高考数学一轮复习 2.6 对数与对数函数 理 苏教版

2.7对数与对数函数一、填空题1．函数f(x)＝eq\r(lgx－1)的定义域是________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＞0,lgx－1≥0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,x－1≥1.))所以x≥2.答案{x|x≥2}2．用“＜”“＞”填空：log0.27________log0.29；log35________log65；(lgm)1.9________(lgm)2.1(其中m>10)．解析对于log0.27与log0.29的大小比较，可利用函数y＝log0.2x在定义域内单调减；对于log35与log65的大小比较，可先利用y＝log5x单调增，再结合倒数法则；而对于(lgm)1.9与(lgm)2.1的大小比较，要对lgm与1的大小关系进行讨论，因为m>10，所以填“＜”．答案＞＞＜3.函数log在上的最大值与最小值之和为，则的值为.解析∵与y=log单调性相同且在上的最值分别在两端点处取得.最值之和:f(0)loglog∴log.∴.答案4．已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lgx图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD的位置关系是________．解析由题意，得A(2,1)，B(4,2)，C(2，lg2)，D(4,2lg2)，所以直线AB与CD都经过(0,0)，从而AB与CD相交于原点．答案相交且交点在坐标原点5．已知函数对任意的x∈R有f(x)＝f(－x)，且当x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为________．解析由f(x)＝f(－x)得f(x)是偶函数，得图象关于y轴对称．再由x＞0时，f(x)＝ln(x＋1)的图象沿y轴翻折可得．答案6．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋1)))，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，x＜0.))若f(3－2a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________．解析画图象可得f(x)是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f(3－2a2)＞f(a)，得3－2a2＜a，即2a2＋a－3＞0，解得a＜－eq\f(3,2)或a＞1.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪(1，＋∞)7．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2008)＋f(2009)的值为________．解析f(－2008)＋f(2009)＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.答案18.若函数f(x)=log在区间内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间是.解析定义域为当时因为设log在(0,1)上大于0恒成立,所以0<a<1.所以函数f(x)=log的单调递增区间是〔〕的递减区间,即.答案【点评】本题采用了等价转化法(换元法)，把问题转化为关于x的二次函数的单调区间问题，但应注意定义域的限制．9．已知表中的对数值有且只有一个是错误的.x35689lgx2a－a＋c－11＋a－b－c3(1－a－c)2(2a－b试将错误的对数值加以改正________．解析由2a－b＝lg3，得lg9＝2lg3＝2(2a－b)从而lg3和lg9正确，假设lg5＝a＋eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋a－b－c＝lg6＝lg2＋lg3，,31－a－c＝lg8＝3lg2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg2＝1－a－c，,lg3＝2a－b，))所以lg5＝1－lg2＝a＋c.因此lg5＝a＋c－1错误，正确结论是lg5＝a＋c.答案lg5＝a＋c10．若函数f(x)＝log(a2－3)(ax＋4)在[－1,1]上是单调增函数，则实数a的取值范围是________．解析首先由a2－3>0，可得a>eq\r(3)或a<－eq\r(3).当a>eq\r(3)时，函数g(x)＝ax＋4在[－1,1]上是增函数，则需a2－3>1，故a>2.又函数g(x)＝ax＋4>0在[－1,1]上恒成立，故g(－1)＝4－a>0，即2<a<4.当a<－eq\r(3)时，函数g(x)＝ax＋4在[－1,1]上是减函数，则需0<a2－3<1，故－2<a<－eq\r(3).又函数g(x)＝ax＋4>0在[－1,1]上恒成立，故g(1)＝a＋4>0，即a>－4.综上所述，实数a的取值范围为(－2，－eq\r(3))∪(2,4)．答案(－2，－eq\r(3))∪(2,4)11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x≤0，,lnx＋1，x＞0.))若f(2－x2)＞f(x)，则实数x的取值范围是________．解析画图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，于是由f(2－x2)＞f(x)，得2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.答案(－2,1)12．设min{p，q}表示p，q两者中的较小者，若函数f(x)＝min{3－x，log2x}，则满足f(x)＜eq\f(1,2)的集合为________．