（2）三元次方程组：

解法：代人消元法和加减消无法

4、二元二次方程组：

（1）定义：由个二元一次方程和个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元:次方程组

成的方程组叫做二元二次方程组.

（2）解法:消元,转化为解元:次方程，或者降次,转化为:元一次方程组.

专题五函数

知识要点：

知识点1、平面直角坐标系与点的坐标

•个平面被平面it用坐标分成四个象限，平而内的点可以用•对花序实数来衣示平面内的点。

仃序实数对让••对应关系，各象限内点都仃自己的特征，特别要注意坐标轴上的点的特征。点p

（X、y）在x轴上oy=0,x为任意实数，

点P（x、y）在y轴I：,ox=0,y为任意实数，点P（x、y）在坐标原点ox=0.y=0。

知识点2、对称点的坐标的特征

点P（x、y）关于x轴的对称点R的坐标为（x,-y）：关于y轴的对称轴点P2的坐标为（一x,

y）；关于原点的对称点P3为（-x,-y）

知识点3、距离与点的坐标的关系

点P（a,b）到x轴的距离等f•点P的纵坐标的绝对值,即IbI

点P（a.b）到y轴的距离等「点P的横坐标的绝封位，即Ia|

点P（a,b）到收点的距悬等F：>la2+h2

知识点4、与函数有关的概念

函数的定义，函数自变状及函数值：函数自变战的取件必须使解析式仃意义与解析式是整式时.

自变量取-切实数，当解析式是分式时,要使分母不为零，当解析式是根式时，自变录的取值要使

被开方数为非负数,特别地，在一个函数关系中，同时有几种代数式,函数门变M的取佗范围应是

各种代数式中门变n取值范用的公共部分。

知识点5、己知函数解析式，判断点P（X,y）是否在函数图像上的方法，弃点P（x,y）的坐

标适合函数解析式，则点P/EK：图象匕苔点P/H图象匕则P（x,y）的坐标适合函数解析式.

知识点6、列函数解析式解决实际问题

设x为门变化y为x的函数，先列出关广x,y的：元方程，再用x的代数式表示y.城后写

出门变量的取值范围.要注意使自变量在实际问题中有意义。

知识点7、•次函数叮正比例函数的定义：

例如：y=kx+b（k,b是常数，k#0）那么y叫做x的•次函数，特别地节b=0时，•次函

数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k^O）这时.y叫做x的正比例函数。

知识点8、次函数的图象和件质

•次函数y=kx+b的图象是经过点（0,b）和点（一50）的条11线，k值决定直线白

左向4是上升还是卜一降，b值决定宜线交于y轴的正华轴还是负半轴或过原点。

知识点9、两条直线的位置关系

设宜线£।和£2的解析式为y=kpc+b|和y2=k2x+b2则它们的位置关系由系数关系确定

■Wk?。ti'jf?相交,

k|=k:.与f2平行

k|=k；»b|=b2O，i'J，：爪令♦

知识点10,k的求法

知识点11、反比例函数的定义

形如：丫=与或丫=1«।(k是常数LLk#0)叫做反比例函数，也可以写成xy=k(kWO)形式,

x

它表明在反比例函数中门变Hx。式对应的函数值y之枳券尸己知常数k.

知识点12、反比例函数的图像和性质

反比例函数的图像是双曲线,它是以原点为对称中心的中心对称图形，同时乂是口线y=x或y

=-x为对称轴的轴对称图形，“ik>0时，图像的两个分支分别花•、三象限,在传个象限内y附

x的增大而减小，”lk<0时，图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而

增大.

知识点13、反比例函数中比例系数k的几何意义.

过双曲线上任意•点P作x轴、y轴的乖线PA、PB所得矩形的PAOB的而枳为小

知识点14、二次函数的定义

形如：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a#0)那么y叫做x的二次函数,它常用的•:种基本

形式。

■股式：y=ax2+bx+c(aWO)

顶点式：y=a(x-h)2+k(a^O)

交点式:y=a(x—X))(x-x2)(a#0,X］、x?是交点与x轴交点的横坐标)

知识点15、二次函数的图象与性质

二次函数y=ax?+bx+c(aXO)的图望是以(一旦坐土)为顶点，以直线y=-_L为

2a4a2a

对称轴的抛物线.

