【青松雪】【高中数学】【冲刺985拔高系列讲义】【专题07】解析几何

第第页冲刺“985”优等生拔高讲义——专治学霸各种不服【专题07】解析几何专题目录【问题一】与圆有关的最值问题【问题二】求解离心率的范围问题【问题三】椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题【问题四】圆锥曲线的最值、范围问题【问题五】圆锥曲线的定值、定点问题【问题大】圆锥曲线的存在、探索问题通过对近几年高考试题分析比较发现，高考对直线与圆的考查，呈现逐年加重的趋势，与圆有关的最值问题更是高考的热点问题．由于圆既能与平面几何相联系，又能与圆锥曲线相结合，命题方式比较灵活，故与圆相关的最值问题备受命题者青睐．本文就此问题从内容和处理方法上进行归纳，以帮助同学们攻克这个难点．利用公式（）将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起，通过正切函数的图像可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值，或者已知倾斜角的范围探求斜率的最值．处理方法：利用正切函数在上的函数图象，借助函数的单调性求解．如图所示，在和这两个区间斜率都是随着倾斜角的增大而增大，但是在整个区间不是单调的，做题时要特别注意这个特点．【例1】坐标平面内有相异两点、，经过两点的直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【练习1】经过作直线，若直线与连接、的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为________________，________________．在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题．常见的结论有：①圆外一点到圆上距离最近为，最远为；②过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离，最近为；④过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积；⑤直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；⑥两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．【例2】过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程是________________．【例3】若关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）A．2B．3C．4D．6【练习2】在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点、，满足，则半径的取值范围是（）A．B．C．D．与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．【例4】在平面直角坐标系中，、分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）A．B．C．D．【例5】动圆经过点，并且与直线相切，若动圆与直线总有公共点，则圆的面积（）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最小值【练习3】设、，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为2，为坐标原点，则面积的最小值为（）A．3B．4C．2D．处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．【例6】已知实数、满足方程，求：（1）的最大值和最小值；（2）的最大值和最小值；（3）的最大值和最小值．【练习4】设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是________________．根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解．【例7】设、分别为和椭圆上的点，则、两点间的最大距离是（）A．B．C．D．如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值．同时需要注意，“一正二定三相等”的验证．【例8】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是________________．1、已知点（），点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（）A．B．2C．3D．2、已知是直线（）上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为（）A．3B．C．D．23、直线（、）与圆相交于、两点，且是直角三角形（是坐标原点），则点与点之间距离的最大值是（）A．B．4C．D．QUOTE24、已知圆，若等边的一边为圆的一条弦，则的最大值为（）A．B．C．D．5、已知，，若直线与圆相切，则的取值范围是________________．6、在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值是________________．7、已知、为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形面积的最大值为________________．8、在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线（）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是________________．9、过点的直线与圆相交于、两点，则的最小值为________________．10、在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的点，点为中点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为________________．11、设点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值是________________．12、已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是________________．13、已知圆（），点是该圆面（包括⊙圆周及内部）上一点，则的最小值等于________________．14、设点是函数图象上的任意一点，点（），则的最小值是________________．15、在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于、两点，若的面积的最大值为16，则实数的取值范围为________________．16、在平面直角坐标系中，圆的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是________________．17、已知的三个顶点、、，其外接圆为⊙．（1）若直线过点，且被⊙截得的弦长为2，求直线的方程；（2）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点、，使得点是线段的中点，求⊙的半径的取值范围．离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围．很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳．离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度．常用的方法：①直接求出、，求解：已知标准方程或、易求时，可利用离心率公式来求解；②变用公式，整体求出：以椭圆为例，如利用，；③构造、的齐次式，解出：根据题设条件，借助、、之间的关系，构造出、的齐次式，进而得到关于的方程，通过解方程得出离心率的值．根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用、、进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围．【例1】已知椭圆的中心在，右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段的垂直平分线经过点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【练习1】已知椭圆（）与圆，若在椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解．【例2】已知椭圆（）上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则椭圆离心率的取值范围是________________．【练习2】过椭圆（）的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一个点，且点在轴上的射影恰好为右焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是________________．根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围．【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【练习3】已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以、为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为（）A．B．C．D．在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆（，）中，，是椭圆上任意一点，则等．【例4】设、为椭圆（）的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为（）A．B．C．D．【练习4】已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．1、将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长（）同时增加（）个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A．对任意的、，B．当时，；当时，C．对任意的、，D．当时，；当时，2、已知椭圆（）上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．3、已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为、，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（）A．B．C．D．4、已知、是双曲线（，）的左、右两个焦点，以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点（点、均在第一象限），当直线与直线平行时，双曲线离心率取值为，则所在区间为（）A．