解析画出y＝f(x)的图象，且由log2x＝eq\f(1,2)，得x＝eq\r(2)；由3－x＝eq\f(1,2)，得x＝eq\f(5,2).从而由f(x)＜eq\f(1,2)，得0＜x＜eq\r(2)或x＞eq\f(5,2).答案(0，eq\r(2))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))13．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10.))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是________．解析a、b、c互不相等，不妨设a<b<c，由f(a)＝f(b)＝f(c)，及图象可知0<a<1,1<b<10,10<c<12.因为f(a)＝f(b)，所以|lga|＝|lgb|，所以lga＝－lgb，即lga＝lgeq\f(1,b)⇒a＝eq\f(1,b)，所以ab＝1,10<abc＝c<12.答案(10,12)二、解答题14．(1)若logaeq\f(4,5)<1(a>0且a≠1)，求实数a的取值范围；(2)若loga2<logb2<0，求a、b、1三数的大小关系．解析(1)当a>1时，y＝logax在(0，＋∞)上是单调增函数，logaeq\f(4,5)<logaa，∴a>eq\f(4,5)，∴a>1.当0<a<1时，y＝logax在(0，＋∞)上是单调减函数，logaeq\f(4,5)<logaa，∴0<a<eq\f(4,5)，∴0<a<eq\f(4,5).综上所述：实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,5)))∪(1，＋∞)．(2)用倒数法则将不等式loga2<logb2<0改写成0>log2a>log2b，由对数函数的单调性可求得0＜b＜a15．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)若方程f(x)－m＝0有解，求m的取值范围．解析(1)由函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)．所以log4(4x＋1)＋kx＝log4(4－x＋1)－kx，即log4eq\f(4x＋1,4－x＋1)＝－2kx.所以log44x＝－2kx.所以x＝－2kx对x∈R恒成立．所以k＝－eq\f(1,2).(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－eq\f(1,2)x，所以m＝log4eq\f(4x＋1,2x)＝log4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,2x))).因为2x＋eq\f(1,2x)≥2，所以m≥eq\f(1,2).故要使方程f(x)－m＝0有解，m的取值范围是m≥eq\f(1,2).16．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围．解析(1)因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,1－x＞0，))所以－1＜x＜1，所以f(x)的定义域为(－1,1)．(2)f(x)为奇函数．因为f(x)定义域为(－1,1)，且f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)因为当a＞1时，f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f(x)＞0⇔eq\f(x＋1,1－x)＞1，解得0＜x＜1.所以使f(x)＞0的x的取值范围是(0,1)．17．已知函数f(x)＝x＋log3eq\f(x,4－x).(1)求f(x)＋f(4－x)的值；(2)猜想函数f(x)的图象具有怎样的对称性，并证明你的结论．解析(1)f(x)＋f(4－x)＝x＋log3eq\f(x,4－x)＋4－x＋log3eq\f(4－x,4－4－x)＝4＋log3eq\f(x,4－x)＋log3eq\f(4－x,x)＝4.(2)f(x)图象关于点P(2,2)对称．证明设Q(x，y)为函数f(x)＝x＋log3eq\f(x,4－x)图象上任一点，设点Q关于点P(2,2)的对称点为Q1(x1，y1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋x1＝4，,y＋y1＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝4－x，,y1＝4－y，))所以f(x1)＝x1＋log3eq\f(x1,4－x1)＝4－x＋log3eq\f(4－x,x)＝4－x－log3eq\f(x,4－x)＝4－y＝y1，所以函数y＝f(x)图象关于点P(2,2)对称．18．函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋1)＝f(x－1)成立．已知当x∈[1,2]时，f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)．(1)求x∈[－1,1]时，函数f(x)的表达式；(2)求x∈[2k－1,2k＋1](k∈Z)时，函数f(x)的解析式；(3)若函数f(x)的最大值为eq\f(1,2)，在区间[－1,3]上，解关于x的不等式f(x)>eq\f(1,4).解析(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是R上的偶函数得f(x＋2)＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＋x，x∈[－1，0]，,loga2－x，x∈0，1].))(2)当x∈[2k－1,2k]时，f(x)＝f(x－2k)＝loga(2＋x－2k)．同理，当x∈(2k,2k＋1]时，f(x)＝lo