在a>0时，抛物线开口向上，在时称轴的左侧，即xV-2"时，y随x的增大而减小：在对称

2a

轴的右侧，即当x>-—时，y随着X的增大而增大.

2a

在aVO时，抛物线开口向3在对称轴的左侧，即XV-段•时，y的若x的增大而增大。住对

2a

称轴的右侧,即当x>-上•时,y随着x的增大而减小。

2a

Mia>0,/Ex=-=时，y力最小值，y-二,

2a4a

当a<0,在x=-=b时，y有最大值,丫­=竺4ac——-b~.

2a4a

知识点16、二次函次图象的平移

:次函数图象的平移只要移动顶点坐标即

知识点17、：次函数y=ax'+bx+c的图象。坐标轴的交点.

(I)9y轴永远有交点(0.c)

(2)在b?-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点,A(x,,0),B(x2.0)这两点距离为AB

=|X|—Xz|.(X|»x?是ax'+bx+c=0的两个根)。

在b‘一4ac=0时，抛物线1jx轴只有个交点。

A-b2-4ac<0时,则抛物线与x轴没有交点«

知识点18、求二次函数的最大值

b4uc-b~

常见的有两种方法：(1)H接代人顶点坐标公式(-J,八

2a4a

(2)：|^y=ax2+bx+c配方，利用非负数的性质进行数值分析。

两种方法各有所长,第•种方法过程简单,第:种方法有技巧.

知识点19.抛物线y=ax2+bx+cH'.a,b、c的作用

(1)。决定开I」方向及开口大小，这，y=a/中的a完全样.

⑵人和a共同决定抛物线对称轴的位置,由广抛物线v=av+bx+c的对称轴是内线、=,故:

1(1

①〃=0时，对称轴为V轴：②2>0(即*b同号)时,而称轴在y轴左政

a

③2<o(即a、b异号)时,对称轴在v轴4侧.

a

(3)c的大小决定抛物线y=ar-+bx+c'-jy轴交点的位置.

当x=0时，y=c,...抛物线y=ax，+5x+c'jy轴有且只仃一个交点(0,c)：

①c=0,抛物线经过原点：②c>0,。y轴交广正半:轴：③c<0,。y轴交于负卡轴.

以上三点中，芍结论和条件日换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧,则1<0.

知识点20.汽线。抛物线的交点

(1)y轴。弛物线y=av2+bx+c得交点为(0,c)

⑵ijy轴平行的一线x=〃与抛物线)，+br+c仃旦只行个交点(儿Hz?+bh+c).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数7=⑪2+辰+。的图像。工轴的两个交点的横坐标王、X,,址对应•元二次方程

ax2+bx+c=Q的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元:次方程的根的判别式

判定：

①行两个交点。△>0u>抛物线、x轴相交：

②有一个交点(顶点在x轴上)o△=0o抛物线与x轴相切:

③没有交点oA<0o抛物线'■]x轴相岗.

(4)平行FX轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有。个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵

坐标为A.则横坐标是ax2+hx+c=k的两个实数根.

⑸一次函数)，=h+#0)的图像/。二次函数y=a?+加+工0)的图像G的交点，由方

程组

.•■\的解的数II来确定：

y=ax'+bx+c

①方程组仃两组不同的解时o/VG仃两个交点：

②方程组只有一组解时o/与G只有一个交点;③方程组无解时。I与G没行交点.

⑹抛物线与X轴两交点之间的距离：若抛物线J，=a6+bx+c|3轴两交点为713,0)，8卜2,0),

.hc

由于西、x,是方程ad+/>x+c=0的两个根，故N+电=——班・毛=一

aa

\b:-4ac而

Z8=|X|=J(*_.rj=-xj_4.%七=

J(M=~w~=¥

知识点21.：次函数叼一元：次方程.的关系：

(1)•元：次方程、=欠2+袅+c就是.次函数y=a/+6X+C节函数V的值为。时的情况.