B．C．D．5、如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，、、、为椭圆顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6、若双曲线（，）上不存在点使得右焦点关于直线（为双曲线的中心）的对称点在轴上，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．B．C．D．7、椭圆（）的左、右焦点分别为、，为椭圆上任一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8、已知点、分别是双曲线（，）的左、右焦点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．9、从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是，则这一椭圆离心率的取值范围是________________．10、已知、是椭圆（）的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围是________________．11、已知是椭圆（）和双曲线（，）的一个交点，、是椭圆和双曲线的公共焦点，、分别为椭圆和双曲线的离心率，，则的最大值为________________．12、在平面直角坐标系中，已知点及直线，曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①，其中是到直线的距离；②．（1）求曲线的方程；（2）若存在直线与曲线、椭圆（）均相切于同一点，求椭圆离心率的取值范围．13、椭圆（）的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足．（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）当离心率取得最小值时，点到椭圆上的点的最远距离为，求此时椭圆的方程．14、椭圆（）与直线交于、两点，且，其中为坐标原点．（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围．通过近几年各地高考试题可以发现，对圆的考查在逐渐加深，并与圆锥曲线相结合在一起命题，成为一个新的动向．与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线相结合，可以呈现别具一格的新颖试题．为了深入明确命题动向，本文总结如下．【例1】设、分别为和椭圆上的点，则、两点间的最大距离是（）A．B．C．D．【练习1】已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，．（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围．【例2】已知椭圆．（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．【练习2】已知椭圆（）过点，且离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设直线（）交椭圆于、两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．由于双曲线具有渐近线，故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点．圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查，进而求解双曲线的几何性质，如离心率的求解．【例3】已知点（）是双曲线的左焦点，离心率为，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点，且点在抛物线上，则（）A．B．C．D．【练习3】双曲线（，）的右焦点为，以原点为圆心，为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若此圆在点处的切线的斜率为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【例4】已知双曲线的左右焦点分别为、，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则（）A．B．C．D．与关系不确定【练习4】已知点、为双曲线（）的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：．【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧，它的口宽是的，杯深20，在杯内放一玻璃球，当玻璃球的半径最大取________________时，才能使玻璃球触及杯底．【练习5】已知圆的圆心为抛物线的焦点，直线与圆相切，则该圆的方程为（）A．B．C．D．【例6】已知抛物线（）的准线与轴交于点，过点作圆的两条切线，切点为、，．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线上的点作圆的两条切线，切点分别为、，若、、（为原点）三点共线，求点的坐标．【练习6】已知抛物线（）的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且．（1）求的方程；（2）过的直线与相交于、两点，若的垂直平分线与相较于、两点，且、、、四点在同一圆上，求的方程．1、以椭圆（）的左右焦点、为直径的圆若和椭圆有交点，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．2、设是椭圆上一点，、分别是两圆：和上的点，则的最小值和最大值的分别为（）A．9和12B．8和11C．8和12D．10和123、已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．4、如图，已知椭圆，双曲线（，），若以的长轴为直径的圆与的一条渐近线交于、两点，且与该渐近线的两交点将线段三等分，则的离心率为（）A．B．5C．D．5、已知抛物线，点是圆上任意一点，记抛物线上任意一点到直线的距离为，则的最小值为（）A．5B．4C．3D．26、过双曲线（，）的左焦点作圆的两条切线，切点分别为、，双曲线左顶点为，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7、已知椭圆（）过点，且长轴长等于4．（1）求椭圆的方程；（2）、是椭圆的两个焦点，⊙是以、为直径的圆，直线与⊙相切，并与椭圆交于不同的两点、，若，求的值．8、已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于、两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点、，设到的距离为，求的取值范围．9、已知椭圆（）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于、两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．10、如图，已知椭圆（）的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆（），设圆与椭圆交于点、．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程；（3）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、分别与轴交于点、，为坐标原点．试问：是否存在使最大的点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．11、圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为．（1）求的方程；（2）椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于、两点，若以线段为直径的圆心过点，求的方程．12、如图所示，已知、、是长轴长为4的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆中心，且，．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由；（3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条线，切点分别为、，若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值．13、平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，左、右焦点分别是、．以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于、两点，射线交椭圆于点．①求的值；②求面积的最大值．与圆锥曲线有关的范围、最值问题，各种题型都有，既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究，又对最值范围问题有所青睐，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识，紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化，充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用，本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法，以引起读者注意．借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．【例1】已知、是椭圆内的两个点，是椭圆上的动点，求的最大值和最小值．【练习1】已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题，是常规方法，关键是选择恰当的变量为自变量．【例2】已知椭圆（）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程．（2）设为椭圆上一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．【练习2】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为（）的直线交椭圆于、两点，且、、成等差数列，点，求的最大值．利用点在二次曲线上，将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．【例3】若点、分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任一点，则的最大值为________________．【练习3】抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又已知点，则的取值范围是________________．