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第第页冲刺“985”优等生拔高讲义——专治学霸各种不服【专题09】不等式专题目录【问题一】不等式的恒成立、恰成立、能成立问题【问题二】线性规划中的参数问题【问题三】利用基本不等式处理最值问题和实际问题纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题:恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分.解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法:①函数性质法;②主参换位法;③分离参数法;④数形结合法;⑤消元转化法.下面我就以近几年高考试题为例加以剖析.给定一次函数(),若在内恒有,则根据函数的图像(线段)可得,上述结论等价于:①或②,可合并定成;同理,若在内恒有,则有.【例1】若不等式对满足的所有都成立,求的范围.有以下几种基本类型:设().①在上恒成立且;在上恒成立且.②当时,在上恒成立或或;在上恒成立.③当时,在上恒成立;在上恒成立或或.【例2】已知不等式对任意实数恒成立,则取值范围是()A.B.C.D.【例3】已知函数,,若对于任一实数,与的值至少有一个为正数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.恒成立(注:若的最小值不存在,则恒成立的下界大于0);恒成立(注:若的最大值不存在,则恒成立的上界小于0).【例4】已知函数()在处取得极值,其中、为常数.(1)试确定、的值;(2)讨论函数的单调区间;(3)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围.【例5】设函数(),其中、.若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.【例6】设函数,其中常数.若当时,恒成立,求的取值范围.(节选)若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围.利用分离参数法来确定不等式(,为实参数)恒成立中参数的取值范围的基本步骤:①将参数与变量分离,即化为(或)恒成立的形式;②求在上的最大(或最小)值;③解不等式(或),得的取值范围.适用题型:(1)参数与变量能分离;(2)函数的最值易求出.【例1】已知函数,若,则的取值范围是()A.B.C.D.【例2】当时,不等式恒成立,则的取值范围是_____________.【例3】已知函数,其中.(1)当、满足什么条件时,取得极值?(2)已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.【例4】设函数,对任意的,恒成立,则实数的取值范围是_____________.某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果.【例1】已知函数,,且对任意的实数均有,.(1)求函数的解析式;(2)若对任意的,恒有,求的取值范围.【例2】已知函数,其中为实数.已知不等式对任意的都成立,求实数的取值范围.若所给不等式进行合理的变形化为(或)后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.【例1】若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【例2】若不等式在内恒成立,求实数的取值范围.【例3】若不等式(且)对于任意都成立,求的取值范围.【例1】已知是定义在上的奇函数,且,若、,当时,,若对于所有的,恒成立,求实数的取值范围.上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,虽然方法表现的不同,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正体现了数学中的“统一美”.若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上;若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的,特别注意不等式能成立问题(即不等式有解问题)与恒成立问题的区别.从集合观点看,含参不等式()在区间上恒成立;含参不等式在区间上恒成立.而含参不等式在区间上能成立至少存在一个实数使不等式成立;而含参不等式在区间上能成立至少存在一个实数使不等式成立.【例1】若关于的不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是_____________.【例2】已知函数()存在单调递减区间,求的取值范围.【例1】已知,当时,的值域是,则实数的值为__________.【例2】已知,.(1)若存在,使得,求实数的取值范围;(2)若存在,使得,求实数的取值范围;(3)若对任意,恒有,求实数的取值范围;(4)若对任意、,恒有,求实数的取值范围;(5)若对任意,存在,使得,求实数的取值范围;(6)若对任意,存在,使得,求实数的取值范围;(7)若存在、,使得,求实数的取值范围;(8)若存在、,使得,求实数的取值范围.一、选择题1、若存在正数使成立,则的取值范围是()A.B.C.D.2、设,在上恒成立,则的最大值为()A.B.C.D.3、设集合,集合.