【青松雪】【高中数学】【易错点归纳总结】【专题01】集合与简易逻辑（教师版）

第1页【专题01】集合与简易逻辑1、集合元素具有确定性、无序性和互异性．在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性．例1、设、为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的有________个．【答案】8例2、设，，，那么点的充要条件是________．【答案】，例3、非空集合，且满足“若，则”，这样的共有________个．【答案】72、遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．例4、集合，，且，则实数________．【答案】0、1、3、对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为、、、．例5、满足集合有________个．【答案】74、集合的运算性质：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．例6、设全集，若，，，则________，________．【答案】，5、研究集合问题，一定要理解集合的意义，抓住集合的代表元素：如表示函数的定义域；表示函数的值域；表示函数图象上的点集．例7、设集合，集合，则________．【答案】例8、设集合，，则________．【答案】6、数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，“补集思想”常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题．例9、已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围．【答案】7、复合命题真假的判断：“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．例10、在下列说法中：（1）“且”为真是“或”为真的充分不必要条件；（2）“且”为假是“或”为真的充分不必要条件；（3）“或”为真是“非”为假的必要不充分条件；（4）“非”为真是“且”为假的必要不充分条件．其中正确的是________．【答案】（1）（3）8、四种命题及其相互关系：若原命题是“若则”，则逆命题为“若则”；否命题为“若﹁则﹁”；逆否命题为“若﹁则﹁”．特别提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假．但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“”判断其真假，这也是反证法的理论依据；（5）哪些命题宜用反证法？例11、“在中，若，则、都是锐角”的否命题为________．【答案】在中，若，则、不都是锐角例12、已知函数，，证明方程没有负数根．9、充要条件：关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件．从集合角度解释，若，则是的充分条件；若，则是的必要条件；若，则是的充要条件．例13、给出下列命题：①实数是直线与平行的充要条件；②若、，是成立的充要条件；③已知、，“若，则或”的逆否命题是“若或，则”；④“若和都是偶数，则是偶数”的否命题是假命题．其中正确命题的序号是________．【答案】①④例14、设命题；命题．若┐是┐的必要而不充分的条件，则实数的取值范围是________．【答案】10、一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为的形式，若，则；若，则；若，则当时，；当时，．例15、已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________．【答案】11、一元二次不等式的解集（联系图象，数形结合）：尤其当和时的解集你会正确表示吗？设，、是方程的两实根，且，则其解集如下表：例16、解关于的不等式：．【答案】当时，；当时，或；当时，；当时，；当时，．12、对于方程有实数解的问题：首先要讨论最高次项系数是否为0，其次若，则一定有．对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？例17、对一切恒成立，则的取值范围是________．【答案】例18、关于的方程有解的条件是什么？特别地，若在内有两个不等的实根满足等式，则实数的范围是________．【答案】，其中为的值域；13、一元二次方程根的分布理论：方程（）在上有两根、在上有两根、在和上各有一根的充要条件分别是什么？；；根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，再令和检查端点的情况．例19、实系数方程的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的取值范围是________．【答案】14、二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程的两个根即为二次不等式（）的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的