该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系，通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系，通过分离参数，借助一边变量的范围，确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系，通过选取一个参数为自变量，令一个变量为参数（主元思想），从而确定参数的取值范围．【例4】在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率，且椭圆上一点到点的距离最大值为4，过点的直线交椭圆于点、．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围．【练习4】已知圆（），若椭圆（）的右顶点为圆的圆心，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于、两点，与圆分别交于、两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围．1、已知抛物线，点是圆上任意一点，记抛物线上任意一点到直线的距离为，则的最小值为（）A．5B．4C．3D．22、已知、为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的动点，的最大值和最小值分别为（）A．9和7B．8和7C．9和8D．17和83、抛物线的焦点为，点、在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．4、设点、是椭圆上两点，若过点、且斜率分别为、的两直线交于点，且直线与直线的斜率之积为，，则的最小值为________________．5、已知为椭圆上的一个点，、分别为圆和圆上的点，则的最小值为________________．6、已知直线与抛物线交于、两点，点为直线上一动点，、是抛物线上两个动点，若，，则的面积的最大值为________________．7、已知两个动点、和一个定点均在抛物线（）上（、与不重合）．设为抛物线的焦点，为其对称轴上一点，若，且、、成等差数列．（1）求的坐标（可用、和表示）；（2）若，，、两点在抛物线的准线上的射影分别为、，求四边形面积的取值范围．8、已知椭圆（）的一个焦点为，左、右顶点分别为、，经过点的直线与椭圆交于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）记与的面积分别为和，求的最大值．9、如图，点在椭圆（）上，且点到两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆方程；（2）设与（为坐标原点）垂直的直线交椭圆于、两点（、不重合），求的取值范围．10、已知椭圆（）经过点，其离心率为，设直线与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与圆相切，求证：（为坐标原点）；（3）以线段、为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足（为坐标原点），求实数的取值范围．11、设椭圆中心在原点，焦点在轴上，短轴长为4，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线交椭圆于、两点，且，求的面积的取值范围．（3）过的直线与过的直线的交点在椭圆上，直线与椭圆的两准线分别交于、两点，求的值．12、平面内动点与两定点、连线的斜率之积等于，若点的轨迹为曲线，过点作斜率不为零的直线交曲线于点、．（1）求曲线的方程；（2）求证：；（3）求面积的最大值．13、已知抛物线，过点作直线，交抛曲线于、两点，为坐标原点．（1）求证：为定值；（2）求面积的最小值．14、设椭圆（）的左、右焦点分别为、，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．（1）求椭圆的离心率；（2）若过、、三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中垂线与轴相交于，求实数的取值范围．15、如图，设椭圆（）的左右焦点为、，上顶点为，点、关于对称，且．（1）求椭圆的离心率；（2）已知是过、、三点的圆上的点，若的面积为，求点到直线距离的最大值．圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引玉的作用．求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量、当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于、的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．【例1】已知、是椭圆上的两点，且，其中为椭圆的右焦点．（1）求实数的取值范围；（2）在轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由．【练习1】在直角坐标系中，曲线与直线（）交于、两点．（1）当时，分别求在点和处的切线方程；（2）在轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【例2】椭圆（）的离心率为，为的长轴上的一个动点，过点斜率为的直线交于、两点，当时，．（1）求的方程；（2）证明：为定值．【练习2】已知椭圆（），直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点、，线段的中点为．（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点，延长线段与交于点，四边形能否平行四边行？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．1、如图，过椭圆（）内一点的动直线与椭圆相交于、两点，当平行于轴和垂直于轴时，被椭圆所截得的线段长均为．（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得对任意过点的动直线都满足？若存在，求出定点的坐标？若不存在，请说明理由．2、已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆（）的短轴长相等，椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．3、已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；（3）过点分别作直线、交椭圆于、两点，设两直线的斜率分别为、，且，探究：直线是否过定点？并说明理由．4、已知椭圆（）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6．（1）求椭圆的方程；（2）如图，设椭圆的上、下顶点分别为、，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交轴于点、，若直线与过点、的圆相切，切点为，证明：线段的长为定值．5、如图，椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于、两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6、已知椭圆（）的离心率为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线、过原点，若．①求的最值；②求证：四边形的面积为定值．7、已知椭圆（），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于、两点，交直线于点，，．判断是否为定值？若是，计算出该定值；不是，说明理由．8、已知直线过椭圆（）的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点，且直线交椭圆于、两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，，当变化时，的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明由．9、已知椭圆（）的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）如图，、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．10、已知椭圆（）过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为（）的直线与椭圆相交于、两点，直线、分别交直线于、两点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证：为定值．圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一，它是在题设条件下探索某个数学对象（点、线、数等）是否存在或某个结论是否成立．由于题目多变，解法不一，我们在平时的教学中对这类题目训练较少，因而学生遇到这类题目时，往往感到无从下手，本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．【例1】已知椭圆（）的离心率，过点和的直线与坐标原点距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线（）与椭圆相交于、两点，试判断是否存在值，使以为直径的圆过定点？若存在求出这个值，若不存在说明理由．【练习1】如图所示，椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且．（1）求椭圆的方程；（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于、两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．【例2】在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．【练习2】已知椭圆（）的离心率为，点和点（）都在椭圆上，直线交轴于点．（1）求椭圆的方程，并求点的坐标（用、表示）；（2）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【例3】设、分别是椭圆的左、右焦点．（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值．（2）是否存在经过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．【练习3】已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在斜率为（），且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点、，且？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【例4】已知椭圆（）过点，其焦距为2．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为（），则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：①如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于、两点，求面积的最小值；②如图（2），过椭圆上任意一点作的两条