(2)二次函数y="2+/>x+c的图象与x轴的交点行：种情况：有两个交点、有一个交点、没有

交点：当,次函数y=ad+&t+c的图象与％轴仃交点时.交点的横坐标就是'”=0时自变

htx的值，即•元：次方程ad+fer+c=0的根.

⑶”i：次函数y=ad+加+c的图象与x轴行两个交点时，则一元二次方程y=ad+bx+cH

两个不相等的实数根：当二次函数y=ad+/w+c的图象9x轴有一个交点时，则一元二次方

程a/+〃x+c=0仃两个相等的实数根；当：次函数y+6x+c的图象9x轴没有交点

时，则无二次方程笈+c=0没仃实数根

专题六统计与概率

知识要点：

知识点1、调查收集数据过程的一般步骤

调件收集数据的过程•股行卜列六步：明确调代问题、确定调台对象、选择调台方法、展开调

簧、记求结果、得出结论.

知识点2、调查收集数据的方法

用传是通过调借总体的方式来收集数据的，抽样调杳是通过调件样本方式来收集数据的.

知识点3、统计图

条形统计图、折线统计图、扇形统计图是二种最常用的统计图.这三种统计图各具特点:条形

统计图可以H观地反映出数据的数收特征：折线统计图可以修观地反映出数据的数量变化规律：扇

形统计图可以出观地反映出各部分数谈在总属中所占的份额.

知识点4、总体、个体、样本、样本容量

我们把所要考杳的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考杳对象叫做个体.从总体中取

出的•部分个体叫做总体的•个样本.样本中包含的个体的个数叫做样本容植.

知识点5、简单的随机抽样

用抽铝的办法决定哪些个体进入样本.统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样.

知识点6、频数、频率

在汜京实验数据时，每个对象出现的次数称为频数.每个对象需现的次数。总次数的比值(或

者百分比)称为频率.

知识点7、绘制频数分布直方图的步骤

①计算用大值9业小值的弟：②决定绢踉和细数：③决定分点；④画频数分布衣：⑤晒出频数

分布“力图.

知识点8、平均数

在--组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数.

知识点9、中位数

将•组数据从小到大依次抻列,位于正中间位置的数(或汨中间两个数据的平均数)叫做这组

数据的中位数.

知识点10、众数

在•组数据中，出现频数坡多的数叫做这组数据的众数.

知识点11、加权平均数.

在组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权乖

后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数.

知识点12、极差

•组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差.

知识点13、方差：

我们可以用“先平均，再求整,然后平方,最后再平均”得到的结果表示•组数据偏岗平均值

的情况，这个结果通常称为方差.

计算方羌的公式：设一组数据^x,.x2,x3,-xn,X是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：

22:2:

s=：[(X[-X)+(x,-x)+(x,-x)+…+(xn-x)]

知识点14、标准差：

•组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准典.

用公式可我示为:

2

S=-五)2+(x2-X)-+…+(xn-x)]

知识点15、确定事件

那些无需通过实验就能纺预先确定它们在每•次实验中都•定会发生的中件称为必然召件.那

些在每次实验中都一定不会发生的表件称为不可能事件.必然事件和不可能小件统称为确定事件.

知识点16、随机事件

无法先确定在一次实验中会不会发生的小件称为不确定事件或随机事件.

知识点17＞概率

表示一个群件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率.

知识点18、概率的理论计算方法有：①树状图法；②列表法.

专题七图形的认识

知识要点:

知识点1、生活中的立体图形

I.生活中的常见立体图形有：球体、柱体、一体，它们之间的关系如卜所示

圆柱

■:棱柱

柱体

棱柱四棱柱

五棱柱

圆锥

三棱锥

。:体图形锥体

棱锥四棱锥

五棱锥

球体

2.多面体：由平面国成的立体图形叫做多面体

知识点2、由立体图形到视图

1.视图：（1）R棱柱、断柱、圈锥、球的三视图（主视图、左视图、俯视图）

（2）简一的儿何体与其三视图、展开图

（3）由三视图猜想物体的形状

2.通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用（如物体的包装）.