若中恰含有一个整数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.4、设函数,若对任意给定的,都存在唯一的,满足,则正实数的最小值是()A.B.C.2D.45、函数,当时,恒成立,则的最大值是()A.3B.C.4D.6、已知集合、、,且、、恰有一个成立,若且,则下列选项正确的是()A.,B.,C.,D.,7、已知,,若对任意的,存在,使,则实数的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题8、已知,,若恒成立,则实数的取值范围是_____________.9、若正实数、满足,且不等式恒成立,则实数的取值范围是_____________.10、若函数对任意的,恒成立,则_____________.11、若函数(且),满足对任意实数、,当时,,则实数的取值范围为_____________.12、若对满足条件的正实数、都有恒成立,则实数的取值范围为_____________.13、对于在区间上有意义的两个函数与,如果对于区间中的任意均有,则称与在上是“密切函数”,称为“密切区间”,若函数与在区间上是“密切函数”,则的最大值为_____________.三、解答题14、已知函数,.(1)求函数在()上的最小值.(2)对一切的,恒成立,求实数的取值范围.(3)求证:对一切的,都有.15、已知二次函数,若对于任意的、,恒有成立,不等式的解集为.(1)求集合;(2)设集合,若集合是集合的子集,求的取值范围.16、已知实数,,且,若恒成立.(1)求实数的最小值;(2)若对任意的、恒成立,求实数的取值范围.17、已知函数,函数.(1)若,求不等式的解集;(2)若对任意的,均存在,使得成立,求实数的取值范围.18、已知函数,,.(1)当时,若对任意的恒成立,求实数的取值范围;(2)当时,求函数的最小值.简单的线性规划有很强的实用性,线性规划问题常有以下几种类型:①平面区域的确定问题;②区域面积问题;③最值问题;④逆向求参数问题.而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值.若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点(即最优解),将点的坐标代入目标函数求得参数的值.【例1】已知、满足约束条件,若取得最大值的最优解不唯一,则实数的值为()A.或B.2或C.2或1D.2或【练习1】已知、满足约束条件,若的最大值为4,则()A.3B.2C.D.【例2】已知变量、满足约束条件,若目标函数()的最大值为1,则_____________.【例3】设、满足约束条件,若目标函数(,)的最小值为2,则的最大值为_____________.【练习2】设、满足约束条件,若目标函数(,)的最大值为12,则的最小值为()A.B.C.D.4【例4】设不等式组表示的平面区域为,若圆()不经过区域上的点,则的取值范围是()A.B.C.D.【练习3】设二元一次不等式组所表示的平面区域为,使函数(且)的图象过区域的的取值范围是()A.B.C.D.由于约束条件中存在参数,所以可行域无法确定,此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值,来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域,从而确定参数的值.【例5】“QUOTEm≥3”是“关于、的不等式组QUOTEx≥02x-y≤0x-y+1≥0x+y-m≤0表示的平面区域为三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【练习4】实数、、满足,若的最大值为13,则的值为()A.1B.2C.3D.4【例6】设,在约束条件下,目标函数的最大值大于2,则的取值范围为()A.B.C.D.【练习5】设、满足约束条件,且的最小值为7,则()A.B.3C.或3D.5或1、设、满足不等式组,若的最大值为,最小值为,则实数的取值范围为()A.B.C.D.2、已知,实数、满足约束条件,若的最小值为1,则()A.B.C.1D.23、已知由不等式确定的平面区域的面积为7,则的值()A.B.C.D.24、变量、满足约束条件,若的最大值为2,则实数等于()A.B.C.1D.25、已知,实数、满足约束条件,若的最大值为,则()A.B.C.1D.26、实数、满足(),且的最大值是最小值的4倍,则的值是()A.B.C.D.7、若、满足,且的最小值为,则的值为()A.1B.C.2D.8、若、满足约束条件,目标函数仅在点处取得最小值,则实数的取值范围是()A.B.C.D.9、设点是区域内的随机点,函数在区间上是增函数的概率为()A.B.C.D.10、设,其中实数、满足,若的最大值为12,则的最小值为__________.11、若实数、满足,其中,若使得取得最小值的解有无穷多个,则等于()A.1B.2C.D.312、变量、满足约束条件,若使取得最大值的最优解有无数个,则实数的取值集合是()A.B.C.D.13、设关于、的不等式组,表示的平面区域内存在点满足,求得的取值范围是()A.B.C.D.14、当实数、满足不等式时,恒有成立,则实数的取值集合是()A.B.C.D.15、三个正数、、满足,,则的取值范围是()A.B.C.D.16、函数为定义在上的减函数,函数的图像关于点对称,、满足不等式,,,为坐标原点,则当时,的取值范围为()A.B.C.D.17、已知函数的图像过原点,且在原点处的切线的斜率是,则不等式组所确定的平面区域在圆内的面积为()A.B.C.D.18、已知实数、满足不等式组,若目标函数取得最大值时的唯一最