俯视图反映物体的长和蜜,卜视图反映了它的长和高.左视图反映了宽和高.所以X视图和俯

视图的长度相等，且互相对正,即“长对正”主视图与左视图的高度相等，且互相平齐,即“高平

齐”俯视图与左视图的宽度相等,即“宽相等”

知识点3、立体图形的展开图

胧柱的侧面展开图是•个矩形，-边长为母线的长,另•边是底面的周长.

一傩的侧面展开图是个扇形,其中朗形的半径是内锥的母线长,弧长是底面网的周长

正方形的展开图的形状比较多

知识点4、平行投影和中心投影

平行投影:在平行光线的照射下,物体所产生的影称为平行投影.

1.在平行光线的照射F.不同物体的物高。影长成比例.

2.物体在阳光F的影长与方向随时间的变化而变化

3.太阳光可以看作是一束平行光线

中心投影：花点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.

1.在点光源的照射V,不同物体的物高与影长不成比例.

2.在灯光下,不同位置的物体，一子的长短和方向都是不同的,但是任何物体上的一点与其影子

的对应点的连线定经过光源所在的点.

知识点5、线段、射线、直线

(1)连接两点的所有线中,线段最短.

线段的垂H平分线上的点到这条线段的两端的距岗相等

(2)射线、线段可以看作比线的•部分

知识点6、角

(II公共端点的两条射线所组成的图形叫做角

1周角=2平角=4-角=360度

冗余和互补:如果两个角之和是•个点角，那么这两个角死余

如果两个角之和是个平向，那么这两个例［补

知识点7、垂直

(I)两条直线相交的四个角中有一个为直角时,称这两条电线互相垂直,交点叫垂足.

(2)在同平面内,经过此线外(h)•点,有且只有条直线与已知直线垂直.

(3)在线外这个点到垂足间的线段叫做点到北线的距离.

知识点8、平行线

1.平行线:在同•平面内,不相交的两条直线.

2.两条直线被第三条直线所截,出现的三种角:一位角,内错角,同旁内角.

一线m截直线a,b成如图所示的8个角,在图中:

同位角：N1和N5,N2和N6,N3和N7,N4和N8：

内错角：N3和/5.N4和/6：

同旁内角：N3和N6.N4和N5.

3.平行公理经过已知巨线外•点有且只有条直线与已知直线平行.

4.平行线的判定方法：

同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.

另外,平行于同一直线的两条立线互相平行.垂出干同一直线的两条立线互相乎行.

5.平行线的性质:

两直线平行,同位角相等.两宜线平行，内错角相等.两直线平行,同旁内角互补.

过宜线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线.

专题八解直角三角形和三角函数

知识要点：

知识点1三角形的边、角关系

①三角形任何两边之和大广第三边：

②,:角形任何两边之差小广第汕

③三角形三个内角的和等于180°：

④三角形三个外角的和等于360°；

⑤:.角形-个外角等于和它不相邻的两个内向的和：

⑥三角形一个外角大于任何个和它不相邻的内角.

知识点2三角形的主要线段和外心、内心

①三角形角角平分线、中线、高；

②三角形•:边的乖克平分线交上一点，这个点叫做:角形的外心.•:用形的外心到各顶点的跑

离相等：

③三角形的:条角平分线交于一点,这个点叫做•:角形的内心.:角形的内心到•:边的距离相

等：

④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行尸第三边且等『•第三

边的一半。

知识点3等腰三角形

等腰三角形的识别:

①有两边相等的三例形是等腰三角形：

②有两俗相等的三角形是等腰三用形（等角对等边）：

③三边相等的三角形是等边二:角形：

④三个角都相等的三珀形是等边•:角形；

⑤有个角是60°的等腰•:明形是等边三角形。

等腰三角形的性质：

①等功对等用；

②等腰三角形的顶角平分平、底边上的中线、底边上的高互相屯合:

③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的时称轴：

④等边•:角形的：个内向都等『60°。

知识点4直角三角形

直角三角形的识别:

①有•个角等于90°的三角形是克角三角形;

②有两个向五余的•:角膨是汽角=角形：

③勾股定理的逆定理：如果个：角形两边的平方和等广笫三边的平•方，那么这个三用形是宜

角三角形.

直角三角形的性质:

①宜角三角形的两个锐角互余：

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的*半:

③勾股定理：有用：角形两广［角边的平方和等广斜边的平方.

知识点5全等三角形

定义、判定、性质

知识点6相似三角形

定义

相似三角形L,j鬻:曾鬻等诙角相等

判定方法｛两个对此角相等

■:条对应边的比相等

对应边的比

相似洸形的性质对应高的比,等「相似比

周长比

面积比=相以比平方

知识点7锐角三角函数与解直角三角形

**ina=COA(90-a)

锐用三角函数场卜

r-r——।tanQ=cot(90-a)

-------T特殊角三角函数I

日三边关系I

|--IW凌希关系I

傲化——直角：角形

问题常用术语产

坡度

方位角

1、勾股定理：1'「角-:角形两I'L/fliZia、•的平方和等「斜边c的平方。\a2+h2=c2\

2、如卜图，/ERtAABC中，/C为H角.则NA的锐角：角函数为（/A可换成/B）：

\定义表达式取值范围关系（A+B=90）

正,4的对边0<sin1<1

曲”=斜边sinJ=cos8

弦（为锐角）

ZAcosJ=sin

余.//的邻边0<cos/1<1sin2A4-cos2A=1

cosA=—rrn-----

弦斜边（ZA为锐角）

正.4的对边tan4>0tan/=col8

3,1'-NA的邻边

切（ZA为锐角）cotJ=tanZ?

ian/=」一（倒数）

cotA

余,“乙4的邻边cotJ>0

cotA=----7；~~--

切4的对边（ZA为锐角）tanJ-cotJ=I

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：任意锐角的余弦值等F它的余角的正弦值。

sinA=cosB由乙<+N8=90°、sinA=cos（90°-A）

cosA=sinB得NB=90°-NA>cosA=sin（900-A）

4、任意锐向的正切侑等「它的余用的余切值：住意锐用的余切值等了•它的余角的正切值。

tanA=cotB由/力+/8=90°tanA=cot（900-A）

cotA=tanB-ftJZB=90°-ZA^co（A-tan（900-A）

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要）

三角函数0°30°45°60°90°

sina

cosa

tana-

cota-

6、正弦、余弦的增减性：

,-0。WaW90°时，sina随a的增大而增大，cosa随a的增大而减小。

7、正切、余切的增减性:

当0。<a<90°时，“ma随a的增大而增大，cota前a的增大而减小.

8、解立角三角形的定义:已知边和角（两个,其中必行边）一所有•未知的边和角.

依据：①边的关系：/+〃=/：②角的关系：A+B=90。：③边用关系：•:角函数的定义。

（注意：尽心避免使用中间数据和除法）

9、应用举例：

（1）仰角：视线在水平线上方的角:俯角：视线在水平线下方的角。

（2）坡面的铅「（高度〃和水平宽度/的比叫做坡度（坡比）。用字母，表示，即1=，。坡度♦殷巧成

1:，〃的形式，如，=1:5等。

把坡面与水平面的夹角记作a（叫做坡角），那么i=，=tana.

10、从某点的指北方向按顺时针转到11标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA,OB,OC、

OD的方向角分别是：45°、135°、225°.

11、指北或指南方向线与目标方向线所成的小广90°的水平角,叫做方向角.如图4QA、OB、

OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向）.南偏东45°（东南方向），

南偏西60,（西南方向），北偏西60'（西北方向）。

12已知个-:角函数值，求其他三角函数值.

2

例：sin/=m,则cosA,tanA,cotA

13三角形面枳公式:

s=-ah=—abcosC（C为a,b边的夹角）

22

专题九四边形

知识要点：

知识点1:图形的变换与镶嵌

图

案

欣

赏

与

设

计

知识点2：四边形的定义、判定及性质

富

情

境

图

知识点3：矩形、菱形及正方形的判定

知识点4：矩形、菱形及正方形的