优解是,则实数的取值范围为()A.B.C.D.19、已知、满足不等式组,当时,目标函数的最大值的变化范围是()A.B.C.D.20、已知的顶点为、、,在内部(包括边界),若目标函数()取得最大值时的最优解有无穷多组,则点的轨迹可能是()21、若关于、的不等式组(是常数)所表示的平面区域的边界是一个直角三角形,则_____________.22、若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数的取值范围是_____________.23、设实数、满足约束条件,若目标函数(,)的最大值为8,则的最小值为_____________.24、若不等式组表示的平面区域是一个四边形,则实数的取值范围是_____________.25、如图,已知可行域为及其内部,若目标函数当且仅当在点处取得最大值,则的取值范围是_____________.不等式问题始终是高考数学的热点题型之一,而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一.下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例,对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析,供参考.1、若、,则;若、,则(当且仅当时取“”).2、若,,则;若,,则(当且仅当时取“”);若,,则(当且仅当时取“”).3、若,则(当且仅当时取“”);若,则(当且仅当时取“”);若,则,即或(当且仅当时取“”).4、若,则(当且仅当时取“”);若,则,即或(当且仅当时取“”).5、若、,则(当且仅当时取“”).1、一个重要的不等式链:.2、三元二次不等式链:.3、函数(,)图象及性质(1)函数(,)图象如图所示:(2)函数(,)性质:①值域:;②单调递增区间:;;单调递减区间:;.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”;(2)求最值的条件:“一正,二定,三相等”;(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.利用基本不等式求函数最值时,应注意三个条件:“一正,二定,三相等”,这三个条件中,以定值为本.因为在一定限制条件下,某些代数式需经过一定的变式处理,才可利用基本不等式求得最值,而怎样变式,完全取决于定值的作用.主要有两种类型:一类是中条件给出定值式,一类是条件中无定值式.【例1】已知、,且,则的最小值为()A.B.6C.D.12【练习1】设、是正实数,且,则的最小值是_____________.【例2】已知二次不等式的解集为,且,则的最小值为()A.B.C.D.【练习2】将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则的最小值是_____________.【例3】已知,求函数的最大值.【练习3】已知,,,则的最小值是()A.4B.5C.6D.7【例4】当时,求的最大值.【练习4】设,求函数的最大值.【例5】求()的值域.【练习5】已知、都是负实数,则的最小值是()A.B.C.D.【例6】求()的值域.【练习6】已知、为正实数,,求的最小值.多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错.【例7】已知,,且,求的最小值.【练习7】若圆上存在两点关于直线(,)对称,则的最小值为()A.5B.7C.D.9【例8】已知、为正实数,,求函数的最值.【练习8】求函数()的最大值.要求一个目标函数的最值,我们利用基本不等式构造一个以为主元的不等式(一般为二次不等式),解之即可得的最值.【例9】已知,,,则的最小值为()A.3B.4C.D.【例10】设、为实数,若,则的最大值是_____________.【练习9】若实数、满足,则的最大值是_____________.【练习10】若正数、满足,则的最小值为_____________.【例11】若已知、、,则的最小值为_____________.【练习11】设、、、是不全为零的实数,求的最大值.【练习12】设、、是正实数,求的最小值.综上所述,应用均值不等式求最值要注意:①一要“正”:各项或各因式必须为正数;②二可“定”:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错;③三能“等”:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值.基本不等式(,)具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能,并且有很多不同的变形,如:,,,()等,所以利用基本不等式及其变式证明不等式既方便又具有很大的技巧.【例1】设,,,求证:.【例2】已知,,且,求证:.【练习1】已知,,,且,求证:.【练习2】若,,且,求证:.【例3】已知,,且,求使不等式恒成立的实数的取值范围.【练习3】若对任意的正实数、恒成立,求的最小值.【例4】若,,,,则、、的大小关系是_____________.【例5】有一边长为、()的长方形纸板,在四个角各裁出一个大小相同的正方形,把四边折起做成一个无盖的盒子,要使盒子的容积最大,问裁去的正方形的边长应为多少?1、已知正实数、满足,则的最小值是()A.B.C.D.62、已知,,,则的最